Quanto mede cada um dos ângulos externos de um pentadecágono regular?

Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.

Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:

Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.

Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.

Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.

Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º

Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.

Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:

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• n = 3

Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°

• n = 4

Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°

• n = 5

Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°

• n = 6

Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°

• n = n

Si = (n – 2)·180°

Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:

Si = (n – 2)·180°

Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.

ai = Si
     n

Soma dos ângulos externos de um polígono regular

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.

Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática 

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entre o número de diagonais e o número 
de lados de um icoságono convexo?
245.
Quais são os polígonos com os menores números de 
lados que têm a razão entre os números de diagonais 
igual a 
4
7
?
246.
Os números de lados de três polígonos são ímpares 
e consecutivos. Sabendo que juntos eles têm 46 dia-
gonais, determine esses polígonos.
247.
Na figura abaixo, calcule o valor de a + b + c + d.
248.
Os números de lados de dois polígonos convexos têm 
razão 2. Juntos os ângulos internos dos dois polígonos 
totalizam 2.520°. Quais são esses polígonos?
249.
Os números de lados de três polígonos convexos 
são consecutivos. Sendo 1.620° a soma de todos os 
ângulos internos dos três polígonos, determine esses 
polígonos.
250.
Um polígono convexo tem y diagonais e a soma das 
medidas de seus ângulos internos é x°. Sendo y igual 
a 3% de x, determine x.
251.
Dividindo-se a diferença entre a soma das medidas dos 
ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos 
externos de um polígono convexo pelo seu número de 
diagonais, obtêm-se 36°. Que polígono é esse?
140
252. ITA-SP
De dois polígonos convexos, um tem a mais que o 
outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total do 
número de vértices e de diagonais dos dois polígonos 
é igual a:
a) 63 
b) 65 
c) 66
d) 70
e) 77
253.
Calcule a soma dos ângulos assinalados na figura 
abaixo.
254.
Todos os ângulos internos de um polígono convexo 
têm medidas iguais, exceto um deles, que é menor em 
40°. Sendo ímpar o número de lados desse polígono, 
determine o seu número de diagonais.
255.
Dado um dodecágono regular ABCDE…, calcule:
a) a medida do ângulo externo;
b) a medida do ângulo interno;
c) o número de diagonais;
d) a medida do ângulo agudo formado pelos prolon-
gamentos dos lados AB e CD .
256. UFV-MG
Sabendo-se que num polígono regular a soma das 
medidas dos ângulos internos com as medidas dos 
ângulos externos é 900°, calcule:
a) o número de lados desse polígono;
b) o número de diagonais desse polígono;
c) a medida do ângulo interno desse polígono.
257.
Qual a razão entre as medidas dos ângulos internos e 
dos ângulos externos de um icoságono regular?
258. Mackenzie-SP
Os ângulos externos de um polígono regular me-
dem 20°. Então, o número de diagonais desse 
polígono é:
a) 90 
b) 104 
c) 119
d) 135
e) 152
259. FAAP-SP
A medida mais próxima de cada ângulo externo do 
heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:
a) 60° d) 83°
b) 45° e) 51°
c) 36°
260. FGV-SP
Analise as intruções a seguir.
I. Andar 4 metros em linha reta.
II. Virar x graus à esquerda.
III. Andar 4 metros em linha reta.
IV. Repetir y vezes os comandos II e III.
Se as instruções são utilizadas para a construção de 
um pentágono regular, pode-se afirmar que o menor 
valor positivo de x · y é:
a) 144 d) 288
b) 162 e) 324
c) 216
261. Uneb-BA
Dizemos que um polígono pavimenta ou ladrilha um plano 
se cópias congruentes desse polígono, adaptadas lado a 
lado, cobrem o plano sem deixar buracos e sem a necessi-
dade de superposições. Assinale a alternativa que contém 
um polígono que pavimenta ou ladrilha um plano.
a) pentágono
b) eneágono
c) pentadecágono
d) hexágono
e) octógono
262. UFSCar-SP
A figura 1 representa um determinado encaixe no plano 
de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triân-
gulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados 
perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado 
na figura 2, é correto dizer que
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
isósceles de ângulo da base medindo 15°.
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
isósceles de ângulo da base medindo 30°.
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo de base me-
dindo 50° e 4 são triângulos isósceles de ângulo 
da base medindo 30°.
141
PV
2
D
-0
7-
M
AT
-2
4
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
retângulos isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos 
escalenos.
263.
Qual o polígono regular que tem ângulos internos 
com 156°?
264.
O ângulo externo de um polígono regular é igual ao 
dobro do seu ângulo interno.
Determine o número de diagonais desse polígono.
265. Fuvest-SP
Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. A 
medida, em graus, do ângulo α é:
 
a) 32°
b) 34°
c) 36°
d) 38°
e) 40°
266. Fuvest-SP
Os pontos B, P e C pertencem a uma mesma circunfe-
rência γ e BC é lado de um polígono regular inscrito em 
γ. Sabendo que o ângulo BPC mede 18°, podemos con-
cluir que o número de lados de um polígono é igual a:
 
a) 5
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
267. Mackenzie-SP
Na figura, ABCDE é um pentágono regular, EF é 
paralelo a AB e BF é paralelo a AE. A medida do 
ângulo α é:
 
a) 72°
b) 54°
c) 60°
d) 76°
e) 36°
268.
Determine o número de lados de um polígono regular 
convexo cujo ângulo externo é a quinta parte do 
ângulo interno.
269.
Num polígono regular a medida de cada ângulo inter-
no excede a medida de cada ângulo externo em 108°. 
Quantas diagonais tem esse polígono?
270. Mackenzie-SP
Na figura, α = 30°, O é o centro da circunferência e AB 
é o lado do polígono regular inscrito na circunferência. 
Se o comprimento da circunferência é 4π, a área desse 
polígono é:
a) 4 3
b) 6 3
c) 8 3
d) 12 3
e) 16 3
271. 
Determine a medida do ângulo formado pelos pro-
longamentos dos lados AB e CD de um polígono 
ABCDE... regular de 30 lados.
272.
As mediatrizes de dois lados consecutivos de um 
polígono regular formam um ângulo de 18°.
Determine o número de diagonais desse polígo-
no.
273.
Dado um decágono regular ABCDE..., as bissetrizes 
internas dos ângulos A e D interceptam-se no ponto 
P; então, a medida do ângulo APD é:
a) 68° 
b) 82° 
c) 108°
d) 112°
e) 120°
274.
Na figura, AB é lado do pentadecágono regular e 
PQ o lado do hexágono regular, inscritos na mesma 
circunferência. Determine AQP, sendo AB e PQ 
paralelos.
142
275. UFRR
Na figura abaixo, AD é o diâmetro da circunferência, 
a corda AB é o lado de um pentágono e o ângulo A do 
triângulo ABC mede 15°.
O ângulo obtuso que as bissetrizes internas dos ângu-
los B e C do triângulo ABC formam entre si é igual a:
a) 82° 30’ d) 98° 
b) 96° e) 98° 30’ 
c) 97° 30’
276.
Os lados de um polígono regular de n lados, n > 4, são 
prolongados para formar uma estrela. Dê a expressão 
que fornece a medida de cada um dos ângulos internos 
das pontas da estrela.
277.
Os números de lados de três polígonos regulares são 
a, b e c e estão dispostos conforme figura a seguir:
a) Prove que 
1 1 1 1
2a b c
   .
b) Se um polígono regular tem 12 lados e outro 
tem 6 lados, quantos lados tem o terceiro po-
lígono?
278. ITA-SP
Considere três polígonos regulares tais que os núme-
ros que expressam a quantidade de lados de cada um 
constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que 
o produto destes três números é igual a 585 e que a 
soma de todos os ângulos internos dos três polígonos 
é igual a 3.780°. O número total das diagonais nestes 
três polígonos é igual a:
a) 63 d) 97
b) 69 e) 106
c) 90
279. UFG-GO
Mostre que, para revestir um piso com ladrilhos cuja 
forma é um polígono regular de n lados, é necessário 
que 
2
2
n
n seja um número inteiro.
280.
Na figura, ABCDE é um pentágono regular e AEF é um 
triângulo eqüilátero. Seja P um ponto sobre o segmento 
BF, no interior de ABCDE, e tal que o ângulo PEA mede 
12°, como mostra a figura abaixo.
Calcule a medida, em graus, do ângulo PAC.
Capítulo 6 
281. 
Determine o valor de x nos casos a seguir, sendo r, s 
e t retas paralelas.
a) b) 
143
PV
2
D
-0
7-
M
AT
-2
4
c) 
d) 
282.
Nas figuras, as retas r, s e t são paralelas. Determine 
os valores de x e y.
a) 
b) 
c) 
283.

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Qual e a medida do ângulo externo de um pentadecágono regular?

Qual a medida de um pentadecágono?

Qual e a medida de cada ângulo externo?

Qual a medida de cada um dos ângulos internos de um pentadecágono regular?