1 – Definição Show Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer sequência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos: 2 - Fórmula do termo geral Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro
termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever: Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG. Exemplos: a) Dada a PG (2,4,8,... ),
pede-se calcular o décimo termo. b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: 3 - Propriedades principais P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos
termos imediatamente anterior e posterior. P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante. 4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue: Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como: Observe que a2 + a3 + ... + an
é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo:
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50 6 – Exercícios resolvidos e propostos 6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 . Solução: Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q Multiplicando ambos os membros por q, fica: Dividindo por 3 e ordenando,
fica: Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor O problema pede a soma dos quadrados, logo: 6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: Solução: Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, Logo, poderemos escrever: Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos: Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n) Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica: 6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente Solução: O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e
6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede: Agora resolva este: Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24. Como descobri a razão da PG?PG ou progressão geométrica é uma sequência numérica onde os termos a partir do segundo são obtidos multiplicados por uma constante q que chamamos de razão. Para encontrarmos a razão de uma PG basta dividirmos um número pelo seu antecessor.
Qual é a razão de uma PG SabendoPortanto, podemos afirmar que a razão da progressão geométrica pode ser igual a -3 ou igual a 3.
Qual é a razão da PG 1PG: (5, 25, 125, 625, …) Nesta progressão, o valor que determina seu consecutivo é o cinco, ou seja, a sequência é uma PG de razão igual a cinco (q = 5), pois 5 x 5 = 25; 25 x 5 = 125; 125 x 5 = 625 e assim sucessivamente.
Qual a razão da PG 5?Esta constante é denominada razão da P.G., e será representada pela letra q. A P.G. (5, 10, 20, 40, 80, 160) tem razão q = 2. Temos, por definição, que uma P.G.
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