Como calcular o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência?

Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência.

Imagine a seguinte situação, deseja-se projetar um eixo de uma roda cuja circunferência tem 5 cm de diâmetro. Se o eixo for em formato cilíndrico, não há mistério algum, pois terá a mesma medida do diâmetro, mas se o eixo for em formato de um prisma quadrangular, qual será as medidas dos lados?

Há cálculos rápidos para se determinar os lados de um quadrado inscrito e circunscrito em uma circunferência, mas antes vamos ver as relações existentes entre a circunferência e o quadrado através de construções geométricas e cálculos matemáticos.

Quadrado inscrito numa circunferência

Desenhando circunferências de dimensões quaisquer e posteriormente traçando-se dois diâmetros perpendiculares em forma de "xis", os pontos em que as linhas dos diâmetros tocam a circunferência determinam as medidas dos lados do quadrado.

No exemplo acima, a circunferência está desenhada em diagrama quadriculado de 1cm cada.

A circunferência possui um diâmetro de 5 cm e os lados do quadrado tem 3,53 cm.

Através do Teorema de Pitágoras - método 1

Traçando-se dois diâmetros perpendiculares e posteriormente o quadrado, determinamos também 2 triângulos retângulos isóceles maiores e 4 menores, com os quais podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e descobrir as medidas dos lados do quadrado em função do diâmetro.

Observação importante: no quadrado inscrito numa circunferência o diâmetro é também a diagonal do quadrado.

d2 = x2 + x2

52 = x2 + x2

25 = 2x2

25/2 = x2

12,5 = x2

√12,5 = x

x = 3,53

Através do Teorema de Pitágoras - método 2

Traçando-se os diâmetros perpenciculares em formato de "xis" e posteriormente o quadrado, determinamos também quatro triângulos retângulos isóceles menores, com os quais podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e determinar as medidas dos lados do quadrado em função do raio da circunferência.

L2 = r2 + r2

L2 = 2,52 +2,52

L2 = 6,25 + 6,25

L2 = 12,5

L = √12,5

L = 3,53

Divisão do diâmetro pela √2 (raiz quadrada de 2)

Outro método de se determinar a medida dos lados do quadrado inscrito num circunferência é dividindo a medida do diâmetro pela raiz quadrada de 2 (√2 ).

5 : √2 =

= 5 : 1,4142

= 3,5355

Quadrados inscrito e circunscrito numa circunferência

Outra relação interessante existente entre circunferência e quadrado é que a partir do produto do diâmetro pela raiz quadrada de dois (√2 ) determina-se um outro quadrado, só que este circunscrito a circunferência.

Observação importante:

a) no quadrado inscrito numa circunferência o diâmetro é também a diagonal do quadrado.

b) no quadrado circunscrito numa circunferência o diâmetro é também o lado do quadrado.

5 x √2 =

= 5 x 1,4142

= 7,0710

Quadrado inscrito numa circunferência e o apótema

Apótema é o seguimento de reta que parte do ponto médio do lado de um polígono até o centro da circunferência e do polígono.

Tendo-se uma das medidas (raio, lado ou apótema), podemos encontrar as duas outras. Nos cálculos podemos utilizar as relações métricas e trigonométricas nos triângulos retângulos.

apótema = metade do lado quadrado

a = 1/2 x L

a = 1/2 x 3,53

a = 1,765

raio = metade da diagonal

r = 1/2 x d

r = 1/2 x (3,53 √2)

r = 1,765 √2

r = 1,765 x 1,4142..

r = 2,496...(aproximadamente)

Exemplo:

Numa circunferência de 6cm de diâmetro calcular o apótema utilizando o Teorema de Pitágoras.

r2 = L2 + L2

32 = L2 + L2

32 = 2 L2

9 = 2 L2

9/2 = L2

L2 = √4,5

L = 2,12

Verificação:

Diâmento : √2 = lado do quadrado inscrito

6 : √2 = 4,24....

1/2 do lado do quadrado = apótema

1/2 x 4,24 = 2,12

ou

1/2 do diâmetro (raio) : √2 = apótema

3 : √2 = 2,12...

Autor: Ricardo Silva - julho/2017

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