Esta lista de exercícios sobre volume do tronco de cone auxiliará em seus estudos a respeito de um dos aspectos desse sólido geométrico.Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira em Exercícios de Matemática Show
Questão 1 Analise o copo a seguir: Utilizando π = 3, o volume desse copo é de, aproximadamente: A) 100 ml B) 150 ml C) 200 ml D) 250 ml E) 300 ml Questão 2 Um recipiente no formato de um tronco de cone possui altura de 12 cm, e raios medindo 15 cm e 25 cm. Utilizando π = 3,1, o volume desse recipiente é de: A) 15.190 cm³ B) 14.280 cm³ C) 13.760 cm³ D) 12.990 cm³ E) 11.120 cm³ Questão 3 Um tronco de cone possui volume de 84π cm³. Sabendo que seus raios medem 6 cm e 3 cm, qual é a altura desse tronco de cone? A) 3 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 6 cm E) 7 cm Questão 4 Um tronco de cone possui base maior com diâmetro de 10 cm e base menor com diâmetro de 6 cm. Se a altura for a média entre o comprimento dos diâmetros, o volume desse tronco de cone, em cm³, é de, aproximadamente: A) 130,7π B)145,4π C)150π D)152,3π E)126,6π Questão 5 Uma piscina será construída no formato do tronco de um cone. A exigência é que ela tenha raio maior de 8 metros e raio menor de 5 metros. Qual deve ser a altura da piscina para que a sua capacidade seja de 232.200 litros? (Useπ=3.) A) 1,5 metros B) 1,7 metros C) 1,8 metros D) 1,9 metros E) 2,0 metros Questão 6 O volume de um tronco de cone é de 344,1 cm³. Sabendo que a sua altura é de 9 cm e o raio maior mede 4 cm, e ainda utilizando π = 3,1, a medida do raio menor é de: A) 0,5 cm B) 1 cm C) 2 cm D) 3 cm Questão 7 Um tronco de cone possui volume igual a 4740 cm³. Sabendo que o raio da base maior é 14 cm e o raio da base menor é 6 cm, então qual é a altura desse tronco de cone? (Use π = 3.) A) 10 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 14 cm E) 15 cm Questão 8 David precisou informar à empresa o orçamento mensal gasto com água para manter o reservatório da dela sempre cheio. Sabe-se que, no primeiro dia de março, por exemplo, o reservatório estava cheio e que, a cada 7 dias, a empresa faz a troca da água, sendo que será gasto o valor de R$ 15 por metro cúbico utilizado no mês, mais uma taxa fixa de R$ 21 por mês. O reservatório possui formato do tronco de cone, sua altura é de 2 metros, o raio menor é de 2 metros, e o raio maior, de 3 metros. Utilizando π=3 , o valor gasto com água na manutenção da piscina é de: A) R$ 2319 B) R$ 2493 C) R$ 2550 D) R$ 2624 E) R$ 2871 Questão 9 (Enem) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos: • copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm; • copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm. Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água. Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são, respectivamente, iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão: \(V_{tronco\ de\ cone}=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+r^2+Rr\right)\) O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y² seja, no mínimo, igual a A) 2,664 cm. B) 7,412 cm. C) 12,160 cm. D) 14,824 cm. E) 19,840 cm. Questão 10 (Ibade) O volume, em metros cúbicos, de um tronco de cone obtido a partir de um cone equilátero de raio igual a \(\sqrt3\) m, cortado na metade da altura, será: A)\(\ \frac{3\pi}{8}\) B)\(\frac{2\pi}{3}\) C)\(\frac{21\pi}{8}\) D)\(\frac{7\pi}{16}\) E) \(\frac{3\pi}{16}\) Questão 11 (Instituto Consulplan) Um cone circular reto tem o diâmetro da base medindo 12 cm e altura medindo 9 cm. Esse cone é interceptado por um plano β que é paralelo à base e está distante 6 cm do vértice. O volume do tronco de cone assim formado é: (Useπ=3,14.) A) 76π cm³ B) 108π cm³ C) 238,64π cm³ D) 304π cm³ Questão 12 Uma pessoa comprou uma caneca para tomar sopa, conforme ilustração. Sabe-se que 1 cm³ = 1 mL e que o topo da caneca é uma circunferência de diâmetro (D) medindo 10 cm, e a base é um círculo de diâmetro (d) medindo 8 cm. Além disso, sabe-se que a altura (h) dessa caneca mede 12 cm (distância entre o centro das circunferências do topo e da base). Qual é a capacidade volumétrica, em mililitro, dessa caneca? (Utilize 3 como aproximação para π.) A) 216 B) 408 C) 732 D) 2196 E) 2928 Respostas Resposta Questão 1 Alternativa C O copo possui formato de tronco de cone. Retirando os dados: h = 82 mm r = 45 : 2 = 22,5 R = 70 : 2 = 35 Calculando o volume: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(V=\frac{3\cdot82}{3}\cdot35²+35⋅22,5+22,52\) \(V=82\cdot\left(1225+787,5+506,25\right)\) \(V=82\cdot\left(1225+787,5+506,25\right)\) \(V=82\cdot2518,75\ \) \(V=206.537,5 mm³\) Para transformar de mm para ml, basta dividir por 1000, então temos que: 206.537,5 : 1000 = 206,5375 ml O volume desse copo é de aproximadamente 200 ml. Resposta Questão 2 Alternativa A Dados: R = 25 cm r = 15 cm h = 12 cm Calculando o volume do tronco de cone: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(V=\frac{3,1\ \cdot\ 12}{3}\cdot\left({25}^2+25\cdot15+{15}^2\right)\) \(V=3,1\cdot4\ \left(625+375+225\right)\) \(V=12,4\cdot1225\) \(V=15190\ cm³\) Resposta Questão 3 Alternativa B Sabemos que: V = 84π cm³ R = 6 cm r = 3 cm Substituindo na fórmula: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(84\pi=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(6^2+6\cdot3+3^2\right)\) \(84\pi=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(36+18+9\right)\) \(84\pi=\frac{\pi h}{3}\cdot63\) \(84\pi=\frac{63\pi h}{3}\) \(84\pi=21\pi h\) \(\frac{84\pi}{21\pi}=h\) \(h=4\ cm\) Resposta Questão 4 Alternativa A Calculando a altura do tronco de cone, temos que: \(h=\frac{10+6}{2}=\frac{16}{2}=8\ cm\) Agora temos que: R = 10 : 2 = 5 r = 6 : 2 = 3 Calculando o volume: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(V=\frac{\pi\cdot8}{3}\cdot\left(5^2+5\cdot3+3^2\right)\) \(V=\frac{\pi\cdot8}{3}\cdot\left(25+15+9\right)\) \(V=\frac{\pi\cdot8}{3}\cdot49\) \(V=130,666...\ \pi\) \(V=\ \cong130,7\pi\) Resposta Questão 5 Alternativa C Sabemos que V = 232.200 litros. Para transformar de litros para metros cúbicos, dividiremos por 1000, logo, temos que: V = 232.200 : 1000 = 232,2 m³ Conhecemos os valores dos raios, pois R = 8 e r = 5 Calculando o volume: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(232,2=\frac{3\cdot h}{3}\cdot\left(8^2+8\cdot5+5^2\right)\) \(232,2=h\cdot\left(64+40+25\right)\) \(232,2=h\cdot129\) \(h=\frac{232,2}{129}\) \(h=1,8\) Resposta Questão 6 Alternativa D Sabemos que o volume é de 344,1 cm³, além disso, foram dados: h = 9 R = 4 π = 3,1 Substituindo na fórmula: \(V=\frac{h\pi}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(344,1=\frac{9\cdot3,1}{3}\cdot\left(4^2+4r+r^2\right)\) \(344,1=3\cdot3,1\cdot\left(16+4r+r^2\right)\) \(344,1=9,3\cdot\left(16+4r+r^2\right)\) \(\frac{344,1}{9,3}=16+4r+r^2\) \(37=16+4r+r^2\) \(r^2+4r+16-37=0\) \(r^2+4r-21=0\) Resolvendo a equação do 2º grau, primeiro calcularemos o valor de Δ: Dados: a = 1 b = 4 c = -21 Então: \(\Delta=b^2-4ac\) \(\Delta=4^2-4\cdot1\cdot\left(-21\right)\) \(\Delta=16+84\) \(\Delta=100\) Agora, pela fórmula de Bhaskara: \(r=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\) \(r=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}\) \(r=\frac{-4\pm10}{2}\) Como o valor procurado é uma medida, a única solução que faz sentido é a solução positiva. \(r=\frac{-4+10}{2}=\frac{6}{2}=3\) Então r = 3 cm. Resposta Questão 7 Alternativa E Sabemos que: V = 4740 R = 14 r = 6 Logo, temos que: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(4740=\frac{3\cdot h}{3}\cdot\left({14}^2+14\cdot6+6^2\right)\) \(4740=h\cdot\left(196+84+36\right)\) \(4740=h\cdot316\) \(h=\frac{4740}{316}\) \(h=15\) Resposta Questão 8 Alternativa E Primeiro vejamos qual é o volume do reservatório. Como ele possui formato de um tronco de cone, temos que: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(V=\frac{3\cdot2}{3}\cdot\left(3^2+3\cdot2+2^2\right)\) \(V=2\cdot\left(9+6+4\right)\) \(V=2\cdot19\ \) \(V=38\ m^3\) Sabemos que no dia 1º esse reservatório estava cheio, então ele será preenchido de novo nos dias: 8, 15, 22 e 29, ou seja, 5 vezes. Assim, o volume de água gasto em metros cúbicos foi de \(5\cdot38=190\ m^3\) O valor pago é de R$ 21 fixo mais R$ 15 por m³, então o gasto G é igual: \(G=21+15\cdot190\ \) \(G=21+2850\) \(G=2871\ \) O valor gasto é de R$ 2871. Resposta Questão 9 Alternativa C Queremos que a caneca seja usada para tomar tanto o café quanto a água, então, nesse caso, é necessário que ela tenha, no mínimo, o volume igual ao do copo maior. Logo, o valor mínimo para y é tal que: \(V_{copo\ maior}=V_{caneca}\) Como o volume do copo maior é o volume de um tronco de cone, temos que: \(V_{copo\ maior}=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+r^2+Rr\right)\) Por outro lado, a caneca possui formato de um cilindro, e o volume do cilindro é: \(V_{caneca}=\pi r^2\cdot h\) Então temos que: \(\frac{\pi h_1}{3}\cdot\left(R^2+r^2+Rr\right)=\pi r^2\cdot h_2\) Simplificando o π dos dois lados e substituindo as informações dadas para as medidas do copo maior e do cilindro, temos que: \(\frac{8}{3}\left({3,6}^2+{2,4}^2+3,6\cdot2,4\right)=y^2\cdot6\) \(\frac{8}{3}\left(12,96+5,76+8,64\right)=y^2\cdot6\) \(\frac{8}{3}\cdot27,36=y^2\cdot6\) \(72,96=y^2\cdot6\) \(y^2=\frac{72,96}{6}\) \(y^2=12,16\) Então o valor mínimo que \(y^2\) pode admitir é 12,160 cm. Resposta Questão 10 Alternativa C Se o cone é equilátero, para calcular a altura dele, temos que: \({\sqrt3}^2+h^2=\left(2\sqrt3\right)^2\) \(3+h²=4⋅3\) \(3+h²=12\) \(h²=12-3\) \(h²=9\) \(h=\sqrt9\) \(h=3\) Sabendo que a altura do cone é 3, e que o tronco de cone foi cortado na metade, então a altura do cone é de 1,5. Temos que: \(R=\sqrt3\) \(r=\frac{\sqrt3}{2}\) \(h=\frac{3}{2}\) Calculando o volume, temos que: \(V=\frac{1}{3}\cdot\pi h\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{2}\cdot\left(\left(\sqrt3\right)^2+\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\right)\) \(V=\frac{\pi}{2}\cdot\left(3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\right)\) \(V=\frac{\pi}{2}\cdot\left(3+\frac{9}{4}\right)\) \(V=\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac{12+9}{4}\right)\) \(V=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{21}{4}\) \(V=\frac{21\pi}{8}\) Resposta Questão 11 Alternativa C A altura do tronco de cone é igual a 9 – 6 = 3 cm Sabemos que 3 cm é igual a 2/3 da altura, então o diâmetro também será 2/3 do valor do diâmetro da base. Assim: \(D = 12 e d =\ \frac{2}{3}\cdot12 = \frac{24}{3} = 8\) Logo, temos que: R = 12 : 2 = 6 r = 8 : 2 = 3 h = 3 Então: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(V=\frac{3\pi}{3}\cdot\left(6^2+6\cdot4+4^2\right)\) \(V=\pi\cdot\left(36+24+16\right)\) \(V=\pi\cdot76\) \(V=3,14\cdot76\) \(V=238,64 cm³\) Resposta Questão 12 Alternativa C Sabemos que: D = 10, então o raio da circunferência maior é R = 10 : 2 = 5 cm. d = 8, então o raio da circunferência menor é r = 8 : 2 = 4. h = 12 Substituindo na fórmula: \(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) \(V=\frac{3\cdot12}{3}\cdot\left(5^2+5\cdot4+4^2\right)\) \(V=12\cdot\left(25+20+16\right)\) \(V=12\cdot61\) \(V=732\ cm³\) Qual é o comprimento de uma circunferência de raio igual a 5 cm?Resposta verificada por especialistas. O comprimento da circunferência é 31,4 cm.
Como calcular o comprimento de uma circunferência pelo raio?Conhecido o valor do raio, o comprimento da circunferência é dado pelo dobro do produto do raio por π (número irracional cujo valor aproximado é 3,14).
Como calcular o comprimento de uma circunferência?Com base nessa descoberta, o comprimento de uma região limitada por uma circunferência é calculada através da expressão matemática C = 2 * π * r.
Como fazer um raio de 5 cm?Divida o diâmetro por 2.
O raio de um círculo é sempre igual à metade do comprimento de seu diâmetro. Por exemplo, se o diâmetro for igual a 4 cm, o raio será igual a 4 cm ÷ 2 = 2 cm.
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