Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante. Show A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos: a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°; b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°; c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180. Definição de ângulo externo Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:  Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele. Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras: Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.
No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°. Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular. 5·72 = 360° Demonstração Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°: Si + Ai = 180° Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim: S + A = 180·n A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos: S + A = 180n (n – 2)180 + A = 180n 180n – 360 + A = 180n Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro: 180n – 360 + A = 180n A = 180n + 360 – 180n A = 360° Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°. 5 Ângulo externo em polígonos regularesComo visto anteriormente, em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos é $360^{\circ}$. Um polígono de $n$ lados possui $n$ ângulos externos; se ele for regular, todos estes ângulos possuem a mesma medida. Portanto, o ângulo externo em um polígono regular pode ser calculado como: $$a_e = \dfrac{360^{\circ}}{n}$$ É uma relação direta e rápida, que facilita o resolvimento de muitos exercícios. Câmera Sony A6600 Faça vídeos e fotos com altíssima qualidade. Preferida por vloggers. Ver na Amazon 5.1 Exemplo: ângulos externos de um octógono regularUm octógono regular possui $8$ lados; o seu ângulo externo será: \begin{align} 5.2 Exemplo: determinar o número de ladosUm polígono regular possui ângulos externos que medem $20^{\circ}$. Iremos identificar que polígono é este. Como o polígono é regular, podemos usar a seguinte fórmula $$a_e = \dfrac{360}{n},$$ substituindo $a_e = 20$: \begin{align} Este polígono possui $18$ lados, é o decaoctógono. Obs.: determinar o número de lados através do ângulo externo é muito mais rápido; compare com as contas que fizemos para determinar o número de lados usando o ângulo interno. 5.3 Ângulo interno e ângulo externo de polígonos regularesNum polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono? Primeiro, usando a fórmula da Soma dos ângulos internos de um polígono: \begin{align} Podemos escrever que \begin{align} E ainda, usando a fórmula da Soma dos ângulos externos de um polígono: \begin{align} Podemos escrever que \begin{align} Agora, dado que $a_{i} = 2 \cdot a_{e}$, \begin{align} Logo, o polígono é um hexágono. Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo interno mede 170?n = 36. Portanto, o polígono regular que possui ângulos internos iguais a 170° é aquele que possui 36 lados.
Quanto mede cada ângulo externo de um polígono de 170 graus?Resposta verificada por especialistas
a) Cada ângulo externos desse polígono de 36 lados mede 10°. b) Os ângulos internos desse polígono medem 170°.
Qual o número de lados de um polígono regular que tem a medida do ângulo externo igual a 12?A resposta é 30 lados, porém preciso da resolução! Urgente.
Quantos lados tem um polígono regular cujo?Soma dos Ângulos Internos de um Polígono Regular. |
Quantos lados tem um polígono regular cujos ângulos externos medem 170º cada um?
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