Ensino Fundamental, M�dio e Superior no BrasilGeometria Show
C�rculo, Circunfer�ncia e Arcos Jader O.Dalto Material desta p�gina
1 A import�ncia da circunfer�nciaA circunfer�ncia possui caracter�sticas n�o comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a �nica figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posi��o aparente. � tamb�m a �nica figura que � sim�trica em rela��o a um n�mero infinito de eixos de simetria. A circunfer�ncia � importante em praticamente todas as �reas do conhecimento como nas Engenharias, Matem�tica, F�sica, Qu�mica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e tamb�m � muito utilizado na ind�stria e bastante utilizada nas resid�ncias das pessoas. 2 Circunfer�ncia e C�rculoCircunfer�ncia: A circunfer�ncia � o lugar geom�trico de todos os pontos de um plano que est�o localizados a uma mesma dist�ncia \(r\) de um ponto fixo \(O\) denominado o centro da circunfer�ncia. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplica��es. C�rculo: (ou disco) � o conjunto de todos os pontos de um plano cuja dist�ncia a um ponto fixo \(O\) � menor ou igual que uma dist�ncia \(r\) dada. Quando a dist�ncia � nula, o c�rculo se reduz a um ponto. O c�rculo � a reuni�o da circunfer�ncia com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gr�fico anterior, a circunfer�ncia � a linha de cor verde-escuro que envolve a regi�o verde, enquanto o c�rculo � toda a regi�o pintada de verde reunida com a circunfer�ncia. 3 Pontos interiores de um c�rculo e exteriores a um c�rculoPontos interiores: Os pontos interiores de um c�rculo s�o os pontos do c�rculo que n�o est�o na circunfer�ncia. Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um c�rculo s�o os pontos localizados fora do c�rculo. 4 Raio, corda e di�metroRaio: Raio de uma circunfer�ncia (ou de um c�rculo) � um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunfer�ncia e a outra extremidade em um ponto qualquer da circunfer�ncia. Na figura, os segmentos de reta \(OA\), \(OB\) e \(OC\) s�o raios. Corda: Corda de uma circunfer�ncia � um segmento de reta cujas extremidades pertencem � circunfer�ncia. Na figura, os segmentos de reta \(AC\) e \(DE\) s�o cordas. Di�metro: Di�metro de uma circunfer�ncia (ou de um c�rculo) � uma corda que passa pelo centro da circunfer�ncia. O di�metro � a maior corda da circunfer�ncia. Na figura, o segmento de reta \(AC\) � um di�metro. 5 Posi��es relativas de uma reta e uma circunfer�nciaReta secante: Uma reta � secante a uma circunfer�ncia se essa reta intercepta a circunfer�ncia em dois pontos quaisquer, podemos dizer tamb�m que � a reta que cont�m uma corda. Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunfer�ncia � uma reta que intercepta a circunfer�ncia em um �nico ponto \(P\). Este ponto � conhecido como ponto de tang�ncia ou ponto de contato. Na figura anterior, o ponto \(P\) � o ponto de tang�ncia e a reta que passa pelos pontos \(E\) e \(F\) � uma reta tangente � circunfer�ncia. Notas:
6 Propriedades das secantes e tangentes
7 Posi��es relativas de duas circunfer�nciasReta tangente comum: � uma reta que tangencia duas circunfer�ncias ao mesmo tempo. H� duas poss�veis retas tangentes comuns: a interna e a externa. Ao tra�ar uma reta ligando os centros de duas circunfer�ncias no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tang�ncia, um em cada circunfer�ncia, est�o no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tang�ncia, um em cada circunfer�ncia, est�o em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. Circunfer�ncias internas: Uma circunfer�ncia \(C1\) � interna a uma circunfer�ncia \(C2\), se todos os pontos do c�rculo \(C1\) est�o contidos no c�rculo \(C2\). Uma circunfer�ncia � externa � outra se todos os seus pontos s�o pontos externos � outra. Circunfer�ncias conc�ntricas: Duas ou mais circunfer�ncias com o mesmo centro mas com raios diferentes s�o circunfer�ncias conc�ntricas. Circunfer�ncias tangentes: Duas circunfer�ncias que est�o no mesmo plano, s�o tangentes uma � outra, se elas s�o tangentes � mesma reta no mesmo ponto de tang�ncia. As circunfer�ncias s�o tangentes externas uma � outra se os seus centros est�o em lados opostos da reta tangente comum e elas s�o tangentes internas uma � outra se os seus centros est�o do mesmo lado da reta tangente comum. Circunfer�ncias secantes: s�o aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. Segmentos tangentes: Se \(AP\) e \(BP\) s�o segmentos de reta tangentes � circunfer�ncia nos ponto \(A\) e \(B\), ent�o esses segmentos \(AP\) e \(BP\) s�o congruentes. 8 Pol�gonos circunscritosPol�gono circunscrito a uma circunfer�ncia � aquele que possui seus lados tangentes � circunfer�ncia. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunfer�ncia est� inscrita no pol�gono. Propriedade dos quadril�teros circunscritos: Se um quadril�tero � circunscrito a uma circunfer�ncia, a soma de dois lados opostos � igual a soma dos outros dois lados. 9 Arco de circunfer�ncia e �ngulo centralSeja a circunfer�ncia de centro O tra�ada ao lado. Pela defini��o de circunfer�ncia temos que \(OP=OQ=OR=\cdots\) e isto indica que os raios de uma circunfer�ncia s�o segmentos congruentes. Circunfer�ncias congruentes: S�o circunfer�ncias que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e n�o a um n�mero. �ngulo central: Em uma circunfer�ncia, o �ngulo central � aquele cujo v�rtice coincide com o centro da circunfer�ncia. Na figura, o �ngulo \(a\) � um �ngulo central. Se numa circunfer�ncia de centro \(O\), um �ngulo central determina um arco \(AB\), dizemos que \(AB\) � o arco correspondente ao �ngulo \(A�B\). Arco menor: � um arco que re�ne dois pontos da circunfer�ncia que n�o s�o extremos de um di�metro e todos os pontos da circunfer�ncia que est�o dentro do �ngulo central cujos lados cont�m os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor \(AB\) ou arco menor \(ACB\). Arco maior: � um arco que liga dois pontos da circunfer�ncia que n�o s�o extremos de um di�metro e todos os pontos da circunfer�ncia que est�o fora do �ngulo central cujos lados cont�m os dois pontos. Na figura a parte azul � o arco maior, o ponto \(D\) est� no arco maior \(ADB\) enquanto o ponto \(C\) n�o est� no arco maior, mas est� no arco menor \(AB\), assim � frequentemente usado tr�s letras para representar o arco maior. Semicircunfer�ncia: � um arco obtido pela reuni�o dos pontos extremos de um di�metro com todos os pontos da circunfer�ncia que est�o em um dos lados do di�metro. O arco \(RTS\) � uma semicircunfer�ncia da circunfer�ncia de centro \(P\) e o arco \(RUS\) � outra. Notas: Em uma circunfer�ncia dada, temos que:
Apenas esta �ltima rela��o faz sentido para as duas �ltimas figuras apresentadas. 10 Propriedades de arcos e cordasUma corda de circunfer�ncia � um segmento de reta que une dois pontos da circunfer�ncia. Se os extremos de uma corda n�o s�o extremos de um di�metro eles s�o extremos de dois arcos de circunfer�ncia sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando n�o for especificada, a express�o arco de uma corda se referir� ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar. Notas:
11 Pol�gonos inscritos na circunfer�nciaUm pol�gono � inscrito em uma circunfer�ncia se cada v�rtice do pol�gono � um ponto da circunfer�ncia e neste caso dizemos que a circunfer�ncia � circunscrita ao pol�gono. Propriedade dos quadril�teros inscritos: Se um quadril�tero est� inscrito em uma circunfer�ncia ent�o os �ngulos opostos s�o suplementares, isto � a soma dos �ngulos opostos � \(180\) graus e a soma de todos os quatro �ngulos � \(360\) graus. \[\begin{align} � + � &= 180 \text{ graus} \\ � + � &= 180 \text{ graus} \\ � + � + � + � &= 360 \text{ graus} \end{align}\] 12 �ngulos inscritos�ngulo inscrito relativo a uma circunfer�ncia � um �ngulo com o v�rtice na circunfer�ncia e os lados secantes a ela. Na figura seguinte � esquerda, o �ngulo \(AVB\) � inscrito e \(AB\) � o arco correspondente. Medida do �ngulo inscrito em uma circunfer�ncia � igual � metade da respectiva medida do �ngulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto �: \[m = \frac{n}{2} = \frac12 m(AB)\] �ngulo reto inscrito na circunfer�ncia: O arco correspondente a um �ngulo reto inscrito em uma circunfer�ncia � a semi-circunfer�ncia. Se um tri�ngulo inscrito numa semi-circunfer�ncia tem um lado igual ao di�metro, ent�o ele � um tri�ngulo ret�ngulo e esse di�metro � a hipotenusa do tri�ngulo. 13 �ngulo semi-inscrito e arco capaz�ngulo semi-inscrito ou �ngulo de segmento � um �ngulo que possui um dos lados tangente � circunfer�ncia, o outro lado secante � circunfer�ncia e o v�rtice na circunfer�ncia. Este �ngulo determina um arco (menor) sobre a circunfer�ncia. No gr�fico seguinte, a reta secante passa pelos pontos \(A\) e \(B\) e o arco correspondente ao �ngulo semi-inscrito \(BAC\) � o arco \(AXB\) onde \(X\) � um ponto sobre o arco. Nota: A medida do �ngulo semi-inscrito � a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do �ngulo \(B�C\) � igual a metade da medida do arco \(AXB\). Arco capaz: Dado um segmento \(AB\) e um �ngulo \(k\), pergunta-se: Qual � o lugar geom�trico de todos os pontos do plano que cont�m os v�rtices dos �ngulos cujos lados passam pelos pontos \(A\) e \(B\) sendo todos os �ngulos congruentes ao �ngulo \(k\)? Este lugar geom�trico � um arco de circunfer�ncia denominado arco capaz. Constru��o do arco capaz com r�gua e compasso
Nota: Todo �ngulo inscrito no arco capaz \(AB\), com lados passando pelos pontos \(A\) e \(B\) s�o congruentes e isto significa que, o segmento de reta \(AB\) � sempre visto sob o mesmo �ngulo de vis�o se o v�rtice deste �ngulo est� localizado no arco capaz. Na figura seguinte � esquerda, os �ngulos que passam por \(A\) e \(B\) e t�m v�rtices em \(V_1\), \(V_2\), \(V_3,\cdots\), s�o todos congruentes (a mesma medida). Na figura anterior � direita, o arco capaz relativo ao �ngulo semi-inscrito \(m\) de v�rtice em \(A\) � o arco \(AVB\). Se \(n\) � �ngulo central ent�o a medida de \(m\), denotada por \(\mu(m)\) � o dobro da medida de \(n\), denotada por \(\mu(n)\), isto �: \[m(arco AB) = 2\mu(m) = \mu(n)\] 14 Outras propriedades com cordas e segmentosAgora apresentamos alguns resultados que fazem a conex�o entre segmentos e cordas, que n�o s�o evidentes � primeira vista. Se a reta \(AB\) � tangente � circunfer�ncia no ponto \(B\) ent�o o segmento \(AB\) � o segmento tangente de A \(a\)t� a circunfer�ncia. Se a reta \(RT\) � uma reta secante que intercepta a circunfer�ncia em \(S\) e \(T\), e al�m disso, \(R\) � um ponto exterior � circunfer�ncia, ent�o \(RT\) � um segmento secante e \(RS\) � a parte externa do segmento secante. Na sequ�ncia, usamos a nota��o \((PZ)\) para representar a medida do segmento \(PZ\), em fun��o das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresenta��o de materiais de Matem�tica. Cordas interceptando dentro da circunfer�ncia: Consideremos duas cordas de uma mesma circunfer�ncia se interceptam em um ponto \(P\) dentro da circunfer�ncia. Ent�o, o produto das medidas das duas partes de uma corda � igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda. \[(AP).(PB) = (CP).(PD)\] Pot�ncia de ponto (1): A partir de um ponto fixo \(P\) dentro de uma circunfer�ncia, tem-se que \((PA).(PB)\) � constante qualquer que seja a corda \(AB\) passando por este ponto \(P\). Este produto \((PA).(PB)\) � denominado a pot�ncia do ponto \(P\) em rela��o a esta circunfer�ncia. Secantes interceptando fora da circunfer�ncia: Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunfer�ncia que se interceptam em um ponto \(P\) localizado fora da circunfer�ncia. Se uma das retas passa pelos pontos \(A\) e \(B\) e a outra reta passa pelos pontos \(C\) e \(D\) da circunfer�ncia, ent�o o produto da medida do segmento secante \(PA\) pela medida da sua parte exterior \(PB\) � igual ao produto da medida do segmento secante \(PC\) pela medida da sua parte exterior \(PD\), isto �, \[(PA).(PB)=(PC).(PD)\] Pot�ncia de ponto (2): Se \(P\) � um ponto fixo fora da circunfer�ncia, o produto \((PA).(PB)\) � constante qualquer que seja a reta secante � circunfer�ncia passando por \(P\). Este produto \((PA).(PB)\) � tamb�m denominado a pot�ncia do ponto \(P\) em rela��o � circunfer�ncia. Secante e tangente interceptando fora da circunfer�ncia: Seja uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunfer�ncia se interceptam em um ponto \(P\) fora da circunfer�ncia, a reta secante passando pelos pontos \(A\) e \(B\) e a reta tangente passando pelo ponto \(T\) de tang�ncia � circunfer�ncia. Ent�o, o quadrado da medida do segmento tangente \(PT\) � igual ao produto da medida do segmento secante \(PA\) pela medida da sua parte exterior \(PB\), isto �, \[(PT)^2 = (PA).(PB)\] Exemplo: Consideremos a figura com as cordas \(AB\) e \(CD\) tendo interse��o no ponto \(P\), com \((AP)=5\) cm, \((PB)=8\) cm, \((CD)=14\) cm. Vamos obter a medida do segmento \(PD\). Tomamos \((PD)=x\), para escrever que \((CP)=14-x\) e somente utilizamos a unidade de medida no final. Desse modo, \((PD).(PC)=(PA).(PB)\) e podemos escrever que \(x(14-x)=5{\times}8\), de onde segue que \(x^2-14x+40=0\). Resolvendo esta equa��o, obtemos: \(x=4\) ou \(x=10\), o que significa que se uma das partes do segmento medir \(4\operatorname{cm}\), a outra medir� \(10\operatorname{cm}\). Pela figura anexada, observamos que o segmento \(PD\) � maior que o segmento \(PC\) e conclu�mos que \((PD)=10\operatorname{cm}\) e \((PC)=4\operatorname{cm}\). Quantos triângulos podemos formar com 8 pontos distintos em uma circunferência?C(8,3) = 56. Portanto, podemos afirmar que é possível formar 56 triângulos distintos com os 8 pontos da circunferência.
Quantos triângulos distintos podemos traçar tendo seus vértices em seis pontos sobre uma circunferência?Logo, podemos formar 20 triângulos. Bons estudos!
Quantos triângulos distintos podem ser formados Unindo3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista
Como nesse caso foram marcados 9 pontos na circunferência, podemos dizer que podem ser construídos 84 triângulos, sendo esse valor obtido através de uma combinação do número 9.
Quantos triângulos é possível?Classificação quanto aos ângulos
Em relação à medida dos ângulos, também podemos classificar os triângulos em três tipos: triângulo retângulo, triângulo acutângulo e triângulo obtusângulo.
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