Qual é o polígono regular em que o ângulo interno é o triplo do ângulo externo?

Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.

Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:

Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.

Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.

Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.

Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º

Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.

Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:

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• n = 3

Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°

• n = 4

Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°

• n = 5

Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°

• n = 6

Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°

• n = n

Si = (n – 2)·180°

Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:

Si = (n – 2)·180°

Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.

ai = Si
     n

Soma dos ângulos externos de um polígono regular

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.

Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática 

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Determine a medida do ângulo externo de um polígono regular de 16 lados.n = 16 ae= 360o16ae= 22,5°33.Determine o polígono regular cujo ângulo externo mede 18°.ae= 360on18° = 360on18° · n = 360°n = 360o18on = 20 icoságono regular34.Calcule a medida do ângulo externo do pentadecágono regular.n = 15ae= 360o15ae= 24°

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Larson

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9535.Resolva os problemas.a) Quantos lados tem um polígono regular, sabendo que o ângulo interno é o triplo do ângulo externo?ai= 3 · aeSin= 3 · SenSi= 3 · Se180° · (n – 2) = 3 · 360°n – 2 = 3 · 360o180on – 2 = 3 · 2n – 2 = 6 n = 8Resposta: O polígono tem oito lados.b) Num polígono regular, o ângulo interno excede em 90° o ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?Sugestão: ai– ae= 90°180o (n - 2)n– 360on= 90°(m.m.c. = n)180° · (n – 2) – 360° = 90° · n180° · n – 360° – 360° = 90° · n180° · n – 90° · n = 360° + 360°90° · n = 720°n = 720o90on = 8Resposta: O polígono tem oito lados.c) Determine qual é o polígono regular cuja soma das medidas dos ângulos internos excede a soma das medidas dos ângulos externos em 180°.Sugestão: Si– Se= 180°180° (n – 2) – 360° = 180°180° · n – 360° – 360° = 180°180° · n = 180° + 360° + 360°180° · n = 900°n = 900o180on = 5Resposta: É o pentágono regular.d) Num polígono regular, a soma das medidas dos ângulos internos excede a soma das medidas dos ângulos externos em 540°. Qual é esse polígono?Si– Se= 540°180° · (n – 2) – 360° = 540°180° · n – 360° – 360° = 540°180° · n = 540° + 360° + 360°180° · n = 1 260°n = 1 260o180on = 7Resposta: É o heptágono regular.

9612. Semelhança de polígonosDois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes são proporcionaise os ângulos correspondentes são congruentes(apresentam mesma medida).Exemplos:1) Vamos verificar se estes hexágonos são semelhantes.2 cm2 cm2 cm2 cm2 cm2 cmDEBAFC4 cm4 cm4 cm4 cm4 cm4 cmF’C’A’B’E’D’med (A^) = 120ºA^≡B^≡C^≡D^≡E^≡F^emed (A^’) = 120ºA^’ ≡B^’ ≡’ C^’ ≡D^’ ≡E^’ ≡F^’Portanto:hexágono ABCDEF ~ hexágono A’B’C’D’E’F’.ABA’B’= BCB’C’= CDC’D’= ... FAF’A’= 24= 122) Vamos verificar se estes quadriláteros são semelhantes.med (A^) = 30º med (A^’) = 30ºmed (B^) = 165º e med (B^’) = 165ºmed (C^) = 65º med (C^’) = 65ºmed (D^) = 100º med (D^’) = 100ºPortanto: quadrilátero ABCD ~ quadrilátero A’B’C’D’.ABA’B’= BCB’C’= CDC’D’= DAD’A’= 69= 23= 46= 69= 23Essa relação é chamada razão de semelhança, que indicaremos por k. Então, dois polígonos ABCD... e A’B’C’D’... semelhantes apresentam a seguinte razão de semelhança:ABA’B’= BCB’C’= CDC’D’= ... = kImportante:Dois polígonos regulares, com a mesma quantidade de lados, são sempre semelhantes.

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