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Pré-visualização | Página 1 de 11 Princípios de Contagem – Análise Combinatória IX – RACIOCÍNIO LÓGICO Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online PRINCÍPIOS DE CONTAGEM – ANÁLISE COMBINATÓRIA IX Anagrama: é a formação de palavras com ou sem significado. Ex.: Com a palavra LÓGICA, quantos anagramas podem ser formados? 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 OOb.:� Em anagramas com letras distintas, não há divisão. Haverá apenas mul- tiplicação das possibilidades. Ainda com base na palavra LÓGICA: a. Quantos anagramas começam por vogal e terminam com consoante? 3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3 = 216 “V” “C” b. Quantos anagramas possuem as letras “L” e “G” juntas? Lógica = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 x 2 = 240 “LG” ou “GL” c. Quantos anagramas possuem as vogais juntas? Lógica = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 x 6 = 144 OIA = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 40. Com relação à palavra TEORIA: a. Quantos anagramas existem? 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 b. Quantos anagramas começam por T? 1 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 T 2 RACIOCÍNIO LÓGICO – Princípios de Contagem – Análise Combinatória IX Produção: Equipe Pedagógica Gran Cursos Online c. quantos anagramas possuem as vogais juntas? Teoria = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 x 24 = 144 EOIA = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 d. quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética? Teoria = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 AEIO 41. (ESAF) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre eles Caio e Beto – e seis meninas – entre elas Ana e Beatriz – compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pa- cote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essa informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se é igual a: a. 1920 b. 1152 c. 960 d. 540 e. 860 2 x (2 ∙ 1) ∙ (5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1) x 2 = 960 x 2 = 1.920 H H H M M M M M M H M M H CB BC AB BA OOb.:� Este material foi elaborado pela equipe pedagógica do Gran Cursos Online, de acordo com a aula preparada e ministrada pelo professor Josimar Padilha. Grátis 4 pág.
Pré-visualização | Página 1 de 1Curso De Licenciatura Em Matemática Professor: José Rildo Turma: 6.02430.1M Disciplina: Matemática Discreta Aluno: __________________________________________ Avaliação II 1) Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares? (valor: 1,0) 2) Com relação à palavra TEORIA: (valor: 2,0) a) Quantos anagramas existem? b) Quantos anagramas começam por T? c) Quantos anagramas começam por T e terminam com A? d) Quantos anagramas começam por vogal? 3) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas: (valor: 2,0) a) podemos formar uma comissão de 3 pessoas? b) podemos formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja 2 homens e uma mulher na mesma comissão? 4) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? (valor: 1,0) 5) Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa pode comer 5 pastéis? (valor: 1,0) 6) Um palácio tem 8 portas. De quantos modos pode ser aberto o palácio? (valor: 1,0) 7) Com 7 vitaminas diferentes, quantos coquetéis de duas ou mais vitaminas podemos formar? (valor: 2,0) SOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO II DA DISCIPLINA MATEMÁTICA DISCRETA DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – IFRN | CAMPUS MOSSORÓ Por Medeiros Lima | Open Concursos Todos os Direitos Reservados (Lei 9.610/1998) Questão 01: São 20 times dos quais pede-se os possíveis resultados para os 3 primeiros lugares. Logo, estamos diante de um problema de Arranjo Simples. 684018.19.20 !17 !17.18.19.20 )!320( !20 3,20 A possíveis resultados. Outra forma é aplicar o Princípio Fundamental da Contagem. Ou seja, 20.19.18 = 6840 possíveis resultados. Questão 02: Anagramas são palavras (com ou sem sentido) formadas por permutação de letras a partir de uma palavra existente (palavra genérica). a) A palavra TEORIA possui 6 letras. Logo, existem uma Permutação de 6 (P6) anagramas da palavra TEORIA. Assim, P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas. b) Os anagramas que começam com a letra “T” terão essa letra fixada no início de cada palavra, sendo que as outras 5 letras serão permutadas. Logo, será 1.P5 = 1.5! = 1.5.4.3.2.1 = 120 anagramas. c) Temos uma letra “T” e uma letra “A” na palavra TEORIA. Logo, a letra “T” será fixada no início de cada palavra e a letra “A” será fixada ao final de cada frase. Portanto, de modo análogo, teremos 1.4!.1 anagramas. Ou seja, 1.4.3.2.1.1 = 24 anagramas. d) A palavra TEORIA possui 4 vogais (E, O, I, A). Qualquer uma dessas vogais pode estar no início de cada palavra. Logo, como são 6 letras, haverá P5 para as demais letras. Assim, 4.P5 = 4.5! = 4.5.4.3.2.1 = 480 anagramas. Questão 03: Seja H = Homem e M = Mulher. São 5 H e 6 M. 5 + 6 = 11 pessoas. a) Uma comissão formada por 3 pessoas, dentre essas 11 pessoas, será uma combinação de 11 tomados 3 a 3. Ou seja, palavra SOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO II DA DISCIPLINA MATEMÁTICA DISCRETA DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – IFRN | CAMPUS MOSSORÓ Por Medeiros Lima | Open Concursos Todos os Direitos Reservados (Lei 9.610/1998) 3.5.11 1.2.3 9.10.11 !8!3 !8.9.10.11 )!311(!3 !11 3,11C 165 formas. b) Uma comissão formada por 3 pessoas, onde 2 são homens e 1 é mulher será uma combinação de 5 tomados 2 a 2 e uma combinação de 6 tomados 1 a 1. Ou seja, C5,2.C6,1 = 6.2.5 !5!1 !5.6 . !3!2 !3.4.5 !5!1 !6 . !3!2 !5 )!16(!1 !6 . )!25(!2 !5 60 formas. Questão 04: 6 pessoas irão ocupar uma mesa redonda de um restaurante. São Pai (P), Mãe (M) e quatro filhos: F1, F2, F23 e F4. Essas 6 pessoas poderão ocupar qualquer lugar dessa mesa. No entanto, Pai (P) e Mãe (M) ficarão sempre juntos. Suponhamos que a disposição das pessoas na mesa seja da seguinte forma representada pelo desenho ao lado. Observe que, independentemente da disposição das 6 pessoas na mesa, Pai (P) e Mãe (M) estarão sempre juntos. Portanto, P e M constituirão apenas 1 elemento sentado à mesa. Logo, será uma Permutação Circular (PC) de 5 elementos. Isto é, P5 = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 posições diferentes. Questão 05: Seja C = pastel de carne, Q = pastel de queijo e P = pastel de palmito. O problema consiste em determinar o número de soluções inteiras e não negativas de equação C + Q + P = 5. Para tanto, vamos utilizar a seguinte expressão: Onde n é a quantidade de sabores de pastéis (3) e b é a quantidade de pastéis consumidos (5). Portanto, serão 21 formas. SOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO II DA DISCIPLINA MATEMÁTICA DISCRETA DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA – IFRN | CAMPUS MOSSORÓ Por Medeiros Lima | Open Concursos Todos os Direitos Reservados (Lei 9.610/1998) Questão 06: São 8 portas. Para cada porta, há duas possibilidades (ou aberta ou fechada). Ainda há de se considerar a possibilidade em que todas as portas estarão fechadas. Portanto, teremos 28 – 1 modos = 256 – 1 = 255 modos. Questão 07: São 7 vitaminas para fazer, no mínimo, 2 coquetéis e, no máximo, 7 coquetéis. Portanto, teremos um somatório de combinações que vai de C7,2 a C7,7. Assim, C7,2 + C7,3 + C7,4 + ... + C7,7 = = 120 coquetéis. Quantos anagramas a palavra teoria?TEORIA é formada por 6 letras distintas, seus anagramas são no total de 6! = 720.
Quantos são os anagramas que começam é terminam por consoante?Quantos anagramas começam ou terminam com consoante ? Resolvido ! pega a probabilidade delas estarem no meio que é 48, e subtrai do total que é 720. Dá 672.
Quantos são os anagramas que terminam com consoante?2! 120 anagramas terminam por consoante.
Quantos anagramas com as letras da palavra teoria tem as vogais juntas?4 * 3 * 2 * 1 = 24 diferentes formas de reunir as 4 vogais juntas. E agora multiplicando estes 6 pelas 24 formas, temos 144 anagramas.
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Quantos anagramas tem a palavra teoria que comecem com consoante?
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