Quantos lados tem um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 3420?

Provar que o triângulo cujos vértices são $A(2,2)$, $B(-4,-6)$, e $C(4,-12)$ é um triângulo retângulo.

resposta: Basta verificar que as medidas dos lados estão de acordo com o Teorema de Pitágoras.
×

(ITA - 1973) Seja$\;\overline{B'C'}\;$a projeção do diâmetro $\;\overline{BC}\;$ de um círculo de raio $\;r\;$ sobre a reta tangente $\;t\;$ por um ponto $\;M\;$ deste círculo. Seja $\;2k\;$ a razão da área total do tronco do cone gerado pela rotação do trapézio $\;BCB'C'\;$ ao redor da reta tangente $\;t\;$ e área do círculo dado. Qual é o valor de $\;k\;$ para que a medida do segmento $\;MB'\;$ seja igual à metade do raio $\;r\;$?

e)

nenhuma das respostas anteriores

(STA CASA - 1982) Na figura ao lado, tem-se o triângulo $\;ABC\;$ tal que $\;\overline{AB}\;$ está contido num plano $\;\alpha\;$, $\;C \notin \alpha\;$ e os ângulos de vértices $\;B\;$ e $\;C\;$ medem, respectivamente, 70° e 60°. Se $\;r\;$ // $\;\alpha\;$, $\;r \cap \overline{AC} = [M]\;$, $\;r \cap \overline{BC} = [N]\;$, $\;s\;$ contém a bissetriz do ângulo $\;\widehat{CAB}\;$ e $\;r \cap s = [X]\;$, então a medida do ângulo $\;\widehat{AXN}$, assinalado é:

a) 165°
b) 155°
c) 145°
d) 130°
e) 120° 

(PUC-RS - 1980) Se "$\;\ell\;$" é a medida da aresta de um tetraedro regular, então sua altura mede:

a)

$\;\dfrac{\ell\sqrt{2}}{3}$

c)

$\;\dfrac{\ell\sqrt{3}}{4}$

b)

$\;\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$

d)

$\;\dfrac{\ell\sqrt{6}}{3}$

e)

$\;\dfrac{\ell\sqrt{6}}{9}$

resposta:

Resolução:

altura do tetraedro regular:

Na figura, o segmento $\;\overline{MC}\;$ ou apótema "g" na face inferior do tetraedro regular é a altura de um triângulo equilátero de lado $\,\ell\,$:
$\phantom{X}g\,=\,\dfrac{\,\ell\sqrt{\,3\,}\,}{2}\phantom{X}$
O ponto O é o centro do triângulo equilátero, então é também o baricentro do mesmo.
A distância do baricentro até o vértice do triângulo é igual ao dobro da sua distância até o lado oposto a esse vértice, então:
$\phantom{X}MO\,=\,\dfrac{\,1\,}{3}\,g\phantom{X}$
$\phantom{X}OC\;=\;\dfrac{\;2\;}{3}\;g\phantom{X}$
Assim temos:
$\phantom{X}g^2\,=\,H^2\,+\,(\dfrac{\,1\,}{3}\,g)^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}g^2\,-\,\dfrac{\,1\,}{9}g^2\,=\,H^2\;\Longleftrightarrow \,$ $\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}g^2\phantom{X}$
Sabemos que $\,g\,=\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$, vem que:$\phantom{X}H^2\,=\,\dfrac{\,8\,}{9}(\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2})^2\;\Leftrightarrow\,H\,=\,\dfrac{\,\ell\,\sqrt{\,6\,}}{3}\phantom{X}$

resposta:

Alternativa D
×

(ITA - 1990) Na figura abaixo $\phantom{X} O\phantom{X}$ é o centro de uma circunferência. Sabendo-se que a reta que passa por $\;E\;$ e $\;F\;$ é tangente a esta circunferência e que a medida dos ângulos $\;1\;$, $\;2\;$, e $\;3\;$ é dada, respectivamente , por 49° , 18° , 34° , determinar a medida dos ângulos 4 , 5 , 6 e 7 . Nas alternativas abaixo considere os valores dados iguais às medidas de 4, 5 , 6 e 7 , respectivamente.

Determine as medidas dos seguintes ângulos em radianos (rad):

resposta: a) 1,20 ; b) 2,9 ; c) 4,57 ; d) 0,80

×

(PUC-SP - 1984) A soma A + B + C + D + E das medidas dos ângulos:

e)

varia de "estrela" para "estrela".

(PUC-SP - 1984) Em um triângulo isósceles a média aritmética das medidas de dois de seus ângulos é 50°. A medida de um dos ângulos do triângulo pode ser:

(UFMG - 1992) Observe a figura.

Nessa figura, $\overline{AB} \cong \overline{AC}$, $\overline{BD}$ bissetriz de $A\hat{B}C$, $\overline{CE}$ bissetriz de $B\hat{C}D$ e a medida do ângulo $A\hat{C}F$ é $140^0$. A medida do ângulo $D\hat{E}C$, em graus, é:

(FUVEST - 1978) Na figura abaixo, os ângulos $\;\;{\large\hat{a}}\;\;$, $\;\;{\large\hat{b}}\;\;$, $\;\;{\large\hat{c}}\;\;$ e $\;\;{\large\hat{d}}\;\;$ medem, respectivamente, $\;\;\dfrac{x}{2}\;$, $\;\;2x\;$, $\;\;\dfrac{3x}{2}\;\;$ e $\;\;x\;\;$. O ângulo $\;\;{\large\hat{e}}\;\;$ é reto. Qual a medida do ângulo $\;\;{\large\hat{f}}\;$?

a)

16°

b)

18°

c)

20°

d)

22°

e)

24°

(COVEST - 1990) No triângulo ABC, o ângulo $\hat{A}$ mede 110°. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas que fornecem as alturas relativas aos vértices B e C?

(COVEST - 1989) Na figura abaixo, o raio da semicircunferência mede 4 cm ; o polígono é um hexágono regular, e o ângulo $\;A\hat{O}B\;$ é reto. Assinale a alternativa correta para a medida da área da região sombreada.

a)

$(\sqrt{3}\,-\,2\pi)\;$cm²

c)

$(\pi\,-\,\sqrt{3})\;$cm²

d)

$2(4\pi\,-\,3\sqrt{3})\;$cm²

e)

$(6\pi\,-\,2\sqrt{3})\;$cm²

(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:

a)

$\sqrt{3}\;$m

b)

$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m

c)

$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m

d)

$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m

resposta:

Considerações:

A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.

A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício

Resolução:
O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais.
$\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$

$\;\dfrac{1,2\, +\, 1,8}{1,8}\,=\,\dfrac{H}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\;\Rightarrow\;$ $\;H\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\centerdot\dfrac{30}{18}\;\Rightarrow\;$

$\;H\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{1}\centerdot\dfrac{15}{18}\;\Rightarrow\;$

$\;H\,=\,\dfrac{5\sqrt{3}}{6}\;\Rightarrow\;$ corresponde à

Alternativa D

×

Calcular o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio que marca 12 horas e 20 minutos.

Calcular, em graus, o ângulo convexo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 3h 42min.

Calcular o comprimento de um arco descrito pela extremidade do ponteiro dos minutos, decorridos 22 minutos, sabendo que o ponteiro tem comprimento 3 cm .

resposta: $\; \ell = \dfrac{11 \pi}{5}\;$cm
×

(ITA - 2004) Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a $\;5^o\;$. Então seu maior ângulo mede, em graus,

(ITA - 2004) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a $\;360 \pi \; cm^3\;$, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de $\;54\sqrt{3}\;cm^2\;$, então, a área lateral da pirâmide mede, em $cm^2$,

resposta:

Observe a figura que representa um hexágono regular inscrito numa circunferência:
1. o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de lado igual ao raio da circunferência R.
2. a altura $\;h\;$ de cada triângulo equilátero em função do seu lado $\;R\;$ é $\;\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;$(veja esse exercício).
3.Então a área de cada triângulo equilátero é base × altura ÷ 2
$\;\rightarrow\;\dfrac{R\times h}{2}\;=\;\dfrac{R\times \frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}\;=\;\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$ e a área do hexágono é $\;\rightarrow\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;$

Conforme o enunciado, a base da pirâmide tem área $\;54\sqrt{3}\,cm^2\;$
1. calcular $\;R\;$:
$\;S_H\;=\,6\centerdot\dfrac{R^{\large 2}\sqrt{3}}{4}\;=\;54\sqrt{3} \Rightarrow \;R^{\large 2}\,=\,36\;\Rightarrow\;R\,=\,6\;$cm

2. calcular a altura da pirâmide $\;H\;$:
A altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro. Se a altura da pirâmide é $\;H\;$, então a altura do cilindro é $\;\dfrac{H}{2}\;$.
O volume do cilindro é Área da base × altura e conforme o enunciado vale $\;360\pi\,cm^3\;$.$\;\pi\centerdot R^{\large2}\centerdot \dfrac{H}{2}\,=\,360\pi\;\Rightarrow \;H\,=\,20\,cm\;$

3. Calcular a altura de uma face da pirâmide ($\;\overline{VM}\;$):
Observe na figura a pirâmide. Traçando-se a altura de uma das faces da pirâmide, temos o segmento $\;\overline{VM}\;$, que define o triângulo retângulo $\;VOM\;$ reto no ângulo $\;\hat{O}\;$.
Pelo Teorema de Pitágoras:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{cateto}\; \overline{OM}\; \longrightarrow \dfrac{R\sqrt{3}}{2}\;=\;3\sqrt{3} & \\ \mbox{cateto}\;\overline{OV}\; \longrightarrow\;\phantom{XX}\;H\,= 20\phantom{X} & \\ \end{array} \right.\,$

$\;(VM)^{\large 2}\,=\,(OM)^{\large 2}\,+\,(OV)^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $\,(VM)^{\large 2}\,=\,(3\sqrt{3})^{\large 2}\,+\,20^{\large 2}\;=\;27\,+\,400\,=\,427\;\Rightarrow\;$ $\, \overline{VM}\,=\,\sqrt{427}\;$

4. Calcular a área lateral da pirâmide:
A área de uma face da pirâmide é $\;\overline{AB}\centerdot\overline{VM}\div 2\;$ $=\,\dfrac{R\centerdot\overline{VM}}{2}\;=\;\dfrac{6\times\sqrt{427}}{2}\;=\,3\sqrt{427};$A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de todas as faces laterais, portanto
Área lateral = $\,6 \centerdot 3\sqrt{427}\;=\;18\sqrt{427}\;$ que corresponde à alternativa

(A)
×

A altura do triângulo equilátero de lado $3$ cm. mede:

a)

$ \dfrac{1}{2} $ cm

b)

$\dfrac{3}{2}$ cm

c)

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ cm

d)

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ cm

e)

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ cm

resposta: Alternativa E

Resolução:

Conforme a figura, no triângulo equilátero $\,ABC\,$ de lado 3 cm é traçada a altura $\,h\,$, que é perpendicular a $\,\overline{BC}\,$ e divide o segmento no seu ponto médio $\,M\,$.Considerando-se o triângulo retângulo $\,AMC\,$, temos:

hipotenusa

$\,\overline{AC}\,=\,3\,cm\,$

cateto

$\,\overline{MC}\,=\,\dfrac{3}{2}\,cm\,$

cateto

$\,\overline{AM}\,=\,h\,$

e pelo Teorema de Pitágoras:
$\,\boxed{(AC)^2\,=\,(MC)^2\,+\,(AM)^2}\;\Rightarrow\;$ $ 3^2\,=\;(\dfrac{3}{2})^2\,+\,h^2\;\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\;h^2 \,=\,9\,-\,\dfrac{9}{4}\;\Rightarrow\;h\,=\,\sqrt{\dfrac{36\,-\,9}{4}}\;\Rightarrow$
$\,\Rightarrow\;h\,=\,\sqrt{\dfrac{27}{4}}\,=\,\sqrt{\dfrac{3\centerdot9}{4}}\,=\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,$

o valor $\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,$ é satisfeito pela alternativa (E).
Observações:
●É importante verificar nas respostas se a unidade de medida confere: centímetros.
●Para unidades de medida-distância consideramos apenas os valores positivos.
●Para quem vai prestar concurso é importante memorizar que a altura de um triângulo EQUILÁTERO de lado $\,\ell\,$ é igual a $\,\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}\,$.

×

(FEFASP) Qual alternativa encerra oração adverbial causal?

a) Já nem sei dos beijos doces e românticos de quantas me beijaram.
b) Não havia necessidade de a gente se agasalhar, mesmo que a neve caísse pesadamente.
c) Assim é, senhor Libório, e como sempre eu quis agraciá-lo, faço-lhe doação da comenda.
d) À medida que a noite caía, lobos e lobisomens lançavam uivos terrivelmente apavorantes.
e) Apenas me viram, ficaram calados.

Num retângulo de dimensões $\;a\;$ e $\;b\;$,
$\;a\,+\,b\,=\,7\;$ e $\;4a\,-\,3b\,=\,0\;$.
Calcule a diagonal do mesmo.

resposta: Resolução:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} a\,+\,b\,=\,7\;& \\ 4a\,-\,3b\,=\,0\;&\\ \end{array} \right.\phantom{XX}$ $\Rightarrow \; a = 3\phantom{X}$ e $\phantom{X}b = 4$

$d^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,=\,3^2\,+\,4^2\;$ $\; \Rightarrow \; d = 5$

Resposta: a medida da diagonal é 5.
×

Determinar o valor do lado $\;\overline{AC}\;$ na figura abaixo:

resposta:

LEI DOS COSSENOS:
"Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".

Resolução:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB).(BC) cos60^o$ (lei dos cossenos)
$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \centerdot 4 \centerdot 3 \centerdot \frac{1}{2}\;\;\Rightarrow$
$AC^2 = 16 + 9 - 12 = 13\; \Rightarrow \;AC = \sqrt{13}$

Resposta:

$AC = \sqrt{13}$

×

Calcule a diagonal do quadrado de lado $\;a\;$.

resposta:

Resolução:

Pelo Teorema de Pitágoras:

$(\overline{AC})^{\large 2}\;=\;(\overline{AB})^{\large 2}\;+\; (\overline{BC})^{\large 2}\;$

$(\overline{AC})^{\large 2}\;=\;a^{\large 2}\;+\;a^{\large 2}\;=\;2a^{\large 2} \;\Rightarrow \; \overline{AC}\,=\,a\sqrt{2}$

Resposta:

A diagonal de um quadrado de lado medindo $\;a\;$ tem medida igual a $\;a \centerdot \sqrt{2}$.
×

Para um paralelepípedo reto retângulo de dimensões 3 cm , 4 cm e 5 cm , calcular:

a) A área total
b) A medida da diagonal

resposta:

a) Resolução:

área total = $A_t = 2(ab + bc + ac) \;\Rightarrow$
$\Rightarrow A_t = 2(5\centerdot 3 + 3\centerdot 4 + 4 \centerdot 5 )$
Resposta:

$A_t = 94\;cm^2$

b)Resolução

diagonal do paralelepípedo = $D = \sqrt{\;a^2 + b^2 + c^2\;}$
$D = \sqrt{\;5^2 + 4^2 + 3^2\;}$
$ D = \sqrt{\;50\;}$
Resposta:

$D = 5\sqrt{2\,}\,cm$

×

Dê a expressão da altura de um triângulo equilátero em função da medida do lado do triângulo.

resposta:

Resolução:
No triângulo da figura:

$\;\ell^2 = h^2 + (\frac{\ell}{2})^2 \;\;\Longleftrightarrow \;\; h^2 = \ell ^2 - \frac{\ell ^2}{4} \; = \; \frac{3 \ell^2}{4}\;\Longrightarrow\;$

ou $\;\; h = \frac{\ell \sqrt{3}}{2}$

Resposta: $\;\;h = \frac{\ell \sqrt{3}}{2}$
×

Um prisma triangular regular tem a aresta da base igual à altura. Calcular a área total do sólido, sabendo-se que a área lateral é 10 m².

resposta:

Considerações:

Se o prisma triangular é "regular" significa que as bases são triângulos equiláteros e as arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém as bases ( → não é um prisma oblíquo).

$\phantom{XX}\,\left\{\begin{array}{rcr} a_{\large b} \longrightarrow & \\ h\;\longrightarrow\; & \\ A_{\mbox{base}} \longrightarrow & \\ \end{array} \right.\,$

aresta da base
altura do prisma$\; = a_{\large b}\,$
área da base, o triângulo equilátero

Resolução:
1. Sabemos que a área lateral é igual a $\;10 m^2\;$
A área lateral é a soma das áreas dos 3 retângulos que são as faces laterais do prisma (veja figura).

$\;A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 \centerdot a_{\large b} \centerdot h \;\;\Longrightarrow \;\; A_{\mbox{lateral}} \;=\; 3 (a_{\large b}) ^2\;\;$ então $\;\;\left(a_{\large b}\right)^2 \;=\; \dfrac{10}{3}$

2. Área da base:
(área do triângulo equilátero de lado $\;{\large \ell}\;$ em função da medida do lado do triângulo vale $\;\dfrac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}\;$)

Então $\;A_{\mbox{base}} \;=\;\dfrac{\left(a_{\large b}\right)^2\sqrt{3}}{4}\;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10}{3}\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\;m^2\;\Longrightarrow$ $\; \;\;A_{\mbox{base}}\;=\dfrac{10\sqrt{3}}{12}\;m^2$

3. Área total:
$A_{\mbox{total}} \;=\;A_{\mbox{lateral}}\,+\,2\centerdot A_{\mbox{base}} \;\;\Longrightarrow \;\;A_{\mbox{total}}\;=\; 10\,+\,2 \centerdot \dfrac{10\sqrt{3}}{12}$

$\;\boxed{\;A_{total}\; = \;10(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{6})\;m^2\;}\;$

×

Na figura, $\;\overline{AD}\;$ é bissetriz interna relativa ao lado $\;\overline{BC}\;$. Calcule a medida do segmento $\;\overline{AD}\;$, sendo $\;AB \;= 6 cm$, $\;AC\; = 10 cm$ e $\;m(A\hat{B}C) = 90^o$.

resposta:

Resolução:
Observação: O teorema da bissetriz versa que a reta bissetriz de um dos ângulos do triângulo divide o lado oposto a este ângulo em dois segmentos proporcionais às medidas dos lados adjacentes ao ângulo.

Pelo Teorema de Pitágoras:
$(\overline{AC})^2 = (\overline{AB})^2 + (\overline{BC})^{2} \;\Rightarrow $
$\;10^2\;= \;6^2 + (\overline{BC})^2 \; \Rightarrow
\;\overline{BC} = \sqrt{64} \;\Longrightarrow \; \overline{BC} = 8$
portanto, na figura $\;a + b\; =\; 8$
Pelo Teorema da Bissetriz Interna,
$\frac{6}{a}\; = \;\frac{10}{b}$$\Rightarrow 5a - 3b \;=\;0$
então:
$\begin{align} 3a + 3b = 24 \phantom{XXXX} (I) \\ \;5a - 3b =\; 0 \phantom{XXXX}(II) \end{align}$
Somando (I) e (II) $\Longrightarrow 5a + 3a = 24 \Longrightarrow$
$\;a \; = 3\;$ e $\;b\;=\;5$
Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABD:
$\;h^2 = 6^2 + 3^2 \;\;\Rightarrow h^2 \;= 36 + 9 \;\;\Rightarrow h\;=\; 3\sqrt{5} $

Resposta:
A medida do segmento $\;\overline{AD}\;$ é $\;3\sqrt{5}\;cm$
×

Conforme a figura abaixo, a medida do lado maior $\;x\;$ do retângulo é:

Na figura são dadas as medidas de dois lados de um triângulo retângulo. O terceiro lado mede:

A medida do segmento $\;x\;$ na figura abaixo, onde $\;b\;$ é conhecido, é dada por:

a)

${\large \frac{2b\sqrt{5}}{5}}$

b)

$b\sqrt{10}$

Um triângulo cujas medidas dos três lados são, respectivamente $\;7, \;8\;$ e $\;13\;$ é:
a) um triângulo retângulo
b) um triângulo acutângulo
c) um triângulo obtusângulo
d) um triângulo equiângulo
e) nenhuma das anteriores

Os itens a seguir definem medidas de lados de triângulos. Classifique cada triângulo de 1 a 6, associando-os de acordo com o código:

A - um triângulo retângulo

B - um triângulo acutângulo

C - um triângulo obtusângulo

D - um triângulo equiângulo

(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo $\phantom{X}ABC\phantom{X}$ é retângulo e $\;\overline{AH}\,=\,h\;$ é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:

b)

$x^2\;=\;h\centerdot c$

c)

$x^2\;=\;b\centerdot d$

d)

$x^2\;=\;b\centerdot c$

Determine a medida do segmento $\phantom{X}{\large x}\phantom{X}$

resposta: $\;x\;=\;2\sqrt{11}$

×

Na figura, $ABEF$ é um quadrado de lado $\;5\;m\;$. Determinar a medida de $\;\overline{CD}$.

resposta: $\;CD\;=\;\frac{5\sqrt{2}}{2} \;m$
×

(CESCEM) Apenas se viu liberado das obrigações, começou a cantar como um louco.

Comece com: Começou a cantar...

a) à medida que
b) tanto que
c) mal
d) só porque
e) eis que

Na figura, $\;ABCD\;$ é um quadrado de lado $\;1\;cm\;$ e $\;DBE\;$ é um triângulo equilátero. Determinar a medida de $\;\overline{CE}\;$.

resposta: $\;\overline{CE}\;=\;\sqrt{5\,+\,2\sqrt{3}}\;\,cm$
×

Determine a medida do lado "x" na figura abaixo.

Determine a medida do segmento "x" conforme a figura abaixo.

(FEI) O triângulo ABC é equilátero; D e E são os pontos médios de BH e CH. Comparar as áreas $S_1$ do retângulo DHEM com $S_2$ do retângulo DEGF.

d)

dependem da medida do lado do triângulo e assim pode ser qualquer das anteriores.

e)

$S_1 + S_2 =\dfrac{a^2\sqrt{3}}{16}$

(ITA - 2012) As retas $\;r_1\;$ e $\;r_2\;$ são concorrentes no ponto $\;P\;$, exterior a um círculo $\;\omega\;$. A reta $\;r_1\;$ tangencia $\;\omega\;$ no ponto $\;A\;$ e a reta $\;r_2\;$ intercepta $\;\omega\;$ nos ponto $\;B\;$ e $\;C\;$ diametralmente opostos. A medida do arco $\;\stackrel \frown{AC}\;$ é $\;60^o\;$ e $\;\overline{PA}\;$ mede $\;\sqrt{2}\;$ cm. Determine a área do setor menor de $\;\omega\;$ definido pelo arco $\stackrel \frown{AB}\;$.

resposta:

Resolução: De acordo com a figura traçada a partir do enunciado:

Resposta:$S = \dfrac{2\pi}{9}\; cm^2$
×

A que horas da noite os ponteiros de um relógio coincidem entre os números 8 e 9 do mostrador?

resposta: 20 h 43 min 37,2 seg.
×

(GOIÂNIA) Em um triângulo retângulo $\,ABC\,$ os ângulos $\;\hat{B}\text{ e } \hat{C}\;$ são agudos. Se a hipotenusa mede 3 cm. e $\,\operatorname{sen}C\,=\,{\large \frac{\operatorname{sen}B}{2}}\;$, calcule as medidas dos catetos.

resposta: $\,\frac{3 \sqrt{5}}{5}\,\text{cm. e }\,\frac{6\sqrt{5}}{5}\,\text{cm.}$

×

(FUVEST) Em um triângulo $\,ABC\,$ o lado $\,AB\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ e o ângulo $\,\hat{C}\,$, oposto ao lado $\,AB\,$, mede $\,45^o\,$. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo.

resposta:

Resolução:

Na figura, $\,\triangle ABC\,$ onde o ângulo $\,\hat{C}\,$ mede 45° e o lado $\,\overline{AB}\,$ mede $\,4\sqrt{2}\,$ unidades. O triângulo está inscrito na circunferência de centro $\,O\,$.

Se $\,A\hat{C}B\,$ é um ângulo inscrito, então o ângulo $\,A\hat{O}B\,$ é o ângulo central correspondente e mede o dobro de $\,A\hat{C}B\,$, ou seja, mede $\,2\,\centerdot\,45^o\,=\,90^o\;$ $\,\longrightarrow \,$ o triângulo $\,A\hat{O}B\,$ é reto em $\,\hat{O}\,$

O triângulo $\,AOB\,$ é isósceles com dois lados iguais ao raio $\;r\;$ da circunferência e o terceiro lado igual a $\;4\sqrt{2}\,$.

Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo isósceles $\,AOB\,$ temos:

$\,r^2\,+\,r^2\,=\,(4\sqrt{2})^{\large 2}\,$

$\,2\centerdot r^2\,=\,16\centerdot 2\,\Rightarrow\,r\,=\,\sqrt{16}\,$

Outro método: Da trigonometria, sabemos que o seno de 45° é $\,\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{\,2\,}$ podemos utilizar o Teorema dos Senos:
$\, \dfrac{med(AB)}{sen\,45^o}\,=\,2\, \centerdot \, Raio\;\Rightarrow\;\dfrac{\;4\sqrt{\,2\,}\;}{\dfrac{\sqrt{\,2\,}}{2}} \,=\,2R\,\Rightarrow$ $\,2R\,=\,8\;\Rightarrow\;R\,=\,4\,$

medida do raio r = 4
×

Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .

resposta:

Resolução:

Sendo o centro da circunferência
o ponto C (x , 3) conforme a figura:

Sendo $\;\overline{CA}\;$ e $\;\overline{CB}\;$ raios da mesma circunferência,
são segmentos de medidas iguais:

$ \overline{CA}\,=\overline{CB}\,$
$\;\sqrt{ (x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,6)^{\large 2}} \,= $ $\,\sqrt{ (x\,-\,0)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,3)^{\large 2} } $

Elevando ao quadrado, simplificando, temos:

$(x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,9\,=\,x^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $x\,=\,-5\,$

Então o centro é $\,C\,(-5\,,\,3)\,$ e o raio é $\,\overline{BC}\,=\,5$

e a equação da circunferência:

$\,(x\,+\,5)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow\;$ $\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\,$

$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\;}\,$
×

Os vértices de um triângulo são: A (-3 , 6) ; B (9 , -10) e C (-5 , 4). Determinar o centro e o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

resposta:

Considerações:

A distância entre dois pontos no plano cartesiano é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados da diferença entre as coordenadas respectivas dos pontos dados.

Veja aqui

Resolução:

Vejamos o rascunho ao lado, onde o centro da circunferência é O (x , y) . Os segmentos $\,\overline{OA}\,$, $\,\overline{OB}\,$ e $\,\overline{OC}\,$ são raios da circunferência e têm medidas iguais a R .

$\phantom{X}\left.\begin{array}{rcr} d_{OA}\,=\,R \;& \\ d_{OB}\,=\,R \;& \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$ $\;d_{OA}\,=\,d_{OB}\;\Rightarrow \,\sideset{}{_{OA}^2}d\;=\sideset{}{_{OB}^2}d\;\Rightarrow$

1.
${\small [x\,-\,(-3)]^2\,+\,(y\,-\,6)^2}\,=\,$ ${\small (x\,-\,9)^2\,+\,[y\,-\,(-10)]^2\;}\Rightarrow $

${\small x^2\,+\,6x\,+\,9\,+\,y^2\,-\,12y\,+\,36}\,=$ ${\small \,x^2\,-\,18x\,+\,81\,+\,y^2\,+\,20y\,+\,100\;}\Rightarrow $

${\small 6x\,-\,12y\,+\,18x\,-\,20y}\,=$ $\,{\small 81\,+\,100\,-\,9\,-\,36}\;\Rightarrow $

${\small 24x\,-\,32y\,=\,136}\;\Rightarrow \;$ $\boxed{\;3x\,-\,4y\,=\,17\;}\;\text{(I)}$

2.
$\left.\begin{array}{rcr} d_{OA}\,=\,R \;& \\ d_{OC}\,=\,R \;& \\ \end{array} \right\}\;$ $\;\Rightarrow\;d_{OA}\,=\,d_{OC}\;\Rightarrow \;\sideset{}{_{OA}^2}d\;=\sideset{}{_{OC}^2}d\;\Rightarrow$

${\small [x\,-\,(-3)]^2\,+\,(y\,-\,6)^2}\,=\;$ $\,{\small [x\,-\,(-5)]^2\,+\,(y\,-\,4)^2}\;\Rightarrow $

${\small \, x^2\,+\,6x\,+\,9\,+\,y^2\,-\,12y\,+\,36}\,=\,$ ${\small \,x^2\,+\,10x\,+\,25\,+\,y^2\,-\,8y\,+\,16}\;\Rightarrow $

${\small \,6x\,-\,12y\,-\,10x\,+\,8y}\,=\,$ ${\small \,25\,+\,16\,-\,9\,-\,36}\;\Rightarrow $

${\small \,-4x\,-\,4y\,=\,-4}\;\Rightarrow\;$ $\; \boxed{\;x\,+\,y\,=\,1\;}\;\text{(II)} $

3.
O próximo passo é resolver o sistema de duas equações (I) e (II):

$\;\left\{\begin{array}{rcr} 3x\,-\,4y\,=\,17 & \\ x\,+\,y\,=\,1\phantom{X} \;& \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow\;$ $\;\left\{\begin{array}{rcr} x\,=\,3\;\; & \\ y\,=\,-2& \\ \end{array} \right.\;\Rightarrow\;$ $\; 0\,(3\,,\,-2)\,$

Sabemos então que o centro tem coordenadas (3 , -2) , então vamos calcular a medida do raio:

$\,R\,=\,d_{OA}\,=\,$ $\,\sqrt{[3\,-\,(-3)]^2\,+\,(-2\,-\,6)^2}\;\Rightarrow\;$ $\;R\,=\,10$

$\;\boxed{0\,(3\,,\,-2)\;\text{e}\;R\,=\,10}\,$

×

(ITA - 1979) O valor numérico de um ângulo excede o de seu seno de 11% do valor do ângulo. O seno desse ângulo é 0,75 portanto o valor do ângulo é de aproximadamente:

resposta: Resolução:

$\theta\,=\,\operatorname{sen}\theta\,+\,0,11\theta$

$\theta\,=\,0,75\,+\,0,11\theta$

$\theta = {\large\frac{0,75}{0,89}}\,=\,0,84\,\text{rad} $

regra de 3:$\phantom{X} \left.\begin{array}{rcr} \pi \,\text{rad}\,=\,180^o \;& \\ 0,84\,\text{rad}\,=\,\theta \;& \\ \end{array} \right\} \phantom{X} \theta\,=\,{\large \frac{0,84 \centerdot 180}{3,1416}}\;\Longrightarrow\;\theta\,=\,48,12^o $

ou $\phantom{X}\boxed{\;\theta\,\simeq\,48^o\;}$

Resposta:
alternativa C
×

(FGV) As cordas $\,\overline{AB}\,$ e $\,\overline{CD}\,$ de uma circunferência de centro $\,O\,$ são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas $\,\overline{AD}\,$ e $\,\overline{BC}\,$ se intersectam no ponto $\,P\,$, conforme indica a figura a seguir:

A medida do ângulo $\,B\hat{P}D\,$, indicado na figura por $\,\alpha\,$, é igual a:

(FUVEST - 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide $\,SABCD\,$ sobre o paralelepípedo reto $\,ABCDEFGH\,$. Sabe-se que $\,S\,$ pertence à reta determinada por $\,A\,$ e $\,E\,$ e que $\,AE\,=\,2cm\,$, $\,AD\,=\,4cm\,$ e $\,AB\,=\,5cm\,$. A medida do segmento $\,\overline{SA}\,$ que faz com que o volume do sólido seja igual a $\,\dfrac{4}{3}\,$ do volume da pirâmide $\,SEFGH\,$ é

(FUVEST - 2015) Na cidade de São Paulo, as tarifas de transporte urbano podem ser pagas usando o bilhete único. A tarifa é de ${\small R\$\,}$3,00 para uma viagem simples (ônibus ou metrô/trem) e de ${\small R\$\,}$4,65 para uma viagem de integração (ônibus e metrô/trem). Um usuário vai recarregar seu bilhete único, que está com um saldo de ${\small R\$\,}$12,50. O menor valor de recarga para o qual seria possível zerar o saldo do bilhete após algumas utilizações é

(FUVEST - 2015) A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é

a)

$\,5\,\times\,10^{\large 23}\,$

b)

$\,1\,\times\,10^{\large 23}\,$

c)

$\,5\,\times\,10^{\large 22}\,$

d)

$\,1\,\times\,10^{\large 22}\,$

e)

$\,5\,\times\,10^{\large 21}\,$

Nota:

1)

Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite é o diâmetro da base do cilindro.

2)

Adote os valores aproximados de:
● 2,2 g/cm³ para a densidade da grafita;
● 12 g/mol para a massa molar do carbono;
●$\,6,0\,\times\,10^{23}mol^{\large -1}\,$ para a constante de Avogadro.

(FUVEST - 2018) O quadrilátero da figura está inscrito em uma circunferência de raio 1. A diagonal desenhada é um diâmetro dessa circunferência.

Sendo x e y as medidas dos ângulos indicados na figura, a área da região hachurada, em função de x e y, é:

a)

$\,\pi\,+\,\operatorname{sen}(2x)\,+\,\operatorname{sen}(2y)\,$

b)

$\,\pi\,-\,\operatorname{sen}(2x)\,-\,\operatorname{sen}(2y)\,$

c)

$\,\pi\,-\,\operatorname{cos}(2x)\,-\,\operatorname{cos}(2y)\,$

d)

$\,\pi\,-\,\dfrac{\operatorname{cos}(2x)\,+\,\operatorname{cos}(2y)}{2}\,$

e)

$\,\pi\,-\,\dfrac{\operatorname{sen}(2x)\,+\,\operatorname{sen}(2y)}{2}\,$

(FUVEST - 2017) O paralelepípedo retorretângulo ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos lados AB = 4, BC = 2 e BF = 2.

O seno do ângulo HÂF é igual a

a)

$\,\dfrac{1}{2\sqrt{5}}\,$

b)

$\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}\,$

c)

$\,\dfrac{2}{\sqrt{10}}\,$

d)

$\,\dfrac{2}{\sqrt{5}}\,$

e)

$\,\dfrac{3}{\sqrt{10}}\,$

(FUVEST - 2017) João tem ${\small R\$\,}$150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja A, as canetas são vendidas em dúzias, cada dúzia custa ${\small R\$\,}$40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja B, as canetas são vendidas em pares, cada par custa ${\small R\$\,}$7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja C, as canetas são vendidas avulsas, cada caneta custa ${\small R\$\,}$3,20 e há 25 canetas em estoque. O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas A, B e C utilizando no máximo ${\small R\$\,}$150,00 é igual a

(FUVEST - 1977) A reta de equação $\,3x\,-\,4y\,=\,6\,$ intercepta a circunferência $\,4x^2\,+\,4y^2\,-\,8x\,+\,16y\,=\,5\,$ nos pontos $\,A\,$ e $\,B\,$. Determine o valor de $\,\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\,$, onde $\,\alpha\,$ é a medida do ângulo $\,ACB\,$ e $\,C\,$ o centro da circunferência.

resposta: $\,\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\,=\,\dfrac{\sqrt{21}}{2}\,$

×

(FUVEST - 1980) A aresta do cubo abaixo mede 2 e BP = 3. Calcule PC e PD.

resposta: A medida de PC é $\,\sqrt{29}\,$ e a medida de PD é $\,\sqrt{33}\,$
×

(FUVEST - 1980) Numa certa população 18% das pessoas são gordas, 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual a porcentagem de homens na população?

resposta: A porcentagem de homens na população é 40%

×

(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?

resposta:

Resolução:
a)

Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$.
Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio)
b)

Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$.
Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que:
$\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$
resposta

a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e
b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°

×

(FUVEST - 2009) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que:

${\small \,AB\,=\,CD\,=\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,}$
${\small \,AD\,=\,BC\,=\,AE\,=\,BE\,=\,CE\,=\,DE\,=\,1\,}$
${\small \,AP\,=\,DQ\,=\,\dfrac{1}{2}\,}$

Nessas condições, determine:
a) A medida de $\,\overline{BP}\,$.
b) A área do trapézio $\,BCQP\,$.
c) O volume da pirâmide $\,BPQCE\,$.

resposta:

a)

$\,BP\,=\,\dfrac{\sqrt{10}}{4}\,$ unidades de comprimento

b)

$\,S\,=\,\dfrac{9}{16}\,$ unidades de área

c)

$\,V\,=\,\dfrac{3\sqrt{3}}{64}\,$ unidades de volume

×

Determine a medida de PQ, sendo AB = 31:

(FATEC - 1979) Na figura abaixo, ABFG e BCDE são dois quadrados com lados, respectivamente, de medida a e b. Se $\;\overline{AG}\,=\,\overline{CD}\,+\,2\;\,$ e o perímetro do triângulo ACG é 12, então, simultaneamente, a e b pertencem ao intervalo:

Responda as afirmações de A) até E) como CERTO ou ERRADO.

A)

Se $\,\overline{AB}\,\cong\,\overline{BD}\,$ então $\,A\,=\,D\,$.

( )

B)

Todo plano é convexo.

( )

C)

A circunferência é convexa.

( )

D)

A união de duas
regiões convexas é convexa.

( )

resposta:

A)

(ERRADO)

Resolução:
Podemos ter:

onde a medida $\,(\overline{AB})\,$ é igual à medida de $\,(\overline{BD})\,$ e $\,A\,$ é diferente de $\,D\,$.

B)

(CERTO)

Resolução:
Seja um plano $\,\alpha\,$:
Se $\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\alpha& \\ B\,\in\,\alpha& \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow\;$ $\,\overline{AB} \;\subset\;\alpha\;\;\forall\;A,B\;\in\,\alpha\;\Rightarrow$
$\,\Rightarrow \;\alpha \mbox { é convexo}\,$

C)

(ERRADO)

Resolução:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ B\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ \end{array} \right.\;$ $ \Rightarrow\; \mbox{ o segmento}\;\overline{AB} \;\not\subset\; \mbox{ na circunferência}$
$\,\Rightarrow \;$ circunferência não é convexa.

D)

(ERRADO)

Resolução:

Como no exemplo, S1 e S2 são círculos; S1 é convexo e S2 é convexo.Na figura, S1 ∪ S2 = S que não é convexa, pois ∃ A,B ∈ S | AB ⊄ S

E)

(CERTO)

$\,\forall\,A,B\,\in\,\mbox{ reta } \;\Rightarrow\,\overline{AB}\,\subset\,\mbox{reta}\,$

×

(MAPOFEI) O perímetro de um triângulo é 100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine os lados desse triângulo.

resposta:

Resolução:Teorema da Bissetriz

Construindo-se a bissetriz de um ângulo de um triângulo, determinam-se no lado oposto segmentos proporcionais aos lados desse triângulo.

Na figura ao lado, um triângulo ABC de lados de medidas a, b e c, onde $\,\overleftrightarrow{AS}\,$ é a bissetriz do ângulo no vértice A.
Sabemos no enunciado que

1.

$\,m\,=\,16\,$ e $\,n\,=\,24\,$, então o lado c do triângulo mede $\,c\,=\,m\,+\,n\,=\,16\,+\,24\,=\,40\;\Rightarrow\;\boxed{\,c\,=\,40\,m\,}\,$

2.

O perímetro do triângulo é 100 m, então a soma $\,a\,+\,b\,+\,c\,=\,100\;\Rightarrow\;a\,+\,b\,+\,40\,=\,100\,$ $\Rightarrow\,a\,+\,b\,=\,60\,$(I)

Se os lados são proporcionais aos segmentos gerados pela bissetriz (TEOREMA DA BISSETRIZ) então temos conforme a figura: $\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{m}{n}\,$ $\Rightarrow\,\dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\,$(II)(I) e (II)$\,\longrightarrow\,\left\{\begin{array}{rcr} \,a\,+\,b\,=\,60\,& \\ \dfrac{a}{b} \,=\,\dfrac{16}{24}\phantom{X}& \\ \end{array} \right.\,$ $\Rightarrow\,a\,=\,\dfrac{2b}{3}\phantom{X}\Rightarrow\;\dfrac{2b}{3}\,+\,b\,=\,60 $
$\,\Rightarrow\;5b\,=\,180\;\Rightarrow\;\boxed{\,b\,=\,36\,m\,}\;a\,=\,\dfrac{2b}{3}\;\Rightarrow\,\boxed{\,a\,=\,24\,m\,}$

Resposta:

Os lados do triângulo são 24m, 36m e 40m
×

Num triângulo $\;ABC\;$, o lado $\,a\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,A\,$, o lado $\,b\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,B\,$ e o lado $\,c\,$ é oposto ao ângulo de vértice em $\,C\,$. Tem-se que $\;a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,bc\;$. Calcular a medida do ângulo $\;\hat{A}\;$.

resposta:

LEI DOS COSSENOS:
"Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".

Resolução:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2(b)(c) cos\hat{A}$ (lei dos cossenos)
Comparando-se a relação da lei dos cossenos com a relação fornecida no enunciado, têm-se que :$\;(bc)\centerdot 2cos\hat{A}\,=\,(bc)\;\Rightarrow\;2cos\hat{A}\,=\,1\;\Rightarrow\;cos\hat{A}\,=\,\dfrac{1}{2}\,$ $\,\Rightarrow\;\boxed{\,\hat{A}\,=\,60^o\,}$
Resposta:

o ângulo $\,\hat{A}\,$ mede 60°

×

(ITA) Os lados de um triângulo medem a , b e c (centímetros). Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações: 3a = 7c e 3b = 8c.

resposta: Alternativa B

LEI DOS COSSENOS:
"Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam".

Resolução:

Na figura, um triângulo genérico $\,\triangle ABC\,$ onde deseja-se a medida do ângulo $\,\hat{A}\,$.

De acordo com a lei dos cossenos temos:

$\;a^2\,=\,b^2\,+\,c^2\,-\,2bc\centerdot (cos\hat{A})\;(I)$

Mas (conforme o enunciado), $\,a\,=\,\dfrac{7c}{3}\,$ e $\,b\,=\,\dfrac{8c}{3}\,$, substituindo em (I)

$\,\left( \dfrac{7c}{3}\right)^{\large 2}\;=\;\left( \dfrac{8c}{3} \right)^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}\, -\,2\centerdot \left( \dfrac{8c}{3} \right)\centerdot c \centerdot cos\hat{A}\;\Rightarrow\,$

$\,\Rightarrow\,\left( \dfrac{49c^{\large 2}}{9}\right)\;=\;\left( \dfrac{64c^{\large 2}}{9} \right)^\,+\,\dfrac{9c^{\large 2}}{9}\, -\,2\centerdot \left( \dfrac{24c^{\large 2}}{9} \right)\centerdot cos\hat{A}\,\Rightarrow\,$

$\,\Rightarrow\,49\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9}\right)\;=\;64\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9} \right)\,+\,9\left(\dfrac{c^{\large 2}}{9}\right)\, -\,2\centerdot 24 \centerdot cos\hat{A}\left( \dfrac{c^{\large 2}}{9} \right)\,$
● dividir a igualdade por c2/9

$\,\Rightarrow\,49\;=\;64\,+\,9\, -\,2\centerdot 24 \centerdot cos\hat{A}\,$

$\,\Rightarrow\,-cos\hat{A}\,=\,\dfrac{49\,-\,64\,-\,9}{2\centerdot 24}\,\Rightarrow\,$

$\,\Rightarrow\,cos\hat{A}\,=\,\dfrac{24}{48}\,\Rightarrow\,cos\hat{A}\,=\,\dfrac{1}{2}\;\Rightarrow\; \hat{A}\,=\,60^o$

Resposta:
medida do ângulo oposto ao lado que mede a centímetros é 60° — alternativa B

×

Demonstrar que, num paralelepípedo reto retângulo, o quadrado da soma das medidas das arestas é igual à soma do quadrado da diagonal com a área total.

resposta: demonstração.

Nesse caso o paralelepípedo é chamado RETO RETÂNGULO:
●RETO significa: as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases.

As faces laterais de todo prisma reto são sempre retângulos

.
●RETÂNGULO significa: suas bases são retângulos. Poderia ser chamado retangular.

Observação importante: Se você ainda não viu como calcular a diagonal de um paralelepípedo retangular reto veja este exercício sobre diagonal do prisma retangular reto.

Resolução:

Queremos provar que a soma das medidas das arestas elevada ao quadrato é igual ao quadrado da diagonal somado à área total.

Hipótese:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \mbox{prisma reto retangular} & \\ \mbox{dimensões }\,a,\, b \mbox{ e }c\phantom{XX}\; &\\ \mbox{diagonal }\,D\phantom{XXXXX}\;\, & \\ \mbox{área total }\,A_{\large t}\phantom{XXXXX} & \end{array} \right.\,$

Tese:

$\,\lbrace(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\;$

1.$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,a^2\,+\,b^2\,+\,c^2\,+\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\;\Rightarrow\phantom{XX}$(I)
2.$\,D\,=\,\sqrt{a^2\,+\,b^2\,+\,c^2}\phantom{XX}$(II)
3.$\,A_{\large t}\,=\,2(ab\,+\,bc\,+\,ac)\,=\,2ab\,+\,2bc\,+\,2ac\phantom{XX}$(III)
então substituindo em (I) as assertivas (II) e (III) temos que:
$\,(a\,+\,b\,+\,c)^2\,=\,A_{\large t}\,+\,D^2\, $

c.q.d.

×

Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo com dimensões a , b e c .

resposta:

Conforme a figura ao lado, o polígono $\,ABCD\,$ é o retângulo de uma das bases do paralelepípedo reto retângulo de medidas $\,a\,,\,b\,$ e $\,c\,$.

Traçada a diagonal da base $\,\overline{BC}\,$ obtém-se o triângulo retângulo $\,BAC\,$, reto no ângulo de vértice $\,A\,$, com catetos de medidas iguais às arestas da base a e b e hipotenusa o segmento $\;\overline{BC}\;$ oposto a $\,\hat{A}\,$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\,ABC\,$ temos:

$\;\left(\overline{BC}\right)^{\large 2}\,=\,a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\;\Rightarrow\;\overline{BC}\,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\,$

Traçando-se a diagonal do paralelepípedo $\;\overline{FC}\;$ (veja figura) temos o triângulo retângulo $\;CBF\;$, reto em $\,\hat{B}\,$ cujos catetos são $\,\overline{BF}$ de medida igual a $\;c\;$ e $\;\overline{BC}\,$ de medida $\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\,$.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo $\,FBC\,$ temos a medida da hipotenusa $\,\overline{FC}\,$ que é uma diagonal do paralelepípedo.

$\;\left( \overline{FB} \right)^{\large 2}\, + \,\left( \overline{BC} \right)^{\large 2}\,=\,\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,\Rightarrow\;$

$\;c^{\large 2}\,+\,\left(\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\right)^{\large 2}\,=\,\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\;\Rightarrow\,$

$\;\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,=\,c^{\large 2}\,+\,\left(\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}}\right)^{\large 2}\,$

$\;\left( \overline{FC} \right)^{\large 2}\,=\,c^{\large 2}\,+\,\left(a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\right)\,$

$\;\overline{FC} \,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}}\,$Donde concluímos que

A medida da diagonal de um paralelepípedo reto retângulo é igual à raiz quadrada da soma do quadrado de cada uma das suas três dimensões.

$\;\mbox{medida da diagonal}\,=\,\sqrt{a^{\large 2}\,+\,b^{\large 2}\,+\,c^{\large 2}}\,$
×

Calcular a área total de um paralelepípedo cujas faces são losangos congruentes de lados iguais a "a" . Sabe-se que uma diagonal da face também mede "a".

resposta:

Considerações:

Romboedro é o prisma oblíquo que tem todas as faces congruentes e em forma de losango.

O Romboedro não é um prisma regular porque não é reto — suas arestas "laterais" são oblíquas em relação aos "planos das bases".
O enunciado desse exercício descreve um romboedro de aresta "a".

Resolução:

$\,A_{\large f}\,\longrightarrow\,\mbox{Área de uma face}\,$
$\,A_{\large t}\,\longrightarrow\,\mbox{Área total}\,$

$A_{\large f}\,=\,2\centerdot \dfrac{a^{\large 2}\sqrt3}{4}\,\Longrightarrow\;$ $\,A_{\large f}\,=\,\dfrac{a^{\large 2}\sqrt3}{2}\,$

$\,A_{\large t}\,=\,6\centerdot A_{\large f}\,=\,6\centerdot \dfrac{a^{\large 2}\sqrt3}{2}\,\Longrightarrow$

$\,\boxed{\,A_{\large t}\,=\,3a^{\large 2}\sqrt3\,}$

A área total do paralelepípedo é

$\,3a^{\large 2}\sqrt3\,$ unidades de medida de área.
×

O triângulo retângulo $\,OAB\,$ gira em torno do cateto $\,OA\,$, determinando um sólido no espaço. O volume gerado pela região $\,OAM\,$ é igual ao gerado pela região $\,OMB\,$. Então a razão $\,\dfrac{AM}{AB}\,$ será:

e)

$\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$

resposta:

Considerações:

Uma região gerada por um triângulo retângulo girando uma volta completa em torno de um de seus catetos é um cone circular reto chamado de cone de revolução.

Observe atentamente a figura ao lado e verifique que:
1. o triângulo retângulo OAB gira em torno do cateto OA gerando o cone circular representado com superfície verde.
2. o triângulo retângulo OAM interno gira em torno do cateto OA gerando o cone circular interno representado na cor cinza.
A reta que contém o segmento OA é chamada eixo de ambos os cones.

Segundo o enunciado:
1. o volume do cone interno cinza gerado pelo triângulo OAM é o mesmo volume que o cone externo gerado pelo triângulo OAB subtraído o volume interno do cone gerado por OAM. Como na figura, o volume do cone externo verde subtraído o cone interno cinza é igual ao volume do cone interno cinza.
2. o examinador deseja a razão $\;\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$, que é a razão do cateto inferior de OAM sobre o cateto inferior de OAB: $\;\rightarrow\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\;=\;\dfrac{(a)}{(a\,+\,b)}$
Resolução:

Volume gerado pela região OAM é $\,\dfrac{\pi(a)^{\large 2}\centerdot H}{3}\,=\,\dfrac{\pi H(a)^{\large 2}}{3}\;\;$(I)
Volume gerado pela região OMB é :(volume do cone gerado OAB) subtraído (volume gerado por OAM): $\,\dfrac{\pi(\overline{AB})^{\large 2}\centerdot H}{3}\, - \,\dfrac{\pi(\overline{AM})^{\large 2}\centerdot H}{3}\phantom{X}=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (\overline{AB})^{\large 2}\,-\,(\overline{AM})^{\large 2} \right)\;\;=\phantom{X}$ $\,\dfrac{\pi}{3}\centerdot H \left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)\;\;$(II)

Conforme o enunciado, igualando (I) e (II) temos:
$\,\require{cancel} \cancel{\dfrac{\pi H}{3}}(a)^{\large 2}\, = \,\cancel{\dfrac{\pi H}{3}}\left( (a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2} \right)$

$\, (a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\,-\,(a)^{\large 2}$

$\, 2(a)^{\large 2}\, = \,(a + b)^{\large 2}\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$

dividindo os dois lados da igualdade por $\,2(a\,+\,b)^{\large 2}$

$\dfrac{2(a)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{(a\,+\,b)^{\large 2}}{2(a\,+\,b)^{\large 2}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\dfrac{\cancel{2}(a)^{\large 2}}{\cancel{2}(a\,+\,b)^{\large 2}}\,=\,\dfrac{\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}{2\cancel{(a\,+\,b)^{\large 2}}}\,$ $\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}\left(\dfrac{a}{a + b}\right)^{\large 2}\,=\,\dfrac{1}{2}\,\phantom{X}\Rightarrow\phantom{X}$

$\,\left\{\begin{array}{rcr} \dfrac{a}{a + b}\,=\,+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \;\Rightarrow\;\boxed{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,} & \; \\ \cancel{\,\dfrac{a}{a + b}\,=\,-\sqrt{\dfrac{1}{2}}\,}\mbox{ (valor negativo)} \phantom{XX}\, & \\ \end{array} \right.\,$

Como trata-se de medida de comprimento e/ou distância, valores negativos não são considerados

A razão $\,\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AB}}\,$ é igual a $\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,$ que corresponde à

Alternativa E
×

(PUC) A medida dos lados de um triângulo equilátero $\;ABC\;$ é $\;a\;$ . O triângulo $\;ABC\;$ gira em torno de uma reta $\;r\;$ do plano do triângulo, paralela ao lado $\;\overline{BC}\;$ e passando pelo vértice $\;A\;$. O volume do sólido gerado por esse triângulo vale:

a)

$\;\dfrac{\pi\,a^{\large 3}}{3}\;$

b)

$\;\dfrac{\,\pi\,a^{\large 3}}{2}\;$

c)

$\;\pi\,a^{\large 3}\;$

d)

$\;\dfrac{3\,\pi\,a^{\large 3}}{2}\;$

e)

$\;\dfrac{\pi\,a^{\large 3}}{5}\;$

(ITA - 1986) Um cilindro equilátero de raio 3 cm está inscrito num prisma triangular reto, cujas arestas da base estão em progressão aritmética de razão s , s > 0. Sabendo-se que a razão entre o volume do cilindro e do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$ podemos afirmar que a área lateral do prisma vale

b)

$\;12\,\pi\,cm^2\;$

d)

$\;\dfrac{\pi}{5}\;$ da área lateral do cilindro

c)

$\;24\,cm^2\;$

e)

$\;\dfrac{5}{3}\;$ da área lateral do cilindro

resposta:

Considerações:

Eixo do cilindro é a reta que passa pelos centros das bases do cilindro.
Secção meridiana de um cilindro é a secção gerada por um plano que contém o eixo do cilindro.
Um cilindro é chamado reto quando o seu eixo é perpendicular aos planos das bases.
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.

A secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado.

Resolução:

1. Observando atentamente a figura, temos:

$\;A_{\mbox{base}}\;$

=

área da base do prisma triangular

$\;V_C\;$

=

o volume do cilindro

$\;\rightarrow\;V_C\;=\;\pi\centerdot R^{\large 2}\;=\;\pi\centerdot(3)^{\large 2}$

$\;V_P\;$

=

o volume do prisma triangular

$\;\rightarrow\;V_P\;=\,A_{\mbox{base}}\centerdot h\;=\;A_{\mbox{base}}\centerdot 6\;$

A razão entre o volume do cilindro e o volume do prisma é $\;\dfrac{\pi}{4}\;$.
$\;\dfrac{V_C}{V_P}\,=\,\dfrac{\pi}{4}\;\Rightarrow\;\dfrac{\pi\centerdot 3^{\large 2}\centerdot 6}{6 \centerdot A_{\mbox{base}}}\;\Leftrightarrow\;A_{\mbox{base}}\,=\,36$

A base do cilindro é um círculo inscrito na base triangular do prisma. Então o centro do círculo é o incentro da base triangular.

A área de um triângulo é igual ao seu semiperímetro multiplicado pelo raio da circunferência inscrita

Perímetro da base

=

$\;p\;=\,(a\,-\,s)\,+\,a\,+\,(a\,+\,s)\;=\;3\centerdot a$

Semiperímetro da base

=

$\;\dfrac{p}{2}\;=\;\dfrac{3\centerdot a}{2}$

$\;A_{\mbox{base}}\; =\;$ semiperímetro $\times$ R

=

$\;\dfrac{3\centerdot a \centerdot 3}{2}\; =\;36\;\Rightarrow$ $\;a\;=\;8\;$

A área lateral do prisma triangular é a soma das áreas de cada uma das três faces retangulares laterais:
Alateral = $\,6(a\,-\,s)\,+\,6(a)\,+\,6(a\,+\,s)\,$ $\,=\,6(a - s + a + a - s)\,=\,6(3a)\,=\,6\centerdot 3\centerdot 8\,= 144\;cm^2\;$

Alternativa A
×

(UEMT) Comparando-se a escala X de um termômetro com a escala C (Celsius), obteve-se o gráfico anexo de correspondência entre as medidas.

Dessa forma, à temperatura de fusão do gelo, o termômetro X marca:

(UEMT) Comparando-se a escala X de um termômetro com a escala C (Celsius), obteve-se o gráfico anexo de correspondência entre as medidas.

Dessa forma, nos vapores de água em ebulição, o termômetro X marca aproximadamente:

e)

um valor diferente das anteriores em mais de 10%

(MAUÁ) Pode-se medir a temperatura com um termômetro de mercúrio. Neste, a grandeza termométrica é o comprimento $\phantom{X}{\large \ell}\phantom{X}$ de uma coluna capilar, medida a partir de uma origem comum. Verifica-se que $\,{\large \ell}\,=\,2,34\,cm\,$, quando o termômetro está em equilíbrio térmico com o gelo em fusão, e $\,{\large \ell}\,=\,12,34\,cm\,$, quando o equilíbrio térmico é com a água em ebulição (num ambiente em que a pressão atmosférica é 1 atm).

a)

Calcule o comprimento da coluna de mercúrio, quando a temperatura é θ = 25 °C

b)

Calcule a temperatura ambiente, quando $\,{\large \ell}\,=\,8,84 cm\,$

resposta: a)4,84 cm b) 65 °C
×

O segmento AB de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento CD dessa mesma reta. Determine a medida do segmento AB , considerando como unidade de medida a quinta parte do segmento CD.

(UNESP - 1998) O triângulo ABC da figura é equilátero. Os pontos M e N e os pontos P e Q dividem os lados a que pertencem em três segmentos de reta de mesma medida.

Nessas condições calcule:

a)

a medida do ângulo MPQ (vértice P);

b)

a medida do ângulo BMQ (vértice M).

resposta: a) MPQ = 120°b) BMQ = 90°
×

(ITA - 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a

b)

$\,\dfrac{(2\,+\,\sqrt{\;3\;})}{5}\,$

c)

$\,(\dfrac{\;1\;}{2})\sqrt{(2\,+\,\sqrt{3})}\,$

d)

$\,(\dfrac{\;1\;}{4})\sqrt{(4\,+\,\sqrt{3})}\,$

e)

$\,(\dfrac{\;1\;}{3})\sqrt{(2\,+\,\sqrt{3})}\,$

Uma solução de NaOH apresenta título igual a 0,4 . Qual sua molalidade?
Moℓ do NaOH = 40 g

resposta: A solução é 16,6 molal.
×

Uma solução de ácido sulfúrico tem densidade 1,6 g/cm3 e é 85% em massa de H2SO4. Qual a molaridade e a normalidade dessa solução?
Dado: moℓ de H2SO4 = 98 g.

resposta: M = 13,8 molar N = 27,6 normal
×

A normalidade de uma solução de hidróxido de bário de 34,2% em peso, cuja densidade é igual a 1,25 g/cm3 , é:Dado: moℓ do Ba(OH)2 = 171 g

Certa solução aquosa de amônia (NH3 contém 1,7 % em massa dessa substância. Quantos mililitros de solução aquosa 1 molar de HCℓ são necessários para a completa salificação de 100g dessa solução? Informação: massa molecular do NH3 = 17

Calcule, com dois algarismos significativos, a porcentagem em massa do solvente, em uma solução 0,10 molar de sacarose em água.Massa específica da solução = 1,01 g/mℓ. Massas Atômicas: C = 12; H = 1,0; O = 16)

3 mℓ de uma solução de ácido clorídrico decinormal reagem totalmente com uma amostra de carbonato de cálcio. A massa de CaCO3 (mol = 100 g) atacada é de:

(SANTA CASA) Considere uma mistura de três componentes A, B, C . Desejando-se exprimir a concentração por um número adimensional e independente da temperatura, pode-se adotar a:

Temos 180 cm3 de solução 2 N de uma substância. Para torná-la 0,1 N , o volume de água a ser adicionado é:

Um ângulo tem por medida $\,\frac{\;3\;}{\;2\;}\,$ da medida de seu adjacente. O complemento do maior tem na sua medida 15°28' mais do que a diferença entre as medidas do maior e do menor. Calcular as medidas dos ângulos.

resposta: resposta59°54' e 37°16'
×

Considere um meio que apresente as seguintes propriedades:

a)

o meio permite a propagação de luz, através de si, em trajetórias regulares, com visão nítida dos objetos;

b)

em qualquer posição que considerarmos uma porção do meio, as propriedades físicas são as mesmas.

c)

em cada ponto do meio a velocidade de propagação da luz varia conforme a direção em que é medida.

Classifique o meio em questão.

resposta: transparente, homogêneo, anisótropo
×

Determine o tamanho mínimo e a posição de um espelho plano vertical para que um observador de altura H, cujos olhos estão à altura h, possa se ver de corpo inteiro.

resposta:

Resolução:Vamos construir a imagem no espelho plano e definir a relação entre as medidas.

Passo 1. Marcar os pontos A' e B' simétricos a A e B em relação à superfície do espelho. Desenhar a imagem A'B' simétrica, que na figura (em azul) representa a imagem de AB no espelho.
A medida da distância entre a pessoa AB até o espelho (p) é igual à medida da distância da imagem A'B' ao espelho (p')

Passo 2. Para o observador enxergar a imagem do seu pé, ou seja, enxergar o ponto A, o raio de luz que atinge o seu olho no ponto O deve passar pela imagem do pé no ponto A'.
Desenhe então o raio que parte de A' e atinge O. Lembre-se que atrás do espelho é o ambiente escuro, por isso a porção do raio A'O atrás do espelho é representada como linha pontilhada.
Note na figura que o ponto de cruzamento do raio A'O com o espelho E é o ponto chamado I1. O segmento OI1 representa o raio de luz; o segmento I1A' pontilhado representa o prolongamento do raio que define a imagem da sola do pé A'.

Passo 3. O raio I1O é resultado da reflexão da luz real de um raio que partiu de A e atingiu o espelho no ponto I1.
Desenhar então o raio AI1.

Passo 4. Analogamente, para que o observador possa ver a imagem do topo da sua cabeça, o olho deve receber um raio que passa pelo ponto alto da imagem de sua cabeça, o ponto B'.
Desenhamos um raio de luz que atinge O e cujo prolongamento passa pela imagem do topo da cabeça B'.
Note que esse raio de luz OB' cruza com o espelho num ponto que foi chamado I2. O segmento B'I2 é representado por linha pontilhada porque está na área escura do espelho, ou seja, é apenas um prolongamento do raio de luz.
O segmento I2O é o raio de luz na área clara (real), por isso é representado por linha contínua.

Passo 5. O raio I2O é resultado da reflexão de um raio real que partiu de B e atingiu o espelho no ponto I2.
Desenhar então o raio BI2: o raio que, refletido, gerou a imagem do ponto mais alto da cabeça.

Passo 6. Do esquema ao lado, podemos concluir que o triângulo A'OB' e o triângulo I1OI2 são semelhantes pelo critério (AA∾).
O ângulo $\hat{O}$ é comum a ambos os triângulos A'OB' e I1OI2
Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_2}$ e $\hat{B'}$ são ângulos correspondentes.
Sendo CE paralelo a A'B'(ambos são verticais), então $\hat{I_1}$ e $\hat{A'}$ são ângulos correspondentes.

Passo 7. Conforme o enunciado, a altura do observador em frente ao espelho é H então $\;\overline{AB}\;=\;H\,$
Vamos chamar a dimensão vertical mínima do espelho $\;\overline{I_1I_2}\;$ de $\;d\;$.
Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| .Da semelhança dos triângulos OI1I2 e OA'B' decorre que:
$\;\dfrac{\;H\;}{\;d\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{|p|}\;\Rightarrow\;H\,=\,2d\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;d\;=\;\dfrac{\;H\;}{\;2\;}\;}\;$

O tamanho mínimo de um espelho plano, na posição vertical, para que uma pessoa possa ver seu corpo inteiro, independe da distância entre a pessoa e o espelho.

Passo 8. Vamos chamar de D a posição do espelho em relação ao chão, então $\;\overline{CI_1}\;=\;D\,$
A distância do olho do observador até o chão, segundo o enunciado, é $\;h\;$, então $\;\overline{AO}\;=\;h\,$.
O triângulo AOA' é semelhante ao triângulo CI1A' pelo critério (AA∾)
O ângulo $\;\hat{A}\;$ e o ângulo $\;\hat{C}\;$ são ângulos retos;
O ângulo $\;\hat{A'}\;$ é um ângulo comum aos dois triângulos.
Das propriedades da imagem em um espelho plano, sabemos que |p| = |p'| .
Da semelhança dos triângulos AOA' e CI1A' decorre que:
$\;\dfrac{\;h\;}{\;D\;}\;=\;\dfrac{\;2|p|\;}{\;|p|\;}\;\Rightarrow\;h\;=\;2D\;\Rightarrow$ $\;\boxed{\;D\,=\,\dfrac{\,h\,}{\,2\,}\;}$

A posição de um espelho plano relativa ao solo para que um observador consiga ver-se de corpo inteiro independe da distância do observador ao espelho (p).

×

No esquema estão representados:
E - espelho côncavo
x - eixo principal do espelho E
O - objeto
I - imagem conjugada ao objeto O

Considerando as medidas indicadas no esquema, dentre os valores das alternativas, o que melhor representa a distância focal do espelho E, em metros, é:

(FUVEST - 2015) No cubo $\,ABCDEFGH\,$, representado na figura, cada aresta tem medida 1 . Seja $\;M\;$ um ponto na semirreta de origem $\;A\;$ que passa por $\;E\;$. Denote por θ o ângulo $\,B\hat{M}H\,$ e por $\;x\;$ a medida do segmento $\,\overline{AM}\,$ .

a)

Exprima $\,\operatorname{cos}\theta\,$ em função de $\;x\;$

b)

Para que valores de $\,x\,$ o ângulo $\,\theta\,$ é obtuso?

c)

Mostre que, se $\,x\;=\;4\,$, então $\,\theta\,$ mede menos que 45°

resposta: a)

Resolução:

Observe na figura ao lado que no triângulo HMB:

i)

pela lei dos cossenos temos: $\;(HB)^2\,=\,$ $\,(MB)^2\,+\,(MH)^2\,-\,(MB)(MH)\operatorname{cos}\theta\;$

ii)

o lado (HB) é a diagonal do cubo de lado 1, portanto mede $\;1\sqrt{\,3\,}\;$

iii)

o lado (MB) é hipotenusa do triângulo retângulo MAB e pelo teorema de Pitágoras $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MB\,=\, \sqrt{\;x^2\;+\;1\;}\;$

iv)

o lado (MH) é hipotenusa do triângulo retângulo MEH e pelo teorema de Pitágoras $\;MH\,=\,\sqrt{\,(x\,-\,1)^2\,+\,1^2\;}\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;(x\,-\,1)^2\;+\;1\;}\;\;\Rightarrow$ $\;MH\,=\, \sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}\;$

v)

Substituindo os valores na equação obtida em i) temos:

$\;\operatorname{cos}\theta\;=\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}$
b)

Um ângulo é obtuso quando seu cosseno é menor que zero.

então:
$\;\operatorname{cos}\theta \;\lt\;0\;\Leftrightarrow$ $\;\dfrac{x^2\,-\,x}{\sqrt{\;x^2\,+\,1\;}\centerdot\sqrt{\;x^2\,-\,2x\,+\,2\;}}\;\lt\;0\;$

Como o denominador da fração acima é a multiplicação entre duas raízes quadradas, esse denominador é sempre positivo. Resta então que, para que a fração seja menor que zero é necessário que $\;(x^2\,-\,x\;)\;$ seja menor que zero.

raízes : $\;x_1\,=\,0\phantom{X}x_2\,=\,1\;$; o coeficiente de $\,x^2\,$ é maior do que zero, então a expressão será negativa para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$

O ângulo $\;\theta\;$ é obtuso para $\;0\,\lt\,x\,\lt\,1\;$
c) basta substituir x por quatro na equação do cosseno de $\,\theta\,$ e constatar que se x = 4 o cosseno é $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$. Como $\,\sqrt{\frac{144}{170}}\,$ é menor que $\, cos45^o \;=\;\frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{2}\,$, então θ < 45° para x = 4.
×

Com os dados da figura, calcular a medida do arco α em graus.

resposta:

Todo ângulo inscrito numa circunferência é igual à metade do ângulo central conrrespondente.

O ângulo central é a mesma medida em graus do arco de circunferência que ele determina.

Na figura, O ângulo inscrito de vértice M determina o arco α e portanto mede α/2.

O ângulo inscrito com vértice em P determina o arco de 80°, e portanto mede 40°.

O ângulo $\,M\hat{P}K\,$ mede então 180° - 40° = 140°.

A soma dos ângulos internos no triângulo MPK é 180° e portanto:

$\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;+\;140\;+\;20\;=\;180\;\Rightarrow$ $\;\dfrac{\;\alpha\;}{\;2\;}\;=\;20\;\Rightarrow$ $\;\alpha\;=\;40^o\;$

A seguir o quadro-resumo das relações entre as posições do ângulos em relação à circunferência e o arcos determinados por estes

Arcos e Ângulos

Vértice

Tipo

Figura

Relações entre as medidas

centro da
circunferência

Ângulo Central

$\;\hat{O}\;=\;\stackrel \frown{AB}\;$
$\;\hat{O}\;=\;\alpha\;$

em um ponto

Ângulo Inscrito

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}}{\;2\;}\;$

da circunferência

Ângulo de Segmento

$\;\hat{P}\;=\;\dfrac{\;a\;}{\;2\;}\;$

Interior

Ângulo Excêntrico Interior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{AB}\,+\,\stackrel \frown{MN}}{2}\;$

 $\;\alpha\;=\;\dfrac{\;a\,+\,b\;}{\;2\;}\;$

Exterior

Ângulo Excêntrico Exterior

$\;\alpha\;=\;\dfrac{\stackrel \frown{MN}\,-\,\stackrel \frown{AB}}{2}\;$

 $\;\alpha\;=\;\dfrac{\;b\,-\,a\;}{\;2\;}\;$

Exterior

Ângulo Circunscrito

$\;\beta\;=\;\dfrac{\;a\,-\,b\;}{2}\;$
ou
$\;\beta\;=\;(180^o\,-\,b)\;$

40°
×

Determinar os ângulos agudos de um triângulo retângulo em que as medidas dos três ângulos formam uma P.A..

Se r // s , determine $\,\hat{\,\alpha\,}\,$ na figura.

resposta:

Considerações:

Na figura existem ângulos formando "bicos" e nesses bicos não existe nenhuma paralela. A solução inicia-se sempre traçando pelos bicos outras retas paralelas às retas já existentes.

Resolução:

Uma vez traçadas as retas paralelas às retas já existentes, podemos marcar os ângulos alternos internos que são congruentes entre si.

Na figura esses ângulos aparecem destacados com cores iguais.
Decorre que a medida de $\;\hat{\,\alpha\,}\;$ é (50° + 40°) = 90°

α = 90°
×

Na figura, calcular a medida de $\;\hat{\;x\;}\;$ :

O valor de um ângulo interno de um polígono regular é 150° . Qual é o polígono?

resposta:

Polígono regular possui todos os lados de mesma medida e todos os ângulos de mesma medida.

Resolução:

$\,\left\{\begin{array}{rcr} A_i\;\leftarrow & \\ S_i \; \leftarrow & \\ n \;\leftarrow & \end{array} \right.\,$

medida do ângulo interno
soma das medidas dos ângulos internos
número de lados

Sabemos que soma dos ângulos internos de um polígono é $\boxed{\phantom{X}S_i\;=\;180^o(n\,-\,2)\phantom{X}}$

$\;A_i\,=\,\dfrac{\;S_i\;}{\;n\;}\;=\dfrac{\;180^o(n\,-\,2)\;}{n}\;=\;150^o\;\Longleftrightarrow$ $\;180^o\,\centerdot\,n\,-\,360^o\;=\;150^o\,\centerdot\,n\;\Longrightarrow$ $\;n\,=\,12\;$

O polígono é o Dodecágono (n = 12 lados)
×

Determinar os ângulos de um triângulo sabendo-se que eles estão em P.A. e que a medida do maior ângulo é o quíntuplo da medida do menor ângulo.

resposta: 20°, 60° e 80°
×

De uma sequência infinita de quadrados onde a medida do lado de cada um, a partir do segundo, é sempre a metade da medida do lado do quadrado anterior, sabe-se que o lado do 1º quadrado mede 6. Calcular a soma das áreas destes quadrados.

Qual a área da superfície da esfera cuja secção meridiana tem 6 ℼ m² de área?

resposta:

Quando um plano α secciona uma esfera e contém o centro da mesma, a secção será denominada 'círculo máximo da esfera' (seu raio é o mesmo raio da esfera).

Considerações:

O raio da secção meridiana tem medida igual à medida do raio da esfera.

Áreacírculo máximo = ℼ R² = 6 ℼ ⟺ R² = 6
Áreasuperf. esférica = 4 ℼ R² = 4 ℼ 6 = 24ℼ m²

Ssuperf. esférica = 24ℼ m²
×

Dada uma esfera de raio r , calcular o volume do cilindro equilátero circunscrito.

resposta:

Resolução:
O cilindro é EQUILÁTERO quando é reto e a medida de sua altura é igual à medida do diâmetro da base.
Área da Base = $\,A_B = \pi\,r^2\;$
$\;h\,=\,2r\;$
$\,V\,=\,A_B\,\centerdot\,h\,=\,\pi\,r^2\,\centerdot\,2r\,=\,2\pi\,r^3\,$

Volume = 2 ℼ r³
×

Determinar a medida do ângulo $\,x\,$ nas figuras seguintes:

Quantos lados tem um polígono cuja soma dos ângulos internos é 3420?

Quantos lados tem um polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos é 3240?

Como calcular quantos lados tem um polígono convexo?

Qual a soma dos ângulos internos polígono convexo?