Quantas vezes o ponteiro de horas é minutos se encontram no mesmo lugar?

Ponteiros, ângulos e regra de três

Comentário

Apesar do uso crescente de relógios digitais, o relógio de ponteiro ainda é bastante usado. Nas aulas de matemática, o relógio de ponteiro pode servir como um recurso para explorar conceitos e procedimentos importantes da matemática.

Objetivos

Utilizar o relógio de ponteiro como recurso para relacionar o conceito de ângulo com o procedimento da regra de três. Para elaborar problemas, utilizar a regra mecânica que condiciona o movimento dos ponteiros.

Estratégias

1) Mostrar para os alunos, por meio de um desenho, as doze partes (ou fatias) do mostrador de um relógio de ponteiros que são usadas para indicar as horas:

2) Na lousa, simular, por meio de desenhos, o movimento circular dos ponteiros, de maneira a exercitar a divisão da circunferência nos respectivos horários. Qual o ângulo interno formado pelos ponteiros às 15 horas? E às 13 horas?

3) Perguntar aos alunos quantos graus correspondem a uma volta completa de um dos ponteiros? E meia volta? E um quarto de volta?

4) Qual é fração de cada fatia do mostrador que indica a passagem de uma hora? Qual é o valor do ângulo correspondente a essa fatia?

5) Perguntar qual é o ângulo interno formado pelos ponteiros de um relógio às 9 h, às 18 h e às 14 horas.

6) Desafiar os alunos a observarem e descreverem a regra que relaciona o movimento do ponteiro grande com o movimento do ponteiro pequeno:
Uma volta completa do ponteiro grande (360 graus) corresponde ao movimento de 1/12 do ponteiro pequeno (30 graus).

7) Perguntar para os alunos qual o ângulo deslocado pelo ponteiro pequeno na condição de o ponteiro grande se deslocar 60 graus? Discutir o procedimento da regra de três em função da regra observada no movimento dos ponteiros do relógio:

8) Perguntar aos alunos quantos minutos correspondem ao deslocamento de 60 graus do ponteiro grande. Explorar vários tipos de situações com esse deslocamento:

9) Concluir que qualquer deslocamento do ponteiro grande obriga um certo deslocamento do ponteiro pequeno.

10) Mostrar aos alunos o procedimento para se calcular, de forma bem precisa, o ângulo interno dos ponteiros de um relógio em qualquer horário. Qual o ângulo interno formado entre os ponteiros às 15 horas e 10 minutos?

Sabemos que às 15 horas o ângulo formado é de 90º. Às 15h20min o ponteiro grande diminui o ângulo interno entre os ponteiros ao se deslocar 60º no sentido horário (10 minutos). No entanto, o ponteiro pequeno também desloca no sentido horário, acrescentando 5º (conferir esse cálculo feito anteriormente):

90º - 60º + 5º = 35º

Atividades

1) Desenhar os ponteiros de um relógio que indica 10 horas e mostrar o ângulo interno dos ponteiros, com o respectivo valor.

2) Qual é o valor do deslocamento, em graus, do ponteiro pequeno, na condição de o ponteiro grande se deslocar 120º?

3) Qual o valor do ângulo interno formado pelos ponteiros às 15 h 35 min?

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Os ponteiros de um relógio se superpõem várias vezes ao dia.
Qual o intervalo de tempo entre duas superposições consecutivas?

Solução 1

Ao meio-dia em ponto, os ponteiros estão sobrepostos. Após mais de [tex]65[/tex] minutos e menos de [tex]70[/tex] minutos eles estarão sobrepostos novamente.
Sejam [tex]t[/tex] o tempo medido em minutos, contado a partir de uma hora em ponto, [tex]v[/tex] a velocidade angular do ponteiro das horas e [tex]V[/tex] a dos minutos. Definimos também [tex]\theta_1\,[/tex] e [tex]\,\theta_2[/tex] como sendo o ângulo formado pelo ponteiro das horas e o ângulo formado pelo ponteiro dos minutos, respectivamente, após [tex]t[/tex] minutos. Assim, [tex]v=\dfrac{\pi}{360}[/tex] rad/min e [tex]V=\dfrac{2\pi}{60}[/tex] rad/min. Podemos escrever:

[tex]\qquad \theta_1=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{360}t \qquad \qquad \qquad (1)[/tex]

[tex]\qquad \theta_2=\dfrac{2\pi}{60}t\,. \qquad \qquad \qquad \qquad (2)[/tex]

Como queremos que os dois ângulos [tex]\theta_1[/tex] e [tex]\theta_2[/tex] sejam iguais, temos que:

[tex]\qquad \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{360}t=\dfrac{2\pi}{60}t \\
\qquad t=\dfrac{60}{11}\\
\qquad t\approx 5~ minutos~ e ~ 27~segundos.[/tex]

Portanto, as superposições consecutivas se darão, aproximadamente, a cada [tex]1[/tex] hora, [tex]5[/tex] minutos, [tex]27[/tex] segundos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

Solução 2

À meia noite em ponto, os ponteiros estão sobrepostos, assim a próxima sobreposição será entre 1h e 2h.
Veja, então, as posições dos ponteiros dos relógios exatamente à 1h e no momento da sobreposição entre 1h e 2h.

             Horas         Minutos
              [tex]30[/tex]                [tex]360[/tex]
               [tex]x[/tex]              [tex]30+x[/tex]

Dessa forma,
[tex]\qquad 30(30+x) =360x \\
\qquad 30+x =12x\\
\qquad 30=11x\\
\qquad x=\dfrac{30}{11}.\\[/tex]
Para determinarmos depois de quantos minutos, após a 1h, ocorreu a transposição, basta considerarmos a seguinte regra de três, na qual os ângulos estão expressos em graus e o tempo em minutos:

             Tempo          Ângulo do ponteiro das horas
               [tex]60[/tex]                  [tex]\qquad 30[/tex]
                [tex]t[/tex]                   [tex]\qquad \dfrac{30}{11}[/tex]
Com isso,
[tex]\qquad 60\cdot \dfrac{30}{11} =30t \\
\qquad \\
\qquad \dfrac{60}{11} =t\\
\qquad t=\dfrac{55}{11}+\dfrac{5}{11} \\
\qquad t=\left(5+\dfrac{5}{11} \right)\, minutos\,.[/tex]
Agora, observe que
[tex]\qquad \dfrac{5}{11}\, minutos=\dfrac{5}{11}\times 60 \, segundos=\dfrac{300}{11}\, segundos\approx 27,27\, segundos[/tex];
logo,
[tex]\qquad t\approx 5\, minutos\, e\, \, 27\, segundos.
\, \\[/tex]
Portanto, as superposições consecutivas se darão, aproximadamente, a cada [tex]1[/tex] hora, [tex]5[/tex] minutos e [tex]27[/tex] segundos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .

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Quantas vezes o ponteiro de horas e minutos se encontram no mesmo lugar?

Quando os ponteiros do relógio se encontram?

Quantas vezes por dia o ponteiro das horas do relógio passa por um mesmo número?

Quantas vezes por dia os ponteiros que indicam as horas e minutos em um relógio formam uma linha reta?