Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações. Show Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as equações, é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas. Como resolver um sistema de equações do 1º grau?Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o método da substituição ou o da soma. Método da substituiçãoEsse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra equação. Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita. Exemplo Resolva o seguinte sistema de equações: Resolução Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação mais simples, para isolar o x. Assim temos: Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira: Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, para encontrar o valor do x: Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado tornam ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 - 4 = 20. Método da AdiçãoNo método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas. Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários. Exemplo Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o mesmo sistema anterior: Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, iremos começar a calcular somando as duas equações, conforme indicamos abaixo: Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x, portanto agora, podemos resolver a equação: Para encontrar o valor do y, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos substituir na mais simples: Note que o resultado é o mesmo que já havíamos encontrado, usando o método da substituição. Quando as equações de um sistema não apresentam incógnitas com coeficientes opostos, podemos multiplicar todos os termos por um determinado valor, a fim de tornar possível utilizar esse método. Por exemplo, no sistema abaixo, os coeficientes de x e de y não são opostos: Portanto, não podemos, inicialmente, anular nenhuma das incógnitas. Neste caso, devemos multiplicar por algum número que transforme o coeficiente em um número oposto do coeficiente da outra equação. Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por - 2. Contudo, devemos ter o cuidado de multiplicarmos todos os termos por - 2, para não modificarmos a igualdade. Assim, o sistema equivalente ao que queremos calcular é: Agora, é possível resolver o sistema por adição, conforme apresentado abaixo: Logo, x = - 12, não podemos esquecer de substituir esse valor em uma das equações para encontrar o valor do y. Substituindo na primeira equação, temos: Assim, a solução para o sistema é o par ordenado (- 12, 60) Classificação dos sistemas de equaçõesUm sistema do 1º grau, com duas incógnitas x e y, formado pelas equações a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2, terá a seguinte classificação: possível e determinado, possível e indeterminado e impossível. O sistema será possível e determinado quando apresentar uma única solução. Isso acontecerá quando: Quando o sistema apresentar infinitas soluções, será classificado como possível e indeterminado. A condição para que um sistema seja desse tipo é: Já os sistemas impossíveis, não possuem nenhuma solução. Nesse tipo de sistema temos: ExemploClassifique o sistema abaixo: Para identificar o tipo de sistema, vamos calcular a razão entre os coeficientes das equações: Como Então, o sistema é impossível. Para saber mais, leia também:
Exercícios Resolvidos1) Cefet - RJ - 2016 Uma garrafa PET (politereftalato de etileno) com sua tampa custa sessenta centavos. Sabendo que a garrafa custa cinquenta centavos a mais que a tampa, quanto custa só a tampa? a) R$ 0,05 Ver Resposta Considerando x o valor da garrafa e y o valor da tampa, temos o seguinte sistema: Resolvendo o sistema por adição, temos: x = 0,55 , que é o valor da garrafa. Logo só a tampa custa 0,55-0,50 = 0,05 Alternativa a: R$0,05 2) Cefet - RJ - 2014 Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? a) 120 Ver Resposta Considerando x a quantidade de dias na 1ª situação; e y a quantidade de dias na 2ª situação, e que em ambas situações o número de páginas lidas é o mesmo, podemos formar o seguinte sistema: Resolvendo o sistema por substituição, temos: 5 (y-16) = 3y O número de páginas do livro será dado por 3.y, logo o livro tem 120 páginas. Alternativa a: 120 3) Uerj - 2015 De acordo com os dados do quadrinho, a personagem gastou R$ 67,00 na compra de x lotes de maçã, y melões e quatro dúzias de bananas, em um total de 89 unidades de frutas. a) 24 Ver Resposta Considerando as informações contidas na imagem e nos dados do problema, temos o seguinte sistema: Vamos resolver o sistema por substituição, isolando o y na segunda equação. Assim, temos: y= 41-6x Substituindo na segunda equação, encontramos: 5x + 5(41 - 6x) = 67 - 12 Logo, foram comprados 6 lotes de maçãs. Como cada lote tem 6 unidade, então foram comprados 36 unidades de maçãs. Alternativa c: 36 Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011. Como resolver um sistema de equação pelo método de adição?Método da adição
Passo 1: Escolher uma incógnita e multiplique sua equação pelo valor numérico da mesma incógnita em outra equação. Passo 2: Faça o mesmo na outra equação escolhida, mas agora multiplicando pelo valor numérico da incógnita da primeira equação. Passo 3: Soma essas duas equações.
Como fazer sistema por soma?Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.
Como fazer sistema de equação do 1 grau adição?No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas. Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários.
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