Quantos algarismos são necessários para numerar 180 páginas

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Quantos algarismos são necessários para numerarmos as mil páginas de um livro, começando na página [tex]1[/tex]?

Solução

A numeração deve ser dividida de acordo com a quantidade de algarismos que há em cada página. Vejamos:

• de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex] há [tex](9-1 + 1) \times 1 = 9[/tex] algarismos;
• de [tex]10[/tex] a [tex]99[/tex] há [tex](99-10 + 1) \times 2 = 180[/tex] algarismos;
• de [tex]100[/tex] a [tex]999[/tex] há [tex](999-100 + 1) \times 3 = 2700[/tex] algarismos;
• para a página [tex]1\,000[/tex] serão usados [tex]4[/tex] algarismos.

Desse modo, o total de algarismos utilizados é [tex]9 + 180 + 2700 + 4 = 2893[/tex].

Solução elaborada pelo Clube KHÉRIMA,
com contribuições dos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube KHÉRIMA.

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A Matemática e Raciocínio Lógico 
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ALGARISMOS
     Observações:
1) Quem escreve desde um número A até um número B, escreve ao todo (B – A + 1). Exemplo1: De 41 a 100 quantos número temos?
Solução: 
100 – 41 + 1 = 59 + 1 = 60 
Também podemos trabalhar com o sucessivo: O sucessivo de 100 é 101
Então: 101 – 41 = 60 
Exemplo2: De 345 a 789 incluídos esses números, quantos inteiros e consecutivos existem?
Solução: 
789 – 345 + 1 = 444 + 1 = 445
Com o sucessivo de 789 é 790 → 790 – 345 = 445
Isso ocorre com os números incluídos, mas se forem com os excluídos, a resolução passa a ser assim:  Do maior número subtraímos o sucessor do menor
Exemplo1: De 132 a 186 excluídos esses, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem. 
Sucessivo do menor 133 → 186 – 133 = 53
Exemplo2: Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até 251 excluídos esses.
Solução: 
Sucessivo do menor 21 →  251 – 21 = 230
Excluídos e incluídos: Basta subtrair do número maior o menor
Exemplo: Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243 excluído e 527 incluído. 
Solução : 
527 – 243 = 284 
01) De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes como unidade e 10 vezes como centena.
02) De 1 a  1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes como unidade e 100 vezes como dezena e 100 vezes como centena.
03) De 1 a 10n qualquer algarismo aparece ; 10 n -1 como unidade, 10 n-1 com dezena e 10 n-1 como centena.
04) Quantidade de algarismos:  Q(x) = n(x + 1) -  10n – 10
                                                                                     9 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Quantos algarismos são necessários para se escrever os números ímpares de 5 até 175. 
Solução: O sucessor de 175 é 176.
Q(x) = 3x – 108            (0-1-2-3-4-5 seis números que serão retirados)
Q(x) = 3 x 176 – 108  → Q(x) = 528 – 108  → Q (x) = 420
420 – 6 = 207 algarismos
Resposta .: 207 algarismos
02) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive. 
Solução: O sucessor de 934 é 935
de  1  a  10   =  1 x   9 =        9
de  10 a 100 =  2 x 90 =   + 180
                                         189 algarismos
935 – 100 = 835 → 835 x 3 = 2505 → 2505 + 189 = 2694 algarismos
Resposta.: 2694 algarismos
2)    Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 7 a 32.427, inclusive. Solução:
O sucessor de 32.427 é 32.428.
de  7     a      10       =  1 x        3    =          3
de  10   a     100     =  2 x       90    =        180
de  100  a    1000  =   3 x    900    =        2700
de  1000 a  10.000 = 4 x  9.000    =  +  36.000
                                                          38.883
32.428 – 10.000 = 22.428 → 22.428 x 5 = 112.140 → 112.428 + 38.883 = 151.023
Resposta.: 151.023 algarismos
     
03) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números 
de  5 algarismos. 
Solução:
Na = n x 9 x 10 n-1
Na = 5 x 9 x 10 5-1 = 5 x 9 x 10 4 = 5 x 9 x 10000 = 450.000 algarismos
04) Calcular o número algarismos necessários para se escrever todos os números de sete algarismos. 
Solução:
 Na = 7 x 9 x 10 7-1 = 63 x 10 6 = 63 x 1000000 = 63.000.000 algarismos
05) Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algarismos foram 
necessários. 
Solução. 
O sucessor de 126 é 127
                       páginas        algarismos
de  1   a 10  =   1 x     9           =     9 
de  10 a 100 =  2 x    90           = 180
                                99              189
127 – 100 = 27 → 27 x 3 = 81 algarismos → 81 + 189 = 270 algarismos
Resposta.: 270 algarismos
06) Em um teatro há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão necessários
Para enumerá-las. 
Solução. 
O sucessor de 150 é 151
                      poltronas          algarismos
de 1 a  10   =   1 x     9               =      9
de 10 a 100 =  2 x    90               =  180    
                               99                   189      
151 – 100 = 51 → 51 x 3 = 153 → 153 + 189 = 342 algarismos
Resposta.; 342 algarismos
08) Em um cinema há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão necessários 
Para enumerá-las. 
Solução. 
O sucessor de 130 é 131
                               cadeiras       algarismos
de  1 a  10      = 1 x      9             =     9
de  10  a 100 =  2 x     90             = 180
                                  99                189
     131 – 100 = 31 → 31 x 3 = 93 algarismos → 93 + 189 = 282 algarismos
     Resposta .: 282 algarismos
09) Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enu-
merá-las? 
Solução. 
O sucessor de 2.593 é 2.594.
                                    páginas           algarismos
de  1    a   10    =   1 x        9                 =        9
de  10  a   100  =   2 x      90                 =   180
de  100 a  1000 =  3 x   900                =   2700
                                         999                     2889
2.594 – 1000 = 1.594→ 1.594 x 4 = 6.376 algarismos → 6.376 + 2.889 = 9.265
Resposta .: 9.265 algarismos
10) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algarismos.
Calcular quantas páginas tem esse livro.
Solução. 
Para o número de páginas
Não precisamos do sucessivo.
                                Páginas
De  1  a   10  =   1 x   9           =     9
De 10  a  100 =  2 x  90          =  180
                               99              189
270 – 189 = 81 → 81 ÷ 3 = 27 páginas → 27 + 99 = 126 páginas
Resposta .: 126 paginas.
11) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algarismos. 
Calcule quantas páginas tem esse livro. 
Solução
                              páginas           algarismos
de 1 a      10  =   1 x    9               =      9
de  10  a 100 =  2 x    90               =  180                   
                                 99                   189
570 – 189 = 381 algarismos → 381 ÷ 3 = 127 páginas → 127 + 99 = 226 páginas
Resposta.: 226 páginas
12) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 3.421 algarismos. Calcule quantas páginas tem esse livro. 
Solução
                               páginas           algarismos
de  1  a  10      =     1 x       9                =      9 
de  10  a 100   =     2 x    90               =   180
de  100 a 1000 =   3 x  900              =  2700
                                  999                  2889
3.421 – 2889 = 532 algarismos → 532 ÷ 3 = 133 páginas → 133 + 999 = 1.132 
Resposta.: 1.132 páginas 
13) Calcular o número necessário de algarismos para se escrever todos os números naturais de 1 a 88. 
Solução O sucessor de 88 é 89
de 1 a 10  = 1 x 9  =  9 
89  –10    = 79 → 79 x 2 = 158 algarismos → 158 + 9 = 167 algarismos
Resposta.: 167 algarismos
14) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números naturais de 30 a 176. 
Solução. 
O sucessor de 176 é 177
100 – 30   = 70 → 70 x 2 =     140 algarismos
176 – 100 = 76 → 76 x 3 =  + 228 algarismos
                                                   368 algarismos
Resposta .: 368 algarismos
15) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 30 a 91.
Solução . 
O sucessor de 91 é 92
92 – 30 = 62 → 62 x 2 = 124 algarismos
Resposta.; 124 algarismos
16) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive. 
Solução. 
O Sucessor de 934 é 935
de  1    a   10  =  1 x    9   =     9 
de  10  a  100 =  2 x  90  = 180
                                              189
935 – 100 = 835 algarismos → 835 x 3 = 2.505 algarismos → 2.505 + 189 = 2.694
Resposta.: 2.694 algarismos
17)Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive.
Solução 
O Sucessor de 175 é 176.
de  5  a  10 = 5, 7 e  9 → 3 ÷ 3 = 1 
176 – 100  = 76 → 76 ÷ 2 = 38 números ímpares
100 – 10    = 90 → 90 ÷ 2 = 45 números ímpares
  3 x 1 =     3
45 x 2 =   90
38 x 3 = 114
               207
Resposta .: 207 algarismos
18) Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enumerá-las. Solução.

Página12

Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 as páginas de um livro?

Quantos algarismos tem um livro de 100 páginas?

Quantos algarismos são necessários para acrescentar 100 páginas?

Quantas páginas tem o livro de 632 algarismos?