Qual o número com três algarismos é divisível por 2 é por 3 ao mesmo tempo?

Pfvv

3 resposta(s)

Resposta: 

d) 300

c) 100

b) 100

Explicação passo-a-passo:

Na sequencia 

300/6 é igual a 50 e ele é um número de 3 algarismos.

100 pois é o menor número de 3 algarismos e é divisível por 5.

100 também pois ele é divisível por 4 que o resultado é 25.

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

Crit�rios de divisibilidade

Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Sobre a divisibilidade
• 2 Verificador de divis�o exata
• 3 Divisibilidade no navegador
• 4 Alguns crit�rios de divisibilidade

1 Sobre a divisibilidade

Algumas vezes, precisamos apenas saber se um n�mero natural � divis�vel por outro n�mero natural, sem precisar obter o resultado da divis�o. Neste caso, utilizamos os crit�rios de divisibilidade. Na sequ�ncia, apresentamos as regras de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 29, 31 e 49.

2 Verificador de divis�o exata

Para saber se um n�mero inteiro \(M\) � divis�vel por um outro inteiro \(N\). Insira os n�meros inteiros, nas caixas do formul�rio e clique no bot�o apropriado. J� existem dois n�meros para teste do programa.

3 Divisibilidade no navegador

No navegador, podemos digitar a linha de comando: javascript: M % N exatamente como est�, na caixa com o nome do arquivo que est� sendo acessado no momento.

Para saber se 960 � divis�vel por 45, digite: javascript: 960 % 45.

Depois, pressione ENTER para ver uma calculadora em outra p�gina que tamb�m pode ser usada para outros c�lculos.

4 Alguns crit�rios de divisibilidade

Divisibilidade por 2: Um n�mero � divis�vel por 2 se ele � par, ou seja, termina em \(0,2,4,6,8,10,12,14,\cdots\).

Exemplos: O n�mero 5634 � divis�vel por 2, pois o seu �ltimo algarismo � 4, mas 135 n�o � divis�vel por 2, pois � um n�mero terminado com o algarismo 5 que n�o � par.

Divisibilidade por 3: Um n�mero � divis�vel por 3, se a soma de seus algarismos � divis�vel por 3.

Exemplos: 18 � divis�vel por 3 pois 1+8=9 que � divis�vel por 3, 576 � divis�vel por 3 pois: 5+7+6=18 que � divis�vel por 3, mas 134 n�o � divis�vel por 3, pois 1+3+4=8 que n�o � divis�vel por 3.

Divisibilidade por 4: Um n�mero � divis�vel por 4, se o n�mero formado pelos seus dois �ltimos algarismos � divis�vel por 4.

Exemplos: 4312 � divis�vel por 4, pois 12 � divis�vel por 4, mas 1635 n�o � divis�vel por 4 pois 35 n�o � divis�vel por 4.

Divisibilidade por 5: Um n�mero � divis�vel por 5 se o seu �ltimo algarismo � 0 ou 5.

Exemplos: 75 � divis�vel por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 n�o � divis�vel por 5 pois o seu �ltimo algarismo n�o � 0 e nem 5.

Divisibilidade por 6: Um n�mero � divis�vel por 6 se � par e a soma de seus algarismos � divis�vel por 3.

Exemplos: 756 � divis�vel por 6, pois 756 � par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 � divis�vel por 3, 527 n�o � divis�vel por 6, pois n�o � par e 872 � par mas n�o � divis�vel por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 que n�o � divis�vel por 3.

Divisibilidade por 7: Um n�mero � divis�vel por 7 se o dobro do seu �ltimo algarismo subtra�do do n�mero sem o �ltimo algarismo, resulta em um n�mero divis�vel por 7. Se a diferen�a ainda � grande, repetimos o processo at� verificar a divis�o por 7.

Exemplo: 165928 � divis�vel por 7 pois:

\[\begin{array}{r|l} \hline 16592 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -16 & \text{Dobro de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 16576 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 1657 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -12 & \text{Dobro de 6 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1645 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 164 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -10 & \text{Dobro de 5 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 154 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 15 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -8 & \text{Dobro de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 7 & \text{Esta diferen�a � divis�vel por 7} \\ \hline \end{array}\]

A diferen�a � divis�vel por 7, logo o n�mero dado inicialmente tamb�m � divis�vel por 7.

Exemplo: 4261 n�o � divis�vel por 7, pois:

\[\begin{array}{r|l} \hline 426 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -2 & \text{Dobro de 1 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 424 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 42 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -8 & \text{Dobro de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 34 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Como 34 n�o � divis�vel por 7, o n�mero 4261 tamb�m n�o � divis�vel por 7.

Divisibilidade por 8: Um n�mero � divis�vel por 8 se o n�mero formado pelos seus tr�s �ltimos algarismos � divis�vel por 8.

Exemplos: 45128 � divis�vel por 8 pois \(128/8=16\), mas 45321 n�o � divis�vel por 8 pois 321 n�o � divis�vel por 8.

Divisibilidade por 9: Um n�mero � divis�vel por 9 se a soma dos seus algarismos � divis�vel por 9.

Exemplos: 1935 � divis�vel por 9 pois: 1+9+3+5=18 que � divis�vel por 9, mas 5381 n�o � divis�vel por 9 pois: 5+3+8+1=17 que n�o � divis�vel por 9.

Divisibilidade por 10: Um n�mero � divis�vel por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).

Exemplos: 5420 � divis�vel por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 n�o termina em 0 (zero).

Divisibilidade por 11: Um n�mero � divis�vel por 11 se a soma \(Sp\) dos algarismos de ordem par menos a soma \(Si\) dos algarismos de ordem �mpar � um n�mero divis�vel por 11. Em particular, se \(Sp=Si\), o n�mero dado � divis�vel por 11.

Exemplo: \(1353\) � divis�vel por \(11\), pois:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{N�mero}& 1 & 3 & 5 & 3 \\ \hline \text{Ordem}& \text{�mpar}& \text{par}& \text{�mpar}& \text{par}\\ \hline \end{array}\]

O primeiro e o terceiro algarismos t�m ordem �mpar e a sua soma �: \(Si=1+5=6\). O segundo e o quarto algarismos t�m ordem par e a sua soma �: \(Sp=3+3=6\). Como a soma dos algarismos de ordem par \(Sp\) � igual � soma dos algarismos de ordem �mpar \(Si\), o n�mero \(1353\) � divis�vel por \(11\).

Exemplo: O n�mero 29458$ � divis�vel por 11, pois:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{N�mero} & 2 & 9 & 4 & 5 & 8 \\ \hline \text{Ordem}& \text{�mpar}& \text{par}& \text{�mpar}& \text{par}& \text{�mpar} \\ \hline \end{array}\]

A soma dos algarismos de ordem �mpar � \(Si=2+4+8=14\) e a soma dos algarismos de ordem par � \(Sp=9+5=14\). Como essas somas s�o iguais, o n�mero 29458 � divis�vel por 11.

Exemplo: 2543 n�o � divis�vel por 11, pois:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{N�mero} & 2 & 5 & 4 & 3 \\ \hline \text{Ordem}& \text{�mpar}& \text{par}& \text{�mpar}& \text{par} \\ \hline \end{array}\]

A soma dos algarismos de ordem impar � \(Si=2+4=6\) e a soma dos algarismos de ordem par � \(Sp=5+3=8\). Como a diferen�a \(Sp-Si=8-6=2\) que n�o � divis�vel por 11, o n�mero 2543 n�o � divis�vel por 11.

Exemplo: 65208 � divis�vel por 11, pois, a soma dos algarismos de ordem impar � \(Si=6+2+8=16\), a soma dos algarismos de ordem par � \(Sp=5+0=5\) e a diferen�a \(Si-Sp=11\), que � divis�vel por 11.

Divisibilidade por 12: Um n�mero � divis�vel por 12 se o n�mero formado pelos seus dois �ltimos algarismos � divis�vel por 4 e a soma dos seus algarismos � m�ltiplo de 3.

Divisibilidade por 13: Um n�mero � divis�vel por 13 se o qu�druplo (4 vezes) do �ltimo algarismo, somado com o n�mero sem o �ltimo algarismo, resulta em um n�mero divis�vel por 13. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� que se possa verificar a divis�o por 13. Este crit�rio � similar ao da divisibilidade por 7, apenas que no presente caso usamos a soma ao inv�s de diferen�a no outro caso.

Exemplo: 16562 � divis�vel por 13? Vamos verificar.

\[\begin{array}{r|l} \hline 1656 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +8 & \text{Qu�druplo de 2 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1664 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 166 & \text{Diferen�a sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +16 & \text{Qu�druplo de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 182 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 18 & \text{Soma sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +8 & \text{Qu�druplo de 2 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 26 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Como a �ltima soma � divis�vel por 13, ent�o o n�mero 16562 tamb�m � divis�vel por 13.

Divisibilidade por 14: Um n�mero � divis�vel por 14 se � par e tamb�m � divis�vel por 7.

Divisibilidade por 15: Um n�mero � divis�vel por 15 se � divis�vel por 3 e tamb�m � divis�vel por 5.

Divisibilidade por 16: Um n�mero � divis�vel por 16 se o n�mero formado pelos seus quatro �ltimos algarismos � divis�vel por 16.

Exemplos: O n�mero 54096 � divis�vel por 16 pois o n�mero 4096, formado pelos seus quatro �ltimos d�gitos, dividido por 16 fornece 256 que � divis�vel por 16. O n�mero 45321 n�o � divis�vel por 16 pois 5321, formado pelos seus quatro �ltimos d�gitos, n�o � divis�vel por 16.

Divisibilidade por 17: Um n�mero � divis�vel por 17 se o qu�ntuplo (5 vezes) do �ltimo algarismo, subtra�do do n�mero sem o �ltimo algarismo, produz um n�mero divis�vel por 17. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� que se possa verificar a divis�o por 17.

Exemplo: 18598$ � divis�vel por 17 pois:

\[\begin{array}{r|l} \hline 1859 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -40 & \text{Qu�ntuplo de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1819 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 181 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -45 & \text{Qu�ntuplo de $9$ (�ltimo algarismo)} \\ \hline 136 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 13 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -30 & \text{Qu�ntuplo de $6$ (�ltimo algarismo)} \\ \hline -17 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

A diferen�a negativa, mas � divis�vel por 17 e o n�mero 18598 tamb�m � divis�vel por 17.

Divisibilidade por 18: Um n�mero � divis�vel por 18 se � par e a soma dos seus algarismos � m�ltiplo de 9.

Divisibilidade por 19: Um n�mero � divis�vel por 19, se o dobro do �ltimo algarismo, somado ao n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, produz um n�mero divis�vel por 19. Se o n�mero obtido ainda � grande, repetimos o processo at� verificarmos a divis�o por 19.

Exemplo: 165928 � divis�vel por 19? Vamos verificar.

\[\begin{array}{r|l} \hline 16592 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo}\\ \hline +16 & \text{Dobro de 8 (�ltimo algarismo)}\\ \hline 16608 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 1660 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +16 & \text{Dobro de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1676 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 167 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +12 & \text{Dobro de 6 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 179 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 17 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +18 & \text{Dobro de 9 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 35 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Como a �ltima soma n�o � divis�vel por 19, o n�mero 165928 n�o � divis�vel por 19.

Exemplo: 4275 � divis�vel por 19, pois:

\[\begin{array}{r|l} \hline 427 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +10 & \text{Dobro de 5 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 437 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 43 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +14 & \text{Dobro de 7 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 57 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 5 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +14 & \text{Dobro de 7 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 19 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Como a �ltima Soma � o pr�prio 19, o n�mero 4275 dado � divis�vel por 19.

Divisibilidade por 23: Um n�mero � divis�vel por 23, se o h�ptuplo (7 vezes) do �ltimo algarismo, somado ao n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, produz um n�mero divis�vel por 23. Se o n�mero obtido ainda � grande, repetimos o processo at� verificarmos a divis�o por 23.

Exemplo: 185909 � divis�vel por 23? Vamos verificar.

\[\begin{array}{r|l} \hline 18590 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +63 & \text{H�ptuplo de 9 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 18653 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 1865 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +21 & \text{H�ptuplo de 3 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 1886 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 188 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +42 & \text{H�ptuplo de 6 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 230 & \text{Soma (230=23{\times}10)} \\ \hline \end{array}\]

Como a �ltima soma � divis�vel por 23, ent�o o n�mero 185909 � divis�vel por 23.

Divisibilidade por 29: Um n�mero � divis�vel por 29, se o triplo (3 vezes) do �ltimo algarismo, subtra�do do n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, produz um n�mero divis�vel por 29. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� verificarmos a divis�o por 29.

Exemplo: O n�mero 8598 � divis�vel por 29?

\[\begin{array}{r|l} \hline 859 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -24 & \text{Triplo de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 835 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 83 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -15 & \text{Triplo de 2 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 68 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a diferen�a obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 6 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline -24 & \text{Triplo de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline -18 & \text{Diferen�a} \\ \hline \end{array}\]

Como a diferen�a negativa n�o � divis�vel por 29, o n�mero 8598 n�o � divis�vel por 29.

Divisibilidade por 31: Um n�mero � divis�vel por 31, se o triplo (3 vezes) do �ltimo algarismo, somado ao n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, proporciona um n�mero divis�vel por 31. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� verificarmos a divis�o por 31.

Exemplo: 8598 � divis�vel por 31?

\[\begin{array}{r|l} \hline 859 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +24 & \text{Triplo de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 883 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 88 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +9 & \text{Triplo de 3 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 97 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 9 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +21 & \text{Triplo de 3 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 30 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Como a soma n�o � divis�vel por 31, o n�mero 8598 n�o � divis�vel por 31.

Divisibilidade por 49: Um n�mero � divis�vel por 49, se o qu�ntuplo (5 vezes) do �ltimo algarismo, somado ao n�mero que n�o cont�m este �ltimo algarismo, proporciona um n�mero divis�vel por 49. Se o n�mero obtido ainda for grande, repete-se o processo at� que se possa verificar a divis�o por 49.

Exemplo: 8598 � divis�vel por 49?

\[\begin{array}{r|l} \hline 859 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +40 & \text{Qu�ntuplo de 8 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 899 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 89 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +45 & \text{Qu�ntuplo de 9 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 134 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.

\[\begin{array}{r|l} \hline 13 & \text{N�mero sem o �ltimo algarismo} \\ \hline +20 & \text{Qu�ntuplo de 4 (�ltimo algarismo)} \\ \hline 33 & \text{Soma} \\ \hline \end{array}\]

Como a soma n�o � divis�vel por 4$, o n�mero 8598 n�o � divis�vel por 49.

Quando é divisível por 2 é por 3 ao mesmo tempo?

Qual o número é divisível por 3

Qual é o maior número de três algarismos divisível por 2 é por 3?

Que relação você percebe entre os números divisíveis por 2 é 3 ao mesmo tempo é divisível por 6?