Temos que a reta passa pelo ponto A(5 , 7), portanto, nesse ponto a igualdade da equação é verificada. Sendo assim, devemos achar o valor de n ou coeficiente linear com esse dados. Portanto a equação de reta é y = 2x – 3. Show
Consulte Mais informação Qual e a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A?A reta possui duas possibilidades de equação, a equação geral da reta e a equação reduzida da reta. A equação reduzida da reta é y = mx + n, em que x e y são, respectivamente, a variável independente e a variável dependente; m é o coeficiente angular, e n é o coeficiente linear. Por conseguinte, qual e a equação reduzida da reta que? A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante. Por conseguinte, qual a equação reduzida da reta que passa pelos pontos a 5-2?3) Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(5, -2) e B(4, 2). Portanto, a equação reduzida da reta é y = – 4x + 18. Por conseguinte, como encontrar a equação da reta que passa pelos pontos? Conhecendo as coordenadas dos pontos A e B, basta igualar o seu determinante a 0 para encontrar a equação geral da reta. Exemplo: Encontre a equação geral da reta r que passa pelos pontos A(2,1) e B(4,5). Então, a equação geral será r: – 4x + 2y – 6 = 0. Como determinar a equação de uma reta?equação geral da retaretaequação geral da reta Exemplos:
Por conseguinte, como encontrar a equação reduzida da circunferência? Equação reduzida da circunferência Então: (x - xc)2 + (y – yc)2 = R2 → esta é a chamada equação reduzida da circunferência. Também, como escrever uma equação de segundo grau na forma reduzida?Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Correspondentemente, qual a equação que representa a reta que passa pelos pontos 4 5 2 e 2 9 2 )? Qual a equação que representa a reta que passa pelos pontos (4, 5/2) e (2, 9/2)? 2 x – 2 y – 13 = 0. Como descobrir a equação da reta com 2 pontos?Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas: Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos. 1º passo: encontrar o coeficiente angular m. 2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto na equação, igualando-a a zero. A equação geral da reta é uma maneira algébrica de se estudar o comportamento de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, estudamos a fundo objetos da geometria plana representados no plano cartesiano. Um desses objetos é a reta, que pode ter seu comportamento descrito pela equação ax + by + c = 0, os coeficientes a, b e c são todos números reais, em que a e b são diferentes de zero. Table of Contents Show
Para encontrar a equação geral da reta, é necessário conhecer pelo menos dois pontos pertencentes a essa reta. Conhecendo os dois pontos da reta, existem dois métodos distintos para se encontrar a equação geral da reta. Além da equação geral da reta, existem outras que podem descrever esse comportamento, sendo elas a equação reduzida da reta e a equação segmentária da reta. Leia também: O que é um par ordenado? Passo a passo para encontrar a equação geral da retaRepresentação da reta no plano cartesiano.Para encontrarmos a equação geral da reta, existem dois métodos, um deles utiliza a equação reduzida da reta para chegar-se à equação geral, já o outro é o cálculo do determinante de ordem 3, em ambos os métodos, é necessário conhecer, pelo menos, dois pontos da reta. Antes de compreender como encontrar a equação da reta geral, veja alguns exemplos. Exemplo de equação geral da reta: a) – 3x + 4y + 7 = 0 b) x + y – 3 = 0 c) 2x – 5y = 0 Então, para encontrar a equação geral de uma reta, é necessário conhecer dois pontos dessa reta. Seja A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos pertencentes à reta cujos valores das coordenadas são conhecidos, para encontrar a equação geral da reta, podemos seguir alguns passos ao definirmos o método que será utilizado. Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas: Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos. Exemplo: A(2,1) e B(5,7) 1º passo: encontrar o coeficiente angular m. 2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto na equação, igualando-a a zero. y – yp = m (x – xp) Sabendo que m = 2, e escolhendo o ponto A(2,1), temos que: y – 1 = 2 (x – 2) y – 1 = 2x – 4 y – 2x – 1 + 4 = 0 – 2x + y + 3 = 0 → equação geral da reta r. Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço? Vamos construir a matriz com os dois pontos que conhecemos: os valores A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto arbitrário, e C (x,y). 1º passo: montar a matriz. 2º passo: resolver a equação det(M) = 0. Para que os pontos estejam alinhados, o valor do determinante da matriz tem que ser igual a zero, por isso, igualamos o determinante da matriz M a zero. Exemplo: Utilizando os pontos do exemplo anterior, encontraremos a equação geral da reta. A(2,1), B(5,7) e C(x,y) Primeiro vamos montar a matriz: Agora calcularemos o seu determinante: det(M) = 14 + x + 5y – 7x – 5 – 2y = 0 det(M) = 3y – 5x + 9 = 0 Note que essa é a equação de uma reta, sendo assim, a equação geral da reta que passa pelos pontos A, B e C é – 5x + 3y + 9 = 0. Equação reduzida da retaOutra forma de representar a equação da reta é a equação reduzida. A diferença da equação geral para a equação reduzida é que, na equação geral, o segundo membro é sempre igual a zero, agora, na equação reduzida, vamos sempre isolar o y no primeiro membro. A equação reduzida da reta é sempre descrita por y = mx + n, em que m e n são números reais, com m diferente de zero. Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a reduzida apenas isolando o y. Exemplo: – 5x + 3y + 9 = 0 Vamos isolar o y no primeiro membro: Toda reta pode ser representada por uma equação geral e por uma equação reduzida. Muitas vezes a equação reduzida é mais interessante. Já que o m é conhecido como coeficiente angular, com base nele é possível obter-se informações importantes da reta, pois seu valor traz informações sobre a inclinação dela. Já o n é o coeficiente linear, que é o ponto no plano cartesiano em que a reta corta o eixo y. Equação segmentária da retaAssim como a equação geral e a equação reduzida da reta, a equação segmentária é uma maneira de representar a equação da reta. A equação segmentária tem esse nome porque ela nos informa os pontos em que a reta intercepta os eixos x e y. A equação segmentária da reta é descrita por: Exemplo: Encontre a equação segmentária da reta -5x + 3y – 9 = 0. Vamos isolar o termo independente 9 no segundo membro: -5x + 3y = 9 Agora vamos dividir toda a equação por 9: Agora vamos reescrever cada um dos termos colocando c/a e c/b. Acesse também: Qual é a equação geral da circunferência? Exercícios resolvidosQuestão 1 – A representação da equação 4x – 2y – 6 = 0, em sua forma reduzida, é: A) y = 2x – 3 B) y = -2x + 3 C) y = 2x + 3 D) y = -2x – 3 E) 2y = 4x – 6 Resolução Alternativa A Primeiro vamos isolar o y: -2y = -4x + 6, como o coeficiente de y é negativo, multiplicaremos a equação por -1. 2y = 4x – 6, dividindo todos os termos por 2, encontraremos a equação reduzida. y = 2x – 3 Questão 2 – A equação geral da reta representada no plano cartesiano é: A) 2x + 2y – 6 = 0 B) x + y – 9 = 0 C) 2x – y + 3 = 0 D) -2x + y + 3 = 0 E) x + 2y – 3 = 0 Resolução Alternativa D Primeiro vamos identificar os dois pontos, são eles A(2,1) e B(3,3). Seja P(x,y) um ponto qualquer da reta, devemos calcular o determinante da matriz M e igualar a zero, colocando em cada linha o valor de x, y e 1. det(M) = 6 + x + 3y – 3x – 3 – 2y = 0 det(M) = -2x + y + 3 = 0 A equação reduzida da reta facilita a representação de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, é possível realizar essa representação e descrever a reta a partir da equação y = mx + n, em que m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. Para encontrar essa equação, é necessário conhecer dois pontos da reta, ou um ponto e o ângulo formado entre a reta e o eixo x no sentido anti-horário. Leia também: O que é reta? Qual é a equação reduzida da reta?Na geometria analítica, buscamos uma lei de formação para descrever figuras planas, como a circunferência, uma parábola, a própria reta, entre outras. A reta possui duas possibilidades de equação, a equação geral da reta e a equação reduzida da reta. A equação reduzida da reta é y = mx + n, em que x e y são, respectivamente, a variável independente e a variável dependente; m é o coeficiente angular, e n é o coeficiente linear. Além disso, m e n são números reais. Com a equação reduzida da reta, é possível calcular quais são os pontos que pertencem a essa reta e quais não pertencem. O comportamento da reta pode ser descrito pela equação reduzida y = mx + n.Coeficiente angularO coeficiente angular nos diz muito sobre o comportamento da reta, pois, a partir dele, é possível analisar a inclinação da reta e identificar se ela é crescente, decrescente ou constante. Além disso, quanto maior o valor do coeficiente angular, maior será o ângulo entre a reta e o eixo x, no sentido anti-horário. Para calcular o coeficiente angular da reta, existem duas possibilidades. A primeira é saber que ele é igual à tangente do ângulo α: Sendo α o ângulo entre a reta e o eixo x, conforme a imagem. Nesse caso, basta conhecermos o valor do ângulo e calcular a tangente dele para encontrar o coeficiente angular. Exemplo: Qual é o valor do coeficiente angular da reta a seguir? Resolução: O segundo método para calcular o coeficiente angular é conhecendo dois pontos pertencentes à reta. Seja A(x1,y1) e B (x2,y2), então o coeficiente angular pode ser calculado por: Exemplo: Encontre o valor do coeficiente angular da reta representada no plano cartesiano a seguir. Considere A(-1, 2) e B (2,3). Resolução: Como conhecemos dois pontos, temos que: Para tomar a decisão sobre qual método utilizar para calcular o coeficiente angular da reta, primeiro é necessário analisar quais são as informações que temos. Se o valor do ângulo α for conhecido, basta calcular a tangente desse ângulo; agora, se conhecemos somente o valor de dois pontos, nesse caso é necessário calcular por meio do segundo método. O coeficiente angular nos possibilita analisar se a reta é crescente, decrescente ou constante. Assim, m > 0, a reta será crescente; m = 0 a reta será constante; m < 0 a reta será decrescente. Leia também: Distância entre dois pontos Coeficiente linearO coeficiente linear n é o valor da ordenada quando x = 0. Isso significa que n é o valor de y para o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Graficamente, para encontrar o valor de n, basta encontrar o valor de y no ponto (0,n). Como calcular a equação reduzida da retaPara encontrarmos a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor de m e de n. Encontrando o valor do coeficiente angular e conhecendo um de seus pontos, é possível encontrar o coeficiente linear com facilidade. Exemplo: - Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,2) e B (3,4). → 1º passo: encontrar o coeficiente angular m. → 2º passo: encontrar o valor de n. Para encontrar o valor de n, precisamos de um ponto (podemos escolher entre o ponto A e B) e do valor do coeficiente angular. Sabemos que a equação reduzida é y = mx + n. Calculamos m = 2 e, utilizando o ponto B(3,4), vamos substituir o valor de x,y e m. y = mx + n 4 = 2·3 + n 4 = 6 + n 4 – 6 = n n = – 2 → 3º passo: escrever a equação substituindo o valor de n e m, que agora são conhecidos. y = 2x – 2 Essa será a equação reduzida da nossa reta. Leia também: Ponto de interseção entre duas retas Exercícios resolvidosQuestão 1 - (Enem 2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30. A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é: a) L(t) = 20t + 3 000 b) L(t) = 20t + 4 000 c) L(t) = 200t d) L(t) = 200t – 1 000 e) L(t) = 200t + 3 000 Resolução: Analisando o gráfico, é possível perceber que já temos o coeficiente linear n, pois ele é o ponto em que a reta toca o eixo y. Nesse caso, n = - 1 000. Agora analisando os pontos A (0, -1000) e B (20, 3 000), calcularemos o valor de m. Logo, L(t) = 200t – 1000. Letra D Questão 2 - A diferença entre o valor do coeficiente linear e o coeficiente angular da reta crescente que passa pelo ponto (2,2) e faz um ângulo de 45º com o eixo x é de: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 Resolução: → 1º passo: calcular o coeficiente angular. Como conhecemos o ângulo, sabemos que: m = tgα m = tg45º m = 1 → 2º passo: encontrar o valor do coeficiente linear. Seja m = 1 e A (2,2), realizando a substituição na equação reduzida, temos que: y = mx + n 2 = 2 ·1 + n 2= 2 + n 2 – 2 = n n = 0 → 3º passo: calcular a diferença na ordem que foi pedida, ou seja, n – m. 0 – 1 = –1 Letra D Por Raul Rodrigues de Oliveira Como calcular a equação reduzida da reta que passa pelos pontos?A equação reduzida da reta é a y = mx + n, em que m e n são números reais. O m é conhecido como coeficiente angular, e, ao analisá-lo, é possível saber mais sobre a inclinação da reta. O n é o coeficiente linear, sendo o valor de y para o ponto em que a reta corta o eixo vertical.
Como achar a equação reduzida da reta com dois pontos?Passo a passo de como calcular a equação reduzida da reta. 1º passo: encontramos o valor do coeficiente angular m.. 2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para m e o valor de x e y pelo valor de um dos dois pontos.. 3º passo: resolver a equação para calcular o valor de n.. Qual é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos a 53) Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(5, -2) e B(4, 2). Portanto, a equação reduzida da reta é y = – 4x + 18.
Qual é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos 1 é 2 é 2 é 1?y = 2x – 1.
|