Quando usamos o Teorema de Pitágoras estamos trabalhando com qual tipo de triângulo?

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Neste vídeo, aprenderemos como usar o teorema Pitagórico, ou o teorema de Pitágoras, para encontrar os comprimentos dos lados em triângulos retângulos. Isso é extremamente útil, pois os triângulos retângulos podem ser usados para modelar muitos cenários físicos diferentes. E muitas vezes estão envolvidos em problemas que envolvem a área. O teorema de Pitágoras é uma dessas partes realmente conhecidas da matemática. E muitas pessoas ainda se lembrarão de seu nome de seus dias de escola, mesmo que não consigam mais lembrar o que o teorema em si realmente diz.

Então, o que o teorema de Pitágoras diz? Bem, o teorema de Pitágoras é sobre a relação especial que existe entre os comprimentos dos três lados em um triângulo retângulo, ou seja, um triângulo que inclui um ângulo reto. Lembre-se, chamamos o lado mais longo de um triângulo retângulo, que é sempre o lado diretamente oposto ao ângulo reto, a hipotenusa. O teorema de Pitágoras então diz isso.

Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado da hipotenusa. Frequentemente, usamos as letras 𝑎 e 𝑏 para representar os dois lados ou catetos mais curtos do triângulo retângulo. E usamos a letra 𝑐 para representar a hipotenusa, caso em que o teorema de Pitágoras pode ser expresso como 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. Mas é importante lembrar o que o teorema em si está dizendo, não apenas para aprender essa equação.

Em termos pictóricos, o que o teorema de Pitágoras está nos dizendo é que, se desenharmos um quadrado em cada lado de um triângulo retângulo, a soma das áreas de dois quadrados menores será igual à área do maior quadrado. Esse é o quadrado da hipotenusa. Existem muitas maneiras diferentes de provar o teorema de Pitágoras, mas uma das mais legais, na minha opinião, é um método chamado dissecação de Perigal. Não vamos entrar em detalhes aqui. Mas envolve cortar os dois quadrados menores e reorganizar as peças para caber exatamente dentro do quadrado maior, como você pode ver no diagrama aqui. Se quiser, você pode tentar fazer isso reproduzindo este diagrama em um pedaço de papel.

Vamos agora dar uma olhada em alguns exemplos de como podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Começaremos considerando um exemplo de como usar o teorema para encontrar a hipotenusa de um triângulo retângulo.

Encontre 𝑥 no triângulo retângulo mostrado.

Olhando para as informações que recebemos, notamos, em primeiro lugar, que esse triângulo é um triângulo retângulo. Inclui um ângulo reto. E nos deram o comprimento de dois de seus lados. São oito unidades e 15 unidades. 𝑥 representa o comprimento do terceiro lado desse triângulo retângulo. E de sua posição, diretamente oposta ao ângulo reto, notamos que 𝑥 é a hipotenusa desse triângulo. Como recebemos os comprimentos de dois lados em um triângulo retângulo e queremos calcular o terceiro, essa é exatamente a configuração de que precisamos para aplicar o teorema de Pitágoras.

Isso nos diz que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado da hipotenusa. Então, começaremos escrevendo o que o teorema de Pitágoras nos diz sobre esse triângulo em particular. Os dois lados mais curtos têm oito unidades e 15 unidades. Portanto, a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é oito ao quadrado mais 15 ao quadrado. Isso é então igual ao quadrado da hipotenusa. E como a hipotenusa do nosso triângulo é 𝑥, agora temos a equação oito ao quadrado mais 15 ao quadrado é igual a 𝑥 ao quadrado.

Então, considerando o que o teorema de Pitágoras nos diz sobre esse triângulo em particular, temos uma equação que podemos resolver para determinar o valor de 𝑥. Você pode preferir trocar os dois lados da equação para que 𝑥 fique no lado esquerdo, embora isso não seja totalmente necessário. Agora que formamos nossa equação, vamos resolvê-la calculando primeiro oito ao quadrado e 15 ao quadrado. Isso dá 𝑥 ao quadrado igual a 64 mais 225, o que simplifica para 𝑥 ao quadrado igual a 289.

O próximo passo para resolver essa equação é tirar a raiz quadrada de cada lado porque a raiz quadrada de 𝑥 ao quadrado dará 𝑥. Agora, geralmente, quando resolvemos uma equação pela raiz quadrada, devemos lembrar de obter mais ou menos a raiz quadrada. Mas aqui 𝑥 tem um significado físico; é o comprimento de um lado em um triângulo. Portanto, deve ter um valor positivo. Portanto, escrevemos 𝑥 igual apenas à raiz quadrada positiva de 289. 289 é de fato um número quadrado e sua raiz quadrada é 17. Então encontramos o valor de 𝑥. 𝑥 é igual a 17.

Agora, devemos sempre realizar uma verificação rápida de nossa resposta, comparando o valor que encontramos com os outros dois lados do triângulo. Lembre-se, 𝑥 representa a hipotenusa, que é o lado mais longo deste triângulo retângulo. Portanto, nosso valor para 𝑥 precisa ser maior do que o comprimento dos outros dois lados. Nosso valor é 17 e os outros dois lados são 15 e oito. Portanto, nossa resposta faz sentido.

Agora, de fato, esse triângulo é um exemplo de um tipo especial de triângulo retângulo, chamado de trinca pitagórica. Este é um triângulo retângulo no qual todos os três comprimentos laterais são inteiros. A trinca pitagórica mais conhecida é o triângulo três-quatro-cinco, pois três ao quadrado mais quatro ao quadrado é igual a cinco ao quadrado. Você pode encontrar trincas pitagóricas ao trabalhar sem uma calculadora. Portanto, é uma boa ideia estar familiarizado com algumas das mais comuns. Aplicando o teorema de Pitágoras, descobrimos que o valor de 𝑥 no triângulo retângulo mostrado é 17.

Em nosso próximo exemplo, veremos como aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento de um dos dois lados mais curtos de um triângulo retângulo.

Encontre 𝑥 no triângulo retângulo mostrado.

Então, temos um triângulo retângulo. E somos solicitados a encontrar o valor de 𝑥, que representa o comprimento de um dos lados do triângulo. Nos deram o comprimento dos outros dois lados. Portanto, temos o conjunto exato de informações para aplicar o teorema de Pitágoras. Isso nos diz que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado da hipotenusa. Agora, antes de aplicar o teorema de Pitágoras, devemos ter muito cuidado para nos certificarmos de que identificamos corretamente qual lado do triângulo é a hipotenusa. E lembre-se, é sempre o lado diretamente oposto ao ângulo reto. Portanto, neste caso, a hipotenusa do triângulo é de 13 unidades.

O lado que nos foi pedido para encontrar, comprimento 𝑥, é um dos dois lados mais curtos deste triângulo retângulo. Portanto, a primeira coisa que fazemos é escrever o que o teorema de Pitágoras nos diz sobre esse triângulo em particular. Os dois lados mais curtos são 𝑥 e 12. Portanto, a soma de seus quadrados será 𝑥 ao quadrado mais 12 ao quadrado. A hipotenusa do triângulo é de 13 unidades. Portanto, se a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos for igual ao quadrado da hipotenusa, temos a equação 𝑥 ao quadrado mais 12 ao quadrado é igual a 13 ao quadrado.

Agora que formamos nossa equação, vamos resolvê-la para determinar o valor de 𝑥. Primeiro, calculamos 12 ao quadrado e 13 ao quadrado, dando 𝑥 ao quadrado mais 144 é igual a 169. Queremos deixar 𝑥 ou 𝑥 ao quadrado inicialmente no lado esquerdo da equação. Portanto, o próximo passo é subtrair 144 de cada lado. No lado esquerdo, 𝑥 ao quadrado mais 144 menos 144 deixa 𝑥 ao quadrado. E do lado direito, 169 menos 144 são 25.

O passo final é calcular a raiz quadrada de cada lado da equação, lembrando que só precisamos calcular a raiz quadrada positiva, pois 𝑥 representa um comprimento. Portanto, deve ter um valor positivo. 𝑥 é, portanto, igual à raiz quadrada de 25. E como 25 é um número quadrado, sua raiz quadrada é um inteiro; são simplesmente cinco. Então encontramos o valor de 𝑥. 𝑥 é igual a cinco. Agora, de fato, esse triângulo é um exemplo de uma trinca pitagórica. Esse é um triângulo retângulo no qual todos os três comprimentos laterais são inteiros.

Devemos também realizar uma verificação rápida de nossa resposta. Lembre-se, estávamos procurando calcular um dos lados mais curtos desse triângulo. Portanto, nosso valor para 𝑥 deve ser menor do que o comprimento que nos foi dado para a hipotenusa. Cinco certamente é menor que 13. Portanto, nossa resposta faz sentido. Então, aplicando o teorema de Pitágoras, resolvemos esse problema. O valor de 𝑥 é cinco. Devemos ter certeza de que somos realmente cuidadosos ao configurar nossa equação. E precisamos ter certeza, antes de começar, se nos pediram para encontrar o comprimento de um dos lados mais curtos ou o comprimento da hipotenusa.

Portanto, agora vimos um exemplo de cálculo do comprimento da hipotenusa e um exemplo de cálculo do comprimento de um dos lados mais curtos. O teorema de Pitágoras é realmente útil porque nos ajuda a responder a muitos tipos diferentes de problemas práticos. Portanto, agora consideraremos alguns exemplos com um foco maior na solução de problemas.

Determine o comprimento diagonal do retângulo cujo comprimento é 48 centímetros e largura é 20 centímetros.

Agora, não nos foi dado um diagrama para esta questão. Portanto, é sempre uma boa ideia começar desenhando o nosso próprio desenho. Temos um retângulo com 48 centímetros de comprimento e 20 centímetros de largura. O comprimento que nos foi pedido para calcular é a diagonal deste retângulo. Essa é a linha que une cantos opostos. Podemos usar a letra 𝑑 para representar esse comprimento desconhecido. Agora sabemos que todos os ângulos internos em um retângulo são de 90 graus. Então, na verdade, esse problema não é apenas sobre retângulos. É também sobre triângulos retângulos, ou seja, o triângulo formado pelo comprimento do retângulo, sua largura e essa diagonal.

Olhando para o triângulo inferior em nosso diagrama, podemos ver que nos foram dados os comprimentos de dois de seus lados - eles são de 20 centímetros e 48 centímetros - e solicitados a calcular o comprimento de seu terceiro lado. E como este é um triângulo retângulo, poderemos fazer isso aplicando o teorema de Pitágoras. Isso nos diz que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado da hipotenusa. Agora, antes de tentarmos aplicar o teorema de Pitágoras, devemos identificar qual dos três lados nos foi pedido para calcular. Lembre-se de que a hipotenusa é sempre o lado diretamente oposto ao ângulo reto. Então, o lado que estamos procurando é a hipotenusa de um triângulo.

Então nos perguntamos: “o que o teorema de Pitágoras nos diz, não apenas em geral, mas especificamente sobre esse triângulo?” Bem, como os dois lados mais curtos têm 48 e 20 centímetros, a soma de seus quadrados é 48 ao quadrado mais 20 ao quadrado. E o quadrado da hipotenusa é 𝑑 ao quadrado. Portanto, temos a equação 48 ao quadrado mais 20 ao quadrado igual a 𝑑 ao quadrado. É claro que podemos trocar os dois lados da equação se preferirmos ter 𝑑 ao quadrado no lado esquerdo. Então, aplicando o teorema de Pitágoras, formamos uma equação, que agora podemos resolver para determinar o valor de 𝑑.

Primeiro, calculamos 48 ao quadrado e 20 ao quadrado e depois adicionamos esses valores para dar 𝑑 ao quadrado igual a 2704. A etapa final na resolução dessa equação é obter a raiz quadrada de cada lado, dando 𝑑 igual à raiz quadrada de 2704. Agora, 2704 é de fato um número quadrado, embora provavelmente não seja um número com o qual você esteja familiarizado. Sua raiz quadrada é simplesmente 52. Então nós temos que 𝑑 é igual a 52. O comprimento diagonal desse retângulo é de 52 centímetros.

Agora, devemos realizar uma verificação rápida de nossa resposta. Lembre-se, 𝑑 era a hipotenusa desse triângulo. Supõe-se que seja o lado mais longo. Portanto, precisamos verificar se nosso valor faz sentido. Bem, 52 é de fato maior do que cada um dos outros comprimentos laterais. Portanto, é um valor sensato para a hipotenusa deste triângulo. Então, nós completamos o problema. O estágio chave nessa questão foi primeiro desenhar nosso próprio diagrama. E uma vez que o fizemos, vimos que esse problema não era apenas sobre retângulos. Na verdade, tratava-se de triângulos retângulos. E, portanto, poderíamos resolvê-lo aplicando o teorema de Pitágoras.

Vamos agora considerar um exemplo final envolvendo pontos desenhados em uma malha de coordenadas.

Um triângulo tem vértices dos pontos 𝐴 quatro, um; 𝐵 seis, dois; e 𝐶 dois, cinco. Calcule o comprimento dos lados do triângulo. Dê suas respostas na forma mais simples. E em segundo lugar, este triângulo é um triângulo retângulo?

Vamos começar desenhando esse triângulo em uma malha de coordenadas. Nós absolutamente não precisamos traçar este triângulo com precisão. Não vamos medir o comprimento de nenhuma das linhas. Queremos apenas esboçá-lo usando a posição aproximada desses três pontos em relação um ao outro.

Então o triângulo se parece um pouco com isso. Agora, a partir do nosso esboço, parece possível que este seja um triângulo retângulo com o ângulo reto em 𝐴. Mas não podemos confirmar isso em nosso esboço. Vamos considerar a primeira parte da pergunta. Precisamos encontrar os comprimentos dos três lados do triângulo. E começaremos encontrando o comprimento do lado 𝐴𝐵.

Podemos esboçar em um triângulo retângulo abaixo dessa linha usando 𝐴𝐵 como sua hipotenusa. Também podemos calcular os comprimentos dos outros dois lados deste triângulo. O lado horizontal será a diferença entre os valores de 𝑥 em suas extremidades. Essa é a diferença entre seis e quatro, que é dois. E o lado vertical será a diferença entre os valores de 𝑦 em suas extremidades. Essa é a diferença entre dois e um, que é um.

Como agora temos os comprimentos de dois lados em um triângulo retângulo e queremos calcular o comprimento do terceiro lado, podemos aplicar o teorema de Pitágoras, que nos diz que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado da hipotenusa. Lembre-se, 𝐴𝐵 é a hipotenusa. Então temos que 𝐴𝐵 ao quadrado é igual a um ao quadrado mais dois ao quadrado. Um ao quadrado é um e dois ao quadrado é quatro. Então, adicionando esses valores, temos que 𝐴𝐵 ao quadrado é igual a cinco.

Para encontrar o comprimento de 𝐴𝐵, precisamos fazer a raiz quadrada de cada lado dessa equação. E lembre-se, neste momento, nos disseram para dar nossa resposta como um irracional. Então nós temos que 𝐴𝐵 é igual a raiz de cinco. Podemos encontrar os comprimentos dos outros dois lados do triângulo da mesma maneira. Nós esboçamos em um triângulo retângulo abaixo da reta 𝐵𝐶. E vemos que tem um lado horizontal de quatro unidades e um lado vertical de três unidades.

𝐵𝐶 é a hipotenusa desse triângulo. Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que 𝐵𝐶 ao quadrado é igual a três ao quadrado mais quatro ao quadrado. São nove mais 16, o que equivale a 25. 𝐵𝐶 é, portanto, igual à raiz quadrada de 25, que é simplesmente o número inteiro cinco. Da mesma forma, 𝐴𝐶 é a hipotenusa de um triângulo retângulo com lados mais curtos de dois e quatro unidades. Portanto, 𝐴𝐶 é igual à raiz quadrada de 20, o que simplifica para dois raiz de cinco.

Então, respondemos a primeira parte da pergunta. E agora precisamos determinar se esse triângulo é um triângulo retângulo. Bem, se for, o teorema de Pitágoras será válido por seus três comprimentos laterais. Agora, suspeitamos que o ângulo reto estava em 𝐴, o que tornaria 𝐵𝐶 a hipotenusa do triângulo, se de fato for um triângulo retângulo.

Portanto, queremos saber se 𝐵𝐶 ao quadrado é igual a 𝐴𝐵 ao quadrado mais 𝐴𝐶 ao quadrado. Bem, podemos de fato usar os comprimentos laterais quadrados. Sabemos que 𝐵𝐶 ao quadrado é 25. Sabemos que 𝐴𝐵 ao quadrado é cinco. E sabemos que 𝐴𝐶 ao quadrado é 20. Então, é verdade que 25 é igual a cinco mais 20? Sim, é claro, é verdade, o que significa que o teorema de Pitágoras vale para este triângulo. E, portanto, é de fato um triângulo retângulo. Então, nós completamos o problema. Nós temos os três comprimentos laterais. 𝐴𝐵 é igual a raiz de cinco, 𝐵𝐶 é igual a cinco e 𝐴𝐶 é igual a dois raiz de cinco. E determinamos que o triângulo é um triângulo retângulo.

Vamos agora resumir o que vimos neste vídeo. O teorema de Pitágoras nos diz que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois lados mais curtos é igual ao quadrado da hipotenusa, que muitas vezes podemos ver escrito como 𝑎 ao quadrado mais 𝑏 ao quadrado é igual a 𝑐 ao quadrado. O primeiro passo em qualquer problema deve ser escrever o que o teorema de Pitágoras nos diz sobre o triângulo específico desse problema. Ou seja, formamos uma equação. Em seguida, resolvemos nossa equação, o que envolverá a raiz quadrada. Finalmente, devemos sempre verificar nossa resposta, certificando-nos de que o valor que calculamos faz sentido em relação aos comprimentos dos outros dois lados.

Em qual tipo de triângulo aplicamos o Teorema de Pitágoras?

Quando se usa o Teorema de Pitágoras?

Onde utilizando em nosso dia a dia o Teorema de Pitágoras exemplifique?

Qual a representação do Teorema de Pitágoras?