Qual dessas relações pode ser utilizada para definir uma função de domínio me contradomínio n r1?

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{e^x}$.

$0$.

A raiz aproximada é $x=1.23$.

  Os intervalos utilizados são:

  $[1,1.5] \quad [1,1.25] \quad [1.125,1.25]$

  $[1.1875,1.25]\quad [1.21875,1.25]\quad [1.234375,1.25]$

  $[1.234375,1.2421875]\quad [1.234375,1.2382813]$.

Estude a função $f\left( x\right) =\sin x+\cos x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Calcule a seguinte integral:
   $\int \cos ^{3}xdx.$

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\cos \left( x^{-2}\right)+x^{3}e^{-3x}.$

$f'(x) =  -3 e^{-3 x} x^3 + 3 e^{-3 x} x^2 + (2 \sin(x^{-2}))/x^3$.

Prove que para todo $x>0$ vale $x+\frac{1}{x}\geq 2$. Para quais números $x>0$ vale a igualdade?

A média geométrica de dois números reais positivos $a$ e $b$ é definida como $\sqrt{ab}$. Prove que $\sqrt{ab}=\lim\limits_{x \to \infty}\left(\dfrac{a^{1/x}+b^{1/x}}{2}\right)^x$.

Sejam $x$ a medida do lado da base da caixa e $z$ sua altura. O volume $V$ dessa caixa é dado por $V=x^2z$. Como $V=2$, temos $z=\dfrac{2}{x^2}$. A área superficial $A$ da caixa (sem tampa!) é $A=x^2+4xz$. Substituindo $z$ por $\dfrac{2}{x^2}$ obtemos $A=x^2+\dfrac{8}{x}$. 

Dados $f(x) = 1+x$ e $x_0 = 8,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

Sejam $f\left( x\right) =\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g\left(x\right) =\sqrt{x}$. Dê o domínio das seguintes funções: $f,$ $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.

Calcule a integral imprópria $\int_{0}^{\infty }x^{2}e^{-x}dx$

$2$.

Usando os limites fundamentais, encontre o limite  $\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{sen(x-1)}{x^{2}+x-2}$.
 

$1/3$.

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=1/x$.

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, $f''(x)=\dfrac{2}{x^3}$ e $f'''(x)=-\dfrac{6}{x^4}$.

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{dy}{\sqrt{y} e^{\sqrt{y}}}$.

1. $\begin{array}{rcl} 2,001111... &=& 2 + 0,00111... \\ &=& 2 + \dfrac{0,111...}{100} \\ &=& 2 +   \dfrac{1}{100} \dfrac{1}{9} \\&=& 2 + \dfrac{1}{900} \\  &=& \dfrac{1800+1}{900} \\  &=& \dfrac{1801}{900}. \end{array} $
2. $\begin{array}{rcl} 2,101010... &=& 2 + 0,101010... \\ &=& 2 + \dfrac{10}{99} \\ &=& \dfrac{198+10}{99} \\  &=& \dfrac{208}{99}. \end{array} $
3. $\begin{array}{rcl} 1,2333... &=& 1,2 + 0,0333... \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{1}{10}\dfrac{3}{9} \\ &=& \dfrac{12}{10} + \dfrac{3}{90} \\&=& \dfrac{108+3}{90} \\  &=& \dfrac{111}{90}. \end{array} $
   

Obtenha as assíntotas verticais de $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$.

As assíntotas verticais são os pontos $x$ tais que o limite é infinito.

Para $f(x)=\frac{x^2+1}{(x-1)^2}$ temos que:

$\lim \limits_{x \to 1} \frac{x^2+1}{(x-1)^2} = \infty$,

Logo $x=1$ é uma assíntota vertical de $f$. Como não há mais pontos no domínio de $f$ que podem levar a um limite infinito, esta é a única assíntota.

Se $2x+1\geq0$: $|2x+1| = 2x+1$, logo $2x+1=3 \Rightarrow x = 1$.
Se $2x+1<0$: $|2x+1| = -(2x+1)$, logo $-2x-1=3 \Rightarrow x = -2$.
Portanto $x=1$ ou $x=-2$.

Calcule a integral $\displaystyle \int (1+ \sin t)^9 \cos t \, dt$, utilizando a substituição $u=1+\sin t$.

1. V

2. F

3. V

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\left(  x^{3}+1\right)  ^{5}}{\left(x^{2}+1\right)  ^{4}}.$

$\frac{x \left(x^3+1\right)^4 \left(7 x^3+15 x-8\right)}{\left(x^2+1\right)^5}$

Dê um exemplo para mostrar que o produto de uma função contínua por uma função descontínua, pode ser uma função contínua.

A taxa de crescimento $R$ de certo tipo de tumor pode ser relacionada com seu tamanho $x$, de modo aproximado, pela equação $R=r\cdot x\cdot ln(K/x)$, em que $r$ e $K$ são constantes positivas. Mostre que o tumor cresce mais rapidamente quando $x=e^{-1}K$.

Calcule a integral $\int \frac{1}{x^2-x} dx$.

$f'(x)=ln(2)2^x$.

Mostre que $x\neq y\Longrightarrow x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.

Note que $(x-y)^2+y^2>0$ sempre que $x\neq y$. Daí, $x^2-2xy+y^2+y^2>0$, que é equivalente a $2x^2+2y^2-x^2-2xy>0$, que, por sua vez, é equivalente a x^{2}+2xy<2x^{2}+2y^{2}$.

1. $10$.

Possui assíntota horizontal de equação $y=10$,

1. F

2. F

3. F

4. F

$f'(x) = \left( 1+\sqrt{x}\right) e^{x}\tan x + \dfrac{e^x \tan x}{2 \sqrt{x}} + e^x(\sqrt{x} + 1) \sec^2 x$.

A função $f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x^2-1 & & x < 3 \\x+5 & & x\geq 3 \end{array}\right.$ é contínua em todo o seu domínio? Justifique.

Sim, é. O único ponto em que não poderia  (inicialmente) ser contínua é em $x=3$. Todavia, temos $\lim\limits_{x\to 3^-} f(x)=\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=f(3)=8$.

Calcule $\displaystyle \int \dfrac{1}{2+\sin x} \, dx$.

$\frac{2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 \tan \left(\frac{x}{2}\right)+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}$

Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $2$, mas que $\lim\limits_{x \to 2^+}f(x)=\lim\limits_{x \to 2^-}f(x)$.

$\infty$.

Prove que se $f$ é contínua em $\left[a,b\right]$ , então $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f(\xi)$ para algum $\xi \in \left[a,b\right]$.

Seja $g(x)=a^x$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=a^x \ln{a}$.

A trombeta de Torricelli, também conhecida como trombeta de Gabriel, em referência à passagem da bíblia na qual o arcanjo Gabriel anuncia o dia do julgamento com sua trombeta,  é uma figura geométrica bastante interessante. Ela é descrita a partir da rotação da função $1/x$ no domínio $x>1$ em relação ao eixo $x$. Calcule sua área e seu volume.

A área de uma superfície de revolução é dada por:

$A=\int_{a}^b 2 \pi f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\ dx$

Assim, temos, para a trombeta de Torricelli:

$A= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left(2 \pi \int_{1}^{a}\ \frac{1}{x} \sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\ dx\right)$

Portanto, como $\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}>1$:

$A > \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x} \ dx\right)= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( 2 \pi ln\ a\right)$

para $a\rightarrow \infty$, vemos que a área $A$ tende ao infinito.

Quanto ao volume, temos que:

$V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\left( \pi \int_{1}^{a} \frac{1}{x^2}\ dx\right)$

Portanto, obtemos:

$V= \lim\limits_{a\rightarrow \infty}\ \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)$

Que para $a\rightarrow \infty$ tende a $V=\pi$.

Use o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia para calcular a derivada da função $f(x)=\int_1^{\sin x}e^{t^2} dt$. Indique claramente a justificativa de cada passagem e, em seguida, calcule $f'(\pi)$.

Seja $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua tal que, para todo real x, tenhamos $f(f(f(x))) = x^2 + 1$. Prove que $f$  é par.

1. $4$
   
2. $2$
   
3. $4$
   
4. 2
   
5. $1$
   
6. 2
   

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
  $y=e^{-x^{2}},y=0,x=0,x=1$, ao redor do eixo $y.$

Suponha $g(x) \neq 0$, para todo $x \in Dom(g)$, $L \neq 0$ e $\lim\limits_{x \to p}g(x)=L$. Prove que $\lim\limits_{x \to p}\dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{L}$.

 Veja Guidorizzi, volume $1$, página $87$.

Calcule a integral $\int_0^{1} xe^x dx$.

1

Calcule a seguinte integral:
 $ \int_2^3 \frac{1}{x^2-1}dx$.

$\tanh ^{-1}(2)-\tanh ^{-1}(3)$

1. $-4$
   
2. $-5$
   
3. $-3$
   
4. 1
   
5. $-2$
   
6. 10
   

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\left( 5+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}\right)$.

$5$

Dados $f(x) = x^{-1}$ e $x_0 = 0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

A linearização da função $f(x)$ em torno de um ponto $x_0$ nada mais é do que assumir que ela se comporta como uma reta que passa pelo ponto $(x_0,f(x_0))$ com inclinação $f'(x_0)$.

Neste caso temos $f(x)=x^{-1}$ e $f'(x)=-x^{-2}$. Linearizando a função em torno de $1$, temos $\frac{y-f(1)}{x-1}=f'(1)=\frac{y-1}{x-1}= -1$ portanto temos

$y=2-x$

Se $ax-b\geq0$: $|ax-b| = ax-b$, logo $ax-b<r \Rightarrow x < \dfrac{b+r}{a}$.
Se $ax-b<0$: $|ax-b| = -(ax-b)$, logo $-ax+b<r \Rightarrow x > \dfrac{b-r}{a}$.
Portanto $x<\dfrac{b+r}{a}$ ou $x>\dfrac{b-r}{a}$.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x+\dfrac{1}{x^{2}}$.

$f'(x)=ln(\pi)\pi^x$.

Aproximadamente $0,2383$.

Derive a função $q\left( x\right)  = \int_{e^{-2x}}^{\mathrm{tg}x}e^{\theta }\cos \theta d\theta$.

1. V

2. F

3. V

4. V

5. V

Seja $S$ a região entre as curvas $y=x^n$ e $y=x^{n+1}$, onde $n$ é um inteiro, $n\geq 1$.
  Considere o sólido $A_r$ obtido pela rotação de $S$ ao redor do eixo $x=r, r>1$ e considere o sólido $B_r$ obtido pela rotação de $S$ ao redor do eixo $y=r, r>1$. \\
  Calcule o volume $V(A_r)$ de $A_r$, o volume $V(B_r)$ de $B_r$.  Determine, se existir, ${\lim_{r\rightarrow\infty}\frac{V(A_r)}{V(B_r)}}$.

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2/x$.

$y=x-1$.

Se $p$ denota o preço de venda de um artigo e $x$ é a procura correspondente (em número de artigos vendidos por di, então a relação entre $p$ e $x$ pode ser dada por $p(x)=p_0e^{-ax}$ para constantes positivas $p_0$ e $a$. Suponha $p(x)=300e^{-0,02x}$. Determine o preço de venda que maximize a receita diária.

Um peso de massa $m$ é preso a uma bola suspensa a partir de um suporte. O peso é posto em movimento movendo-se o suporte para cima e para baixo de acordo com a fórmula $h=A \cos(\omega t)$, onde $A$ e $\omega$  são constantes positivas e $t$ é o tempo. Se as forças de atrito são desprezíveis, então o deslocamento $s$ do peso em relação à sua posição inicial no instante $t$ é dada por $s=\dfrac{A \omega^2}{\omega_0^2-\omega^2}(\cos(\omega t)-\cos(\omega_0 t))$ com $\omega_0=\sqrt{k/m}$ para uma constante $k$ e com $\omega \neq \omega_0$. Calcule $\lim\limits_{\omega \to \omega_0}s$ e mostre que as oscilações resultantes aumentam em magnitude.

1. $-1/2$
   
2. $0$
   
3. $3/2$
   
4. $3/2$
   
5. $9/2$
   
6. $15/2$
   

Para resolver a integral, utilizamos a substituição $x=\tan(u)$, com $dx=\frac{du}{cos^2(u)}$. A integral equivalente, com os limites de integração escolhidos no primeiro quadrante, é:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{\cos^2(u)\left(\tan^2(u)+1\right)}=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{du}{1}=u\rvert_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}$

Prove que $|x+y|=|x|+|y| \Leftrightarrow xy \geq 0$.

1. $\{x \in \mathbb{R}; x<-3 \text{ ou }x>3\}$.
2. $\{x \in \mathbb{R}; x<0\}$.

Enuncie e demonstre o primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.

Sejam $x_0,c\in\mathbb R$ e considere a função $f(x)=e^{cx}$. Encontre $f'(x_0)$ usando a definição de derivada.

$ce^{cx_0}$.

Mostre que a linearização de $f(x)=(1+x)^k$ em $x=0$ é $L(x)=1+kx$.

Dada a função $f\left( x\right) =$ $\left| x\right| -2x$, calcule $f\left( -1\right) $, $f\left( 1/2\right) $, $f\left( -2/3\right) $. Mostre que $f\left( \left| a\right| \right) =-\left| a\right| $.

A função pode tender a valores diferentes pela esquerda e pela direita, a função pode crescer de maneira ilimitada, ou a função pode oscilar em torno de um valor.

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+x^{2}-5x$.

Chamando $x^2=y$, transformamos a equação para:
$y^2 -13y + 36=0$. Resolvendo esta equação:
$\Delta = 13^2-4.1.36 = 25.$
$y = \dfrac{13 \pm \sqrt{25}}{2}.$ 
Assim as soluções são: $y = 9$ ou $y = 4$.
Substituindo em $y=x^2$:
$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Portanto as soluções são $x=-2$, $x=2$, $x=-3$ e $x=3$.

Prove que a conclusão do Teorema do Valor Médio de Cauchy pode ser escrita da seguinte forma $$ \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, $$ sob as hipóteses adicionais de que $g(b)\neq g(a)$ e que $f'(x)$ e $g'(x)$ nunca são simultaneamente nulas sobre $(a,b)$.

Calcule o limite $\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}$ ou prove que não existe.

Racionalizando e aplicando diferença de quadrados temos:
\begin{equation*}
\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} =
 \frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}.
\end{equation*}
Logo,
$\lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+3}-2}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^2-1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1}{x+1}\cdot\frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Ache os extremos da função $f(x)=x+3x^{3/2}$.

Calcule a integral $\int {\dfrac{x}{\left( x-1\right) \left( x+2\right) }}dx$.

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função contínua no intervalo $\left[2,6 \right]$ com $f(2)=3$ e $f(6)=5$. Use o Teorema de Weierstrass e o Teorema do Valor Intermediário pra mostrar que a imagem de $f$ é um intervalo fechado.

 Assíntota horizontal em $y=0$; assíntotas verticais em $x=-1$ e $x=0$.

De acordo com s primeira lei de Kirchhoff para circuitos elétricos $V=RI+L(dI/dt)$, onde as constantes $V$, $R$ e $L$ denotam a força eletromotriz, a resistência e a indutância, respectivamente, e $I$ denota a corrente no instante $t$. Se a força eletromotriz é interrompida no instante $t=0$ e se a corrente é $I_0$ no instante da interrupção, prove que $I=I_0 e^{-Rt/L}$.

$\left\{ x\geq 0\right\} \cup \left\{ x<-4\right\} $.

Calcule a integral $\int e^{x}\sin xdx$.

$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$.

Encontre os dois pontos onde a curva $x^2+xy+y^2=7$  cruza o eixo x e mostre que as tangentes à curva nesses pontos são paralelas. Qual é o coeficiente angular comum dessas retas?

Seja $h$ uma função definida em $[-1,1]$, sendo que $h(-1) = -10$ e $h(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $h(c) = 0$? Por quê?

Não é possível dizer: O Teorema do Valor Intermediário só se aplica para funções contínuas, e nada foi afirmado sobre a continuidade de $h$.

1. $v(t)=-3\sin(t)-2\cos(t)$.

2. $v(3)=-3\sin(3)-2\cos(3)$.

Resolva a equação $\left| {\frac{3x+8}{2x-3}}\right| =4$.

Esboce os gráficos de $f(x) =x^2-1$ e $ g(x) = x^2 +1.$

$f'(x)=e^x(x^2+2x)$.

Usando a regra da derivada do produto, temos que

\[f^\prime(x) = (x^2  e^x)^\prime = (x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime.\]

Como $(x^2)^\prime = 2x$ e $(e^x)^\prime = e^x$, então

\[(x^2)' \cdot e^x + x^2 \cdot (e^x)^\prime = 2x e^x + x^2 e^x.\]

Colocando o fator comum $e^x$ em evidência, concluímos que

\[f^\prime (x) = e^x (x^2 + 2x).\]

Calcule a área do conjunto $A$ dos pontos $\left( x,y\right)$ tais que $x^{2}-1\leq y\leq x+1.$

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f'(x) = 3x+2$ e $f(0)= 7$

 $\frac{3 x^2}{2}+7 x+7$

Se $a$ é racional e $b$ é irracional então podemos afirmar alguma coisa sobre $a+b$ em termos de racionalidade ou irracionalidade?

Podemos afirmar que $a+b$ sempre será irracional.

$3 (\cos (x)-\sin (x)) (\sin (x)+\cos (x))^2$

1. $\mathbb{R}$.
2. $\mathbb{R}$.

Suponha que $\left| f\left( x\right) -f\left( 1\right) \right| \leq \left( x-1\right) ^{2}$. Demonstre que $f\left( x\right) $ é contínua em $1$.

Calcule a seguinte integral $\int \ln xdx$.

$x(lnx-1)+C$

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial $\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right)$ para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo. A  constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a soluçao dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\log _{3}x$.

$\infty$.

O quociente $(log_4\ x)/(log_2\ x)$ possui um valor constante. Qual valor é este?

Mostre que um polinômio de terceiro grau $p\left( x\right)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ($a\neq 0$) sempre possui uma raiz real. Ilustre através de contra-exemplo que isto não é válido para polinômios de grau par, ou seja, para todo $n=2k$ par, existem polinômios de grau $n$ que não possuem raiz real.

Use o Teorema do Confronto para calcular $\lim\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sqrt{x} \,e^{\sin\left(  \pi/x\right)  }\text{.}$
  Lembre-se de justificar porque o Teorema do Confronto pode ser útil.

$y'=(\sin(\sqrt{x}) + 1) \sec(\sqrt{x}) \left(-\dfrac{\sin(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)} - \dfrac{\cos^2(\sqrt{x})}{2 \sqrt{x} (\sin(\sqrt{x}) + 1)^2}\right)$.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=e^x$ no ponto de abscissa $0$.

Seja $P(x)$ um polinômio de coeficientes inteiros com grau $d>0$. Seja $n$ o número de inteiros distintos $k$ tais que $(P(k))^2=1$. Prove que $n\leq d+2.$

Demonstre a Regra de L'Hospital para a indeterminação da forma $\displaystyle\dfrac{0}{0}$.

Determine uma reta que seja paralela a $x+y=1$ e tangente à curva $x^{2}+xy+y^{2}=3$

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2+3x, & \text{se} x \leq 1 \\
5x-1, & \text{se} x>1  
\end{array}\right.$.

A velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro sobre uma reta é $v=ds/dt = 6\sin2t\ m/s$ para qualquer $t$. Se $s=0$ quando $t=0$, determine o valor de $s$ para $t=\pi/2\ s$.

$y'=\dfrac{1}{4\sqrt{\sqrt{x}+1}\sqrt{x}}$.

Mensalmente, pago pela prestação de minha casa $1/5$ do meu salário; metade do resto gasto em alimento e $1/3$ do que sobra coloco na poupança, restando-me ainda $R\$ 800,00$ para gastos diversos. Qual o valor colocado na poupança?

Use o método de Newton para calcular a raiz positiva de $x^2+x-1=0$ com duas casas decimais de precisão.

Demonstre que $x^{ln(2)}=2^{ln(x)}$ utilizando propriedades de logaritmos e exponenciais. Utilizando recursos computacionais, observe os gráficos das duas funções, assim como a diferença entre elas. Qual seria uma explicação para o comportamento observado no gráfico de $f(x)=x^{ln(2)}-2^{ln(x)}$?

Seja $a$ um número real positivo e suponha que $|x|<a.$ Use o método de frações parciais para obter a fórmula $\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left(\frac{a+x}{a-x}\right) +C.$

Aproximadamente $0,77116$

$2$.

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modificações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$.

É possível que uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$
  seja tal que $\lim\limits_{x\rightarrow 2^{+}}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}f\left(x\right)$ e ao mesmo tempo não seja contínua em $2$? Justifique e/ou dê um exemplo.

Sabemos que a troca de calor entre um objeto a uma temperatura $T$ e o ambiente a uma temperatura $T_{a}$ é proporcional a diferença $(T-T_{a})$. Como a variação de temperatura é proporcional a troca de calor, temos a seguinte equação diferencial para $T\left( t\right) $ (temperatura em função do tempo $t$ ):$\frac{dT}{dt}=-\alpha \left( T-T_{a}\right) ,$ onde a constante $\alpha >0$ depende do calor específico e da condutividade térmica do objeto. Ache a solução dessa equação em função de $\alpha $ assumindo que a temperatura do ambiente $T_{a}=20^{o}C$ e a temperatura inicial $T_{0}=100^{o}C$. Qual é o limite $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }T\left( t\right) $?

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }\left( 2^{x}+2^{-x}\right)$.

$\infty$.

Seja $f(x)=(x^3+1)/x$. Mostre que o gráfico de $y=f(x)$ tende à curva $y=x^2$ "assintotamente" no sentido de que $$ \lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x^2\right] = 0. $$ Esboce o gráfico de $y=f(x)$ mostrando o seu comportamento assintótico.

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (10x^2-2)\ dx$

  $10/3x^3-2x+C$

1. $2$
   
2. $0$
   
3. Não existe.
   
4. $1$
   

Seja $f\left( x\right) =\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left( \frac{1}{1+x}\right) =\frac{2+x}{x}$, $f\left( \frac{1}{1-x}\right) =\frac{x-2}{x}$, $f\left( -x\right) =\frac{1}{f\left( x\right) }$, $f\left( 1/x\right)=-f\left( x\right) $ e que $f\left( f\left( x\right) \right) =-1/x$.

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =\dfrac{x}{x^{2}+1}$.

Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação $P(t)=P(0) \cdot 2^{-0,25t}$. Sendo $P(0)$ uma constante que representa a população inicial dessa região e $P(t)$ a população $t$ anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à quarta parte da inicial.

Para que essa população fique reduzida à quarta parte da inicial devemos ter:
$P(t) = \dfrac{1}{4} P_0$.
Substituindo a expressão de $P(t)$:
$P_0 2^{-0,25 t} = 0,25 P_0$.
Com essa expressão podemos encontrar o valor de $t$.
$2^{-0,25 t} = 0,25$.
Aplicando $log_2$ dos dois lados:
$\log_2 (2^{-0,25 t}) = \log_2(0,25)$.
Utilizando propriedade de $\log$:
$-0,25 t \log_2 2 = \log_2(0,25)$.
$t = \dfrac{\log_2(0,25)}{-0,25}$.
$t = 8$ anos.

Seja $f(x)=\frac{1+x}{1-x}$. Mostre que $f\left(\frac{1}{1+x}\right)=\frac{2+x}{x}$, $f\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{x-2}{x}$, $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$, $f(1/x)=-f(x)$,  $f(f(x))=-1/x$.

Lembrando que o comprimento do traçado de um gráfico de uma função $f(x)$ no intervalo $[a,b]$ é dado por $\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx$, calcule o comprimento da circunferência de raio $r=1$.

Use camadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido resultante quando se faz girar a área entre as curvas $y=2x-1$, $y=-2x+3$ e $x=2$ em torno do eixo $y$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{e^x}{x^n}$.

$\infty$.

Seja $g(x)=log_a{x}$, em que $a>0$ e $a \neq 1$ é um real dado. Mostre que $g'(x)=\dfrac{1}{x \ln{a}}$.

Sejam $a<b$ dois reais e $p \in \left]a,b \right[$. Determine $r>0$ de modo que $\left]p-r,p+r \right[ \subset \left]a,b \right[$.

Esboce o gráfico da função $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio de definição, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

Seja $P(x)$ um polinômio de grau $n$ tal que $P(k)=k/(k+1)$ para $k=0,1,\ldots n$. Encontre $P(n+1)$.

Mostre que a função $f\left( x\right) =x^{n}$ é contínua em seu domínio.

O domínio da função é $\mathbb{R}$. Logo, para $x \in \mathbb{R}$, temos:

$\lim_\limits{x \to a} x^n = a^n$

e

$f(a) = a^n$.

Isto é, $\lim_\limits{x \to a} f(x) = f(a)$, e portanto a função é contínua.

Sejam  $f$  uma função contínua num intervalo  $I$,  $a$  e  $b$  valores em  $I$. Se $f(a)$ e $f(b)$ são valores com sinais contrários, mostre que a equação $f(x)=0$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $\left[a,b\right]$.

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela curva dada em torno do eixo especificado. Esboce a região e o sólido.
  $y=x^{2}-6x+10,y=-x^{2}+6x-6$, ao redor do eixo $y.$

A naftalina pode ser utilizada como repelente de insetos, embora possa trazer malefícios à saúde. Este composto tem a capacidade de sublimar, isto é: passa do estado sólido diretamente para o gasoso. Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que o seu raio decresce a uma taxa constante.

Encontre as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de $f(x)=\sqrt{\frac{4x^2+1}{x^2-1}}$.

O raio $r$ e a altura $h$ de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume $V$. Num determinado instante, $h=3cm$ e $r=1cm$ e, neste instante, a altura está variando a uma taxa de $0,2cm/s$. A que taxa está variando o volume neste instante?

Dada uma função $f:{\mathbb{R} \to \mathbb{R}}$, defina sua continuidade no ponto $p\in \mathbb{R}.$

Estude a função  $f\left( x\right) =\dfrac{\ln x}{x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Use a desigualdade triangular $\left| a+b\right| \leq \left| a\right|+\left| b\right| $\emph{ }para mostrar que $\left| x-y\right| \geq \left|x\right| -\left| y\right| $ para todo $x,y\in \mathbb{R}$. Em particular, conclua que $\left| x-y^{2}\right| \geq \left| x\right| -y^{2}.$

Se uma função ímpar $f(x)$ possui um valor máximo local em $x=c$, pode-se dizer algo sobre o valor de $f$ quando $x=-c$?

Ela terá um mínimo local em $x=-c$. É uma questão de simetria de seu gráfico em relação à origem.

Avalie a integral $\displaystyle \int_{-1}^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \, dx$ sem fazer nenhuma conta.

Podemos calcular o volume da bacia através da seguinte integral:

$V=\int_{7}^{16}\pi\left(\sqrt{16^2-x^2}\right)^2\,dx=\left.\left[\pi(256x-\frac{x^3}{3})\right]\right\vert_7^{16}=1053\pi$

Lembrando que $1L=1000cm^3$ e supondo $\pi\approx3$, temos $V=3159cm^3$ (O valor real é próximo de $V=3308cm^3$). Como a margem de erro do projetista era de $15\%$, vemos que este acertou em seus cálculos.

Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.

Mostre que a funçao $y(x)$ com $y(0)=0$ que é definida implicitamente pela equaçao $y-x^{2}+y^{3}+xy^{2}+x^{2}y=0$ tem um extremo relativo no ponto $x=0$. Identifique esse extremo.

Calcule a seguinte integral:
   $\int e^{x}\sin xdx.$

$\dfrac{1}{2}e^x(sinx-cosx)+C$

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=2^x-1$ e $y=2^{-x}-1$.

Sejam $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n \geq 2$, funções deriváveis em $p$. Prove, por indução finita, que $f_1+f_2+\ldots+f_n$ é derivável em $p$. 

Veja Guidorizzi, volume $1$, página $158$.

$5e^x+5$

1. Dom$\left(  f\right)  =\mathbb{R}$
2. $f\left(  0\right)  =1$ e $f\left(  x\right)  =0$ se, e somente se, $\cos x=\sin x$ se, e somente se,
     $x=\frac{\pi}{4}+k\pi$ com $k\in\mathbb{Z}$
3. $f$ é periódica, com período $2\pi$
4. A função não possui assíntotas verticais (pois é contínua na reta) e tampouco horizontais (pois é periódica)
5. \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & =-\sin x-\cos x=0\text{ se, e somente se,}\\
     \cos x  & =-\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{3\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
     \mathbb{Z}\text{.}
     \end{align*}
     Considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que
     \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & >0\text{ se }x\in\left(  \frac{3\pi}{4}
     ,\frac{7\pi}{4}\right)  \text{ (intervalo de crescimento)}\\
     f^{\prime}\left(  x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{3\pi}{4}
     )\cup(\frac{7\pi}{4},2\pi]\text{ (intervalo de crescimento)}
     \end{align*}
6. Novamente considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que $\frac{3\pi}{4}$ é ponto de mínimo e $\frac{7\pi}{4}$ é ponto de máximo.
7. \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & =-\cos x+\sin x=0\text{ se, e somente se,}\\
     \cos x  & =\sin x\text{ se, e somente se, }x=\frac{\pi}{4}+k\pi\text{ com }k\in
     \mathbb{Z}\text{.}
     \end{align*}
     Considerando no período $\left[  0,2\pi\right]  $ temos que
     \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & >0\text{ se }x\in\left(  \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}
     {4}\right)  \text{ (concavidade para cima)}\\
     f"\left(  x\right)    & <0\text{ se }x\in\lbrack0,\frac{\pi}{4})\cup
     (\frac{5\pi}{4},2\pi]\text{ (concavidade para baixo)}
     \end{align*}
8. Esboço do Gráfico:
   
   
   
   

Determine todas as funções contínuas $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tais que $f(x+y)=f(x)f(y)$ para quaisquer x, y reais.

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{3x^{2}+4x}{1+x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Suponha que um meteorito pesado está a $s$ quilômetros do centro da Terra, e que sua velocidade de entrada na atmosfera terrestre seja inversamente proporcional a $\sqrt{s}$. Mostre que a aceleração do meteorito é inversamente proporcional a $s^2$ e interprete o resultado.

Mostre que $|x|<x^{2}+1,\forall x\in \mathbb{R}$.

A área de um setor circular com raio $r$ e ângulo central $\theta$ é $A=\frac{1}{2} r^2 \theta$. Demonstre esta fórmula. (Dica: assuma um ângulo $0<\theta<\pi/2$ e considere o círculo centrado na origem, de forma que tenha equação $x^2+y^2=r^2$. Então $A$ é a soma da área de um triângulo e a porção restante do setor cirular. Faça um esboço do gráfico para facilitar.)

O  consumo  de  combustível  de um automóvel  é  função  da  sua velocidade média. Para  certo  automóvel, essa   função é aproximadamente dada por $y = 0,03x^2-2x + 20$, sendo $y$ o consumo de combustível, em mililitros por quilômetros por hora. Nessas condições, para esse automóvel, qual velocidade média corresponde a um consumo de $120 ml/km$?

Esboce juntas as curvas dadas no plano cartesiano e identifique cada uma com sua equação:
$y=3^x$, $y=8^x$,$y=2^{-x}$, e $y=\left( 1/4 \right)^{x}$.

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\tan\left(  x\right)  \cos^{2}\left(  x\right)  .$

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \sin x-\cos x+x^{5},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}

Calcule, pela definição, o limite $ \lim_{x\to 4} x^2+x-5 = 15$

Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-4|<\delta$, $|f(x)-15|<\epsilon$.
Considere $|f(x)-15|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-4|$:
\begin{gather*}
|f(x) -15 | < \epsilon \\
|x^2+x-5 -15 |<\epsilon \\
| x^2+x-20 | < \epsilon \\
| x-4 |\cdot|x+5| < \epsilon \\
| x-4 | < \epsilon/|x+5| \\
\end{gather*}
Assumindo $x$ próximo de $4$, podemos assumir, por exemplo, que, $3<x<5$. Portanto
\begin{gather*}
3+5<x+5<5+5 \\
8 < x+5 < 10 \\
\frac{1}{10} < \frac{1}{x+5} < \frac{1}{8} \\
\frac{\epsilon}{10} < \frac{\epsilon}{x+5} < \frac{\epsilon}{8} \\
\end{gather*}
Seja $\delta =\frac{\epsilon}{10}$. Então:
\begin{gather*}
|x-4|<\delta \\
|x-4| < \frac{\epsilon}{10}\\
|x-4| < \frac{\epsilon}{x+5}\\
|x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot|x+5|\\
\end{gather*}
Assumindo $x$ próximo de 4, $x+5$ é positivo e podemos eliminar o módulo do lado direito da equação.
\begin{gather*}
|x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot(x+5)\\
|x^2+x-20| < \epsilon\\
|(x^2+x-5) -15| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que desejávamos provar.

$f'(x) = -\dfrac{2}{x^3}$.

Determine a linearização de $f(x) = \sqrt{x+1} + \sin x$ em $x=0$. Como ela se relaciona com as linearizações individuais de $\sqrt{x+1}$ e $\sin x$ em $x=0$?

Encontre a área limitada pela elipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\text{.}$

Mostre que toda equação polinomial de grau ímpar, tem pelo menos uma raiz real.

$f'(x)=2x + 1$.

1. $\pi$
   
2. $\pi$
   
3. $2\pi$
   
4. $10\pi$
   

  $t+C$

$f'(x) = 6 e^{2 x^3} x^2 - 3 \sin(\sin(3 x)) \cos(3 x)$.

$f'(0) = 0$.

 Sendo $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x^2-x+1 & x\leq 3 \\ 2x+1 & x>3 \end{array}\right.$, calcule $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$.

7

Seja  $\ell$ a reta que passa pela origem do plano cartesiano e tangencia a curva $y = x^3 + x + 16$. Qual a inclinação de $\ell$?

Dado que $\ell$ é uma reta que passa pela origem, sabemos que sua equação é do tipo $\ell(x)=ax$. Como ela tangencia a curva $y(x)$, sabemos que há um ponto $x^*$ tal que $\ell(x^*)=y(x^*)$.

Além disso, sabemos que em $x^*$ a inclinação de $\ell$ é a mesma inclinação de $y$ (por quê?), o que é equivalente a $\ell'(x^*)=y'(x^*)$.

Assim, temos:

\begin{cases}
    \left.x^*\right.^3+x^*+16 = ax^* \\
    3\left.x^*\right.^2+1=a
    \end{cases}

Resolvendo o sistema de equações obtemos:

\begin{align*}
x^* = 2\\
a = 13
\end{align*}

Sendo, portanto, $a=13$ a resposta desejada.

Para calcular as coordenadas espaciais de um planeta, temos de resolver equações do tipo $x=1+0,5\sin(x)$. O traçado da função $f(x)=x-1-0,5\sin(x)$ sugere que a função possui uma raiz próxima de $x=1,5$. Utilize uma iteração do Método de Newton para melhorar essa estimativa, com $x_0=1,5$.

Temos dois casos: $2x+1=3$ ou $2x+1=-3$. Resolvendo cada uma dessas equações de primeiro grau obtemos $x=1$ e $x=-2$.

1. $4/\pi$
   
2. $-4/\pi$
   
3. $0$
   
4. $2/\pi$
   

Na fabricação de um lote de peças de certo produto, o custo total é igual à soma de um valor fixo de $R\$ 400,00$ com o custo de produção unitário de $R\$ 0,50$. Se o preço unitário de venda dessas peças for de $R\$ 0,85$, qual o número mínimo de peças que devem ser fabricadas e vendidas para que se comece a ter lucro?

A soma dos perímetros de um triângulo equilátero e de um quadrado é $10$. Ache as dimensões do triângulo e do quadrado que produzem a área total mínima.

As funções $x^{2}+1$ e $\cos x$ são ambas contínuas e por isto $f\left(  x\right)  $ é contínua para todo $x\neq0,1$. É necessário verificar a continuidade nos pontos $x=0$ e $x=1$.

Para $x=0$ temos que $\lim_{x\rightarrow0^{-}}f\left(x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\left(  x^{2}+1\right)  =1$ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\cos x=1$, logo $f\left(  x\right)  $ é contínua em $x=0$, pois ambos oslimites laterais existem, são iguais e coincidem com o valor da função no ponto.

Para $x=1$ temos que $\lim_{x\rightarrow1^{-}}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow0^{-}}\cos x=\cos\left(  1\right)  $ e $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left(  x\right)  =\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left(x^{2}+1\right)  =2$, e como $\cos\left(  1\right)  \neq2$ temos que $f\left(x\right)  $ não é contínua em $x=1$, pois apesar dos limites laterais existirem estes são distintos.

Escreva o número $\sin 1/2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-20}$.

$f'(x)=\dfrac{1}{xln(a)}

Encontre as equações das retas que passam pelo ponto $(-1,1)$ e são tangentes à curva $x^2+4y^2-4x-8y+3=0.$

A região no plano $xy$ limitada pela curva $y=x^2+1$ e pela reta $y=-x+3$ gira em torno do eixo $x$ gerando um sólido $S.$ Calcule o volume de $S.$

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 5$ e $f'(0)= 7$, $f(0) = 3$

  $5/2x^2+7x+3$

Dica: Suponha que exista um número inteiro $n$ tal que $0<n<1$. Então...

O que significa dizer, em termos de limites, que uma função é "bem comportada"?

Uma página impressa deve ter $24cm^2$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1cm$ nos lados. Quais as dimensões da página de menor área que preenche essas condições?

Calcule a seguinte integral:
   $ \int_{-\infty}^{e^4}\frac{\ln (x)}{x}dx$.

Se $ax-b\geq0$: $|ax-b| = ax-b$, logo $ax-b=r \Rightarrow x = \dfrac{b+r}{a}$.
Se $ax-b<0$: $|ax-b| = -(ax-b)$, logo $-ax+b=r \Rightarrow x = \dfrac{b-r}{a}$.
Portanto $x=\dfrac{b+r}{a}$ ou $x=\dfrac{b-r}{a}$.

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

Não converge.

Calcule a integral imprópria $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx.$

$\pi/2$.

Prove que $\displaystyle\int (sec(x))^m dx=x \dfrac{(sec(x))^{m-2}tg(x)}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}\displaystyle\int (sec(x))^{m-2} dx$, para $m$ inteiro positivo.

Utilizando a aproximação $ln\ 2 \approx 0,7$, pode-se derivar uma regra popular, conhecida como regra dos 70, que diz: "Para estimar quantos anos uma determinada quantia em dinheiro dobre ao ser investida a uma porcentagem $r$ composta continuamente, divida $r$ por $70$". Por exemplo, uma quantia em dinheiro investida a $7\%$ dobrará em cerca de $70/7=10$ anos. Se, em vez disso, você quiser que ela dobre em $5$ anos, deve investí-la a $70/5=14\%$. Mostre a dedução da regra dos 70.

A raiz aproximada é $x=0.69$.

  Os intervalos utilizados são:

  $[0.65,0.7] \quad [0.675,0.7] \quad [0.6875,0.7]$

  $[0.6875,0.69375]\quad [0.690625,0.69375]$

Uma das raízes da equação $x^2+mx+m^2-m-12=0$ é nula, e a outra é positiva. Qual o valor do parâmetro $m$?

1. $0$
2. $-\infty$
3. $0$
   

Sejam $f$ e $g$ funções contínuas. Demonstre que $h(x)=\max(f(x),g(x))$ é contínua.

1. Sim.
   
2. Sim.
   

Calcule a integral $\int{\frac{\sin 10x}{4+\cos 10x}dx}.$

$\dfrac{1}{10}ln(cos(10x)+4)+C$

Dados $f(x) = 2x^2+4x-3$ e $x_0 = -0,9$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to 0^+}\dfrac{\ln(tg{x}+\cos{x})}{\sqrt{\ln(x^2+1)}}$.

$1$.

Uma empresa de motores solicitou a fabricação de cilindros com área de seção transversal $A=9cm^2$ (Ou seja, com diâmetro $D=3,385cm^2$). Entretanto, o funcionário que respondeu à solicitação perguntou qual era a margem de erro permitida no diâmetro do cilindro.
Dado que para o correto funcionamento dos motores o cilindro deve ter uma área $A$ tal que $|A-9|<0,01 cm^2$, e que a área da seção transversal do cilindro é dada por $A=\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2$, em qual intervalo deve estar o valor do diâmetro do cilindro para atender tal especificação?

$0$.

1. $64ft/s$
   
2. $64ft$
   
3. $t=2$
   
4. $t=2+\sqrt{7}\approx 4.65s$.
   

1. Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen(45^0)+cos(45^0)$ é $1$.
2. Este item se resolve por substituição direta: $cos(30^0)=sen(60^0)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $tg(45^0)=1$:$\dfrac {cos(30^0)sen(60^0)} {tg(45^0)}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \times 1=\dfrac{3}{4}$.
3. Usando o teorema fundamental da trigonometria sabemos que o valor da expressão $sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)$ é $1$. Além disso, temos que $cotg(45^0)=\dfrac{1}{tg(45^0)}=\dfrac{1}{1}=1$. Então:\\ $[sen^2(71,2^0)+cos^2(71,2^0)] \times cotg(45^0)=1 \times 1=1$.

Prove que se $f$ e $g$ são ambas funções contínuas, então $f+g$ é contínua.

Calcule a seguinte integral:
   $ \int_0^{2\sqrt{3}}\frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}dx$.

$e$.

Mostre que a função $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x}$ é contínua em seu domínio.

1. Sim.
2. Sim.

$f'(x) = 4 \sec x \tan x - \csc^2 x$.

Como a derivada da soma de funções é a soma de suas derivadas, temos inicialmente que

\[ (4\sec x+\cot x)^\prime = (4\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime = 4 (\sec x)^\prime + (\cot x)^\prime .\]

Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada:

\[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\]

De forma análoga, usaremos a regra do quociente para calcular a derivada da função $\cot x$, que é igual a $\frac{\cos x}{\sin x}$:

\[(\cot x)^\prime = \left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^\prime = \dfrac{(\cos x)^\prime\cdot \sin(x) - \cos(x)\cdot (\sin x)^\prime}{(\sin x)^2} =\dfrac{(-\sin x) \sin x - \cos(x)(\cos x)}{(\sin x)^2} = -(\csc x)^2,\]

em que usamos a identidade trigonométrica fundamental

\[(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1\]

e a identidade $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ para obter a cossecante.

Substituindo as expressões encontradas para as derivadas de $\sec x$ e de $\cot x$ na primeira igualdade, concluímos que

$f'(x) = 4 \tan(x)\sec(x) - (\csc x)^2$.

1. $f'(x)=a$.

2.$f'(x)=2ax+b$.

Se $0<x<y$ prove que $\sqrt[3]{y-x}>\sqrt[3]{y}-\sqrt[3]{x}$.

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \sec^2\theta\  d\theta$

 $\tan \theta+C$

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt[4]{{\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-4x-3}}}$ é real.

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x\rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $\lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.

Encontre todas as funções polinomiais $f$ com coeficientes reais tais que $(x-27)f(3x)=27(x-1)f(x)$ para todo número real $x$.

Reescreva a função $f(x)=|x-1|+|x+2|$ usando desigualdades e representação por partes. Esboce o gráfico de $f$

1. $-1$
   
2. 0
   
3. Não existe.
   
4. 0
   

1. 2

2. $-4$

3. Não existe.

4. 2

$-2$.

$a=0$ e $b=1$.

$f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}$.

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=x|x|$.

1. \begin{tabular}{cc}

   $x$ & $f(x)$ \\ \hline

   $2.9$ & $-0.632$ \\

   $2.99$ & $-0.6032$ \\

   $2.999$ & $-0.60032$ \\

   \end{tabular}

   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.

2. \begin{tabular}{cc}

   $x$ & $f(x)$ \\ \hline

   $ 3.1$ & $-0.5686$ \\

   $3.01$ & $-0.5968$ \\

   $3.001$ & $-0.59968$ \\

   \end{tabular}

   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.

3. Ao analisar as duas tabelas, parece que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.

$1/2$.

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\log_{2}\left(  \cos^{3}\left(  x\right)  \right).$

$f'(x) = -\dfrac{3 \tan x}{\log 2}$.

1. $[-5,\infty[$
2. $]-\infty,\frac{3}{2}]$

Mostre que a equação $x^2=x$ tem exatamente duas raízes reais.

A equação pode ser escrita na forma $x^2-x=0$, i.e, $x(x-1)=0$. As suas únicas raízes reais são $x=0$ e $x=1$. Uma outra forma de atacar este problema é perceber que os gráficos de $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ se intersectam exatamente duas vezes!

Os gráficos das equações $y=e^x$, $y=0$, $x=0$ e $x=\ln 3$ formam uma região delimitada no plano. Calcule o centroide dessa região.

Mostre que $\pi^e < e^\pi$. Sugestão: Analise a função $ln(x)/x$.

Pelas propriedades do logaritmo, podemos escrever:

$
ln(e^\pi)=\pi
$

e

$
ln(\pi^e) = e\ ln(\pi)
$

Como $\pi > e$, pode-se escrever $\pi = ae,\ a > 1$. Assim, a primeira equação pode ser escrita como:

$
ln(e^\pi)=ae
$

E a segunda equação como:

$
ln(\pi^e) = e\ ln(a\ e) = e\ ln(a)ln(e)=e\ ln(a)
$

Assim, podemos escrever a razão entre as equações como:

$
\frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a}
$

Analisando a equação $ln(x)/x$, vemos que para $x>1$ ela é estritamente decrescente, dado que em $x=1$ o denominador é igual a um e o numerador igual a zero e como $\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}$ e $\frac{d(x)}{dx}=1$, o denominador cresce mais rapidamente para $x>1$. Assim, como $a>1$, sabemos que:

$
\frac{ln(\pi^e)}{ln(e^\pi)} = \frac{ln(a)}{a} < 1
$

Portanto:

$
ln(\pi^e) < ln(e^\pi)
$

Como $\frac{d(ln(x))}{dx}=\frac{1}{x}>0$ para $x>0$, a função logaritmo é monotônica no intervalo desejado, e portanto podemos concluir que:

$\pi^e < e^\pi$

Calcule a integral $\int x^{2}e^{x^{3}}dx$.

$\dfrac{e^{x^3}}{3}+C$.

$sinh^{-1}(x/3)+C$.

$x=0$.

Observe que $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ e, portanto, como $e^x \geq 0$, $-e^x \leq e^x \sin(x) \leq e^x$.

  Como $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0$ e $\lim\limits_{x \to -\infty} -e^x = 0$, então, pelo Teorema do Confronto temos $\lim\limits_{x \to -\infty} e^x \sin(x) = 0$

A atmosfera da Terra absorve aproximadamente $32\%$ da radiação proveniente do Sol. A Terra também emite radiação (a maior parte em forma de calor) e a atmosfera absorve aproximadamente $93\%$ dessa radiação. A diferença entre a radiação que entra na Terra e a que sai é chamada efeito-estufa. Modoficações nesse equilíbrio podem afetar o clima da Terra. Seja $I_0$ a intensidade da radiação do Sol e $I$ a intensidade depois de percorrer uma distância $x$ na atmosfera. Se $p(h)$ é a densidade da atmosfera na altitude $h$, então a espessura ótica é $f(x)=k \displaystyle\int_0^x p(h) dh$, onde $k$ é uma constante de absorção e $I$ é dada por $I=I_0e^{-f(x)}$. Mostre que $dI/dx=-kp(x)I$. 

Seja $f$ uma função contínua em $[1,5]$, sendo que $f(1) = -2$ e $f(5) = -10$. Existe um valor $1<c<5$ tal que $f(c) = -9$? Por quê?

 Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário.

 Determine um intervalo de comprimento $\pi/2$ cuja equação $$2x^3+3x^2-\sqrt{|\cos(x)|}=0$$ admita uma solução real.

1. $20$.

2. $25$.

3. Não existe.

4. $25$

5. Não.

Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido está sendo esvaziado à razão de $6\,cm^3/min$. A altura do cone é $24cm$ e o raio da base é $12cm$. Encontre a velocidade com que baixa o nível da água quando está a $10cm$ do fundo.

$\dfrac{dr}{dt}=-\dfrac{1}{25 \pi}$ cm/min

1. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
   $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^2-3x+7 = 3^2 - 3.3 + 7 = 7$.
2. Como a função está definida em $x=3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
   $\lim\limits_{x\rightarrow 3} x^3-3x+7 = 3^3 - 3.3 - 7 = 11$.

Seja $\mathcal{A}$ o subconjunto do plano limitado pelas retas $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ e pelos gráficos de $y=\sin x$ e $y=\cos x$. Faça um esboço do conjunto $\mathcal{A}$ e calcule sua área. 

Determine qual o último número $N$, escrito na sucessão dos números naturais $12345678910111213...N$, sabendo que foram escritos $3849$ algarismos.

Calcule o limite $\lim\limits_{x\to p}\frac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$

$\begin{array}{rcl} \lim\limits_{x\to p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p} &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x^2-p^2)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} \dfrac{(x^2+p^2)(x+p)(x-p)}{x-p} \\ &=& \lim\limits_{x\to p} (x^2+p^2)(x+p) \\ &=& (p^2 + p^2)(p+p) \\ &=& 4p^3. \end{array}$

1. $2$
   
2. $2$
   
3. $2$
   
4. $0$
   
5. $2$
   
6. $2$
   
7. $2$
   
8. Indefinido
   

Estime $\pi$ através da aplicação do Método de Newton na equação $tg(x)=0$. Qual cuidado deve ser tomado, neste caso, em relação à escolha do valor inicial?

1. $-\infty$
2. $5/6$
   

Esboce as curvas exponenciais transladadas:
$y=3^x+2$ e $y=3^{-x}+2$.

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}$.

$2$.

Considere o número inteiro $P = 100 \cdot 101 \cdot 102 \cdot \ldots \cdot 200$, produto de $101$ números inteiros sucessivos. Ao escrever-se $P$ como um produto de fatores primos, qual o número de vezes que o fator $7$ aparece?

Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior. Dentre esses números, qual o maior?

Note que todo múltiplo de $5$ pode ser escrito na forma $5n$, onde $n$ é algum número natural. Com essa ideia, podemos representar três múltiplos consecutivos de $5$ por: $5(n-1)$, $5n$ e $5(n+1)$. Como o triplo do menor é igual ao dobro do maior obtemos a equação $15(n-1)=10(n+1)$. Resolvendo essa equação encontramos $n=5$ e o maior número dentre os três é $5 \cdot 6=30$.

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x}{1+\tan x},x\in \lbrack 0,\dfrac{\pi }{2})$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{n}-p^{n}}{x-p}$, onde $n$ é qualquer número natural.

Pela Lei de Ohm, conseguimos escrever que $I=\frac{V}{R}$. Para $V=120V$ fixo, a corrente depende portanto apenas do valor da resistência, sendo inversamente proporcional a esta. 

A corrente deve estar no intervalo $4,9 \leq I \ leq 5,1$. Temos que $R_{max}=\frac{120}{I_{min}}\approx 24,49$ e $R_{min}=\frac{120}{I_{max}}\approx 23,53 \Omega$.

Portanto, $23,53 \leq R \leq 24,49$.

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin \left(7x\right) }{\sin \left( 23x\right) }$.

$7/23$.

Demonstre que a derivada da função tangente é igual ao quadrado da função secante.

O número relativo de moléculas de gás em um recipiente que se movem a uma velocidade de $v$ $cm/s$ pode ser calculado por meio da distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann, $F(v)=cv^2e^{-mv^2/(2kT)}$, sendo que $T$ é a temperatura em Kelvins, $m$ é a molécula e  e $c$ e $k$ são constantes positivas. Mostre que o valor máximo de $F$ ocorre quando $v=\sqrt{2kT/m}$.

Calcule o valor de $\frac{2}{0,666 \ldots}$.

$$\begin{array}{rcl} \dfrac{2}{0.666 \ldots} &=& \dfrac{2}{\dfrac{6}{9}} \\ &=& 2 \dfrac{9}{6} \\ &=& \dfrac{9}{3} \\ &=& 3. \end{array}$$

Esboce o gráfico da funçao $f\left( x\right) =\frac{x^{2}}{x-1}$, indicando domínio, limites laterais e no infinito, assíntotas verticais e inclinadas, intervalos de crescimento e decrescimento e estudo da concavidade.

Prove que a equação $x^{3}-3x^{2}+6=0$ admite uma única raiz real, enquanto $x^{3}+x^{2}-5x+1=0$ admite $3$ raízes.

Para $f(x)=x^{3}-3x^{2}+6$ e $g(x)=x^{3}+x^{2}-5x+1$, queremos mostrar que $f(x)=0$ admite uma única raiz real enquanto $g(x)=0$ admite $3$ raízes.  Primeiramente, analisemos as raízes de $f(x)=0$. Temos:

$f'(x)= 3x^2-6x=x(x-2)$

$f''(x)=6(x-1)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<1$ e uma concavidade para cima para $x>1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $f(x)$  apresenta um máximo local em $x=0$ e um mínimo local em $x=2$. Como $f(2)=2$, temos que não há raiz alguma para $x>1$, dado que a função é uma concavidade para baixo neste intervalo. A única raiz real, portanto, é algum valor $x<1$. O conhecimento do máximo local em $x=0$ nos permite inclusive dizer que é algum valor $x<0$.

Repetiremos a análise para $g(x). Temos, portanto:

$g'(x)= 2x^2+2x-5=2(x+5/3)(x-1)$

$g''(x)=6(x+1/3)$

Portanto, a segunda derivada nos diz que $g(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1/3$ e uma concavidade para cima para $x>-1/3$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que $g(x)$ apresenta um máximo local em $x=-5/3$ e um mínimo local em $x=1$. Como $g(0)=1$ e $g(1)=-2$, sabemos que há duas raízes reais  de $g(x)$ no intervalo aberto $x>0$. Como $g(x)$ claramente tende para $-\infty$ para $x\rightarrow \infty$, o valor de $g(0)$ nos diz que a terceira raiz real está localizada no intervalo $x<0$. O conhecimento do máximo local em $x=-5/3$ nos permite inclusive dizer que é algum valor no intervalo aberto $x<-5/3$

$-\infty$.

Podemos escrever:

$\frac{1}{1-x^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}=\frac{A+Ax+B-Bx}{1-x^2}=\frac{(A+B)+(A-B)x}{2-x^2}$

Portanto, sabemos que $A+B=1$ e $A-B=0$. Temos, portanto, $A=B=\frac{1}{2}$.

Assim, reescrevemos a integral como

$\int\left(\frac{1/2}{1-x}+\frac{1/2}{1+x}\right)\,dx=\frac{1}{2}ln(1+x)+\frac{1}{2}ln(1-x)$

Uma substância radioativa decai de acordo com a fórmula $q(t)=q_0e^{-ct}$, onde $q_0$ é a quantidade inicial da substância, $c$ é uma constante positiva, e $q(t)$ é a quantidade remanescente após o tempo $t$. Mostre que a taxa na qual a substância decai é proporcional a $q(t)$.

Um termômetro de mercúrio demorou $14s$ para subir de $-19° C$ para $100° C$ após ser retirado de um congelador e colocado em água fervendo. Considerando que, no termômetro em questão, a distância entre dois graus subsequentes é de $1mm$, demonstre que em algum instante a coluna de mercúrio subia a $8,5mm/s$.

$f$ é contínua em $x=0$.

Encontre $f(\theta)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(\theta) = \sin \theta$ e $f'(\pi)= 2$, $f(\pi) = 4$

  $\theta-\sin (\theta)-\pi +4$

Uma das raízes da equação $x^2-x-a = 0$ é também raiz da equação $x^2+x-(a + 20)=0$. Qual é o valor de $a$?

$(-\infty,0]$

Demonstre que a derivada da função seno é a função cosseno.

Mostre que qualquer reta tangente ao gráfico da hipérbole $xy=a^2$ determina com as assíntotas um triângulo de área igual a $2a^2$.

Usando a fórmula do volume de uma calota esférica, encontre o volume do sólido que sobra quando um buraco de raio $\dfrac{r}{2}$ é feito através do centro de uma esfera de raio $r$ e verifique a sua resposta por integração. 

A ciclóide é um caminho traçado por um ponto na borda de uma roda que gira ao longo de uma reta. Use as equações paramétricas de uma ciclóide para mostrar que o comprimento $L$ de um arco de uma ciclóide é dado pela integral $L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos\theta)}d \theta$

  $(-\infty,\infty)$

Um fabricante de refrigerante quer produzir latas cilíndricas para seu produto. A lata dever ter um volume de $360 ml$. Expresse a área superficial total da lata em função do seu raio e dê o domínio da função.

Sejam $r$ o raio da base do cilindro e $h$ a sua altura. O volume $V$ do cilindro é dado por $V=\pi r^2 h$. Como $V=360$, obtemos $\pi r^2 h=360$, isto é, $h=\dfrac{360}{\pi r^2}$. A área superficial $A$ do cilindro é $A=2 \pi r^2+2 \pi r h$. Substituindo $h$ por $\dfrac{360}{\pi r^2}$ chegamos a $A=2 \pi r^2+2 \pi r \dfrac{360}{\pi r^2}$, ou seja, $A=2 \pi r^2+ \dfrac{360}{r}$. O domínio da função $A(r)$ é $\mathbb{R}^+$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x+\cosh(x)}{x^2+1}$.

$\infty$.

Ache os pontos de máximo e de mínimo absolutos da função $f(x)=x+3x^{2/3}$.

Dados $f(x) = e^{-x}$ e $x_0 = -0,1$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int x^8\ dx$

$1/9x^9+C$

Encontre as raízes do polinômio $x^4-6x^3+13x^2-12x+4.$
Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 9e^{3x}+\cos x+x^{6},\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =2\text{ .} \end{equation*}

$y'=\cot(x) - 5 \cot(5 x) \csc^2(5 x)$.

Calcule o seguinte limite:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x}$.

$0$.

Dentre todos os retângulos inscritos numa circunferência de raio $R$, quais as dimensões daquele que tem a maior área?

Calcule a integral $\int \dfrac{x^{3}+x}{x-1}dx$.

Obtenha a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer no plano cartesiano. Use o teorema de Pitágoras. Veja o livro: Simmons, página $11$.

Dê exemplo de duas funções, $f$ e $g$, para ilustrar que se $g(x)\le f(x)$ para todo $x$ suficientemente próximo de $a$, então $\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\le\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x)$.

Seja $f$ uma função contínua em $[-1,1]$ sendo que $f(-1) = -10$ e $f(1) = 10$. Existe um valor $-1<c<1$ tal que $f(c) = 11$? Por quê?

Não se pode dizer. O Teorema do Valor Intermediário apenas se aplica, neste caso, para valores entre $-10$ e $10$; como $11$ não pertence a este intervalo, o teorema não nos permite afirmar nada sobre a possibilidade da existência de $c$.

Seja o número inteiro $AB$, no qual $A$ e $B$ são os algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos $A$ e $B$, obtém-se um número que excede $AB$ em $27$ unidades. Se $A+B$ é um quadrado perfeito, qual o valor de $B$?

Temos que "$BA-AB$"$=10B+A-10A-B=9B-9A$. De acordo com o enunciado essa diferença é igual a $27$. Logo, $B-A=3$. Temos, portanto,  $7$ possibilidades: "$BA$"$=30, 41, 52, 63, 74, 85$ ou $96$. Dentre essas possibilidades, a única em que $A+B$ é um quadrado perfeito é o caso $B=6$, $A=3$.

Dados $f(x) = \sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}3]{x}$ e $x_0 = 8,5$, escolha um valor inteiro próximo a $x_0$ tal que $f(x_0)$ e $f'(x_0)$ sejam fáceis de calcular, e calcule uma linearização da função neste ponto.

$1$.

Encontre os valores de $x$ para os quais cada o número $\sqrt{7x+9}$ é real.

Este número será real se o valor dentro da raiz for maior ou igual a zero.
$\begin{array}{rcl} 7x+9 &\geq& 0 \\ 7x &\geq& -9 \\ x &\geq& -\dfrac{9}{7}. \end{array}$
Portanto o conjunto dos valores de $x$ tais que $\sqrt{7x+9}$ é real é $\{x \in \mathbb{R} ; x \geq -9/7\}$.

De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto parece, a um observador, depender da velocidade relativa entre este e o objeto. Se o observador estabelecer o comprimento do objeto, em repouso, como $L_0$, então o comprimento, a uma velocidade $v$, parecerá:
$L=L_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$.
Esta equação é chamada Fórmula de Contração de Lorentz, sendo que $c$ é a velocidade da luz no vácuo, em torno de $3\times10^8m/s$. Qual o comportamento de $L$ conforme $v$ aumenta?
Determine $\lim\limits_{v\rightarrow c^- }L$. Por que o limite lateral à esquerda foi necessário, e como esta necessidade se relaciona com as Leis da Física?

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que:
\begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = \cos 2x+6x+4,\;f\,^{\prime }\left(0\right) =2\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .}\end{equation*}

Primeiramente, calcula-se a integral indefinida

$f\,^\prime(x)=\int  \left(\cos 2x+6x+4\right)\,dx = 3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+C_1$

Pelo dado do enunciado $f\, ^\prime(0)=2$.  Avaliando a expressão acima para $x=0$, vê-se que $C_1=2$. Para obter $f(x)$, calcula-se novamente a integral indefinida:

$f(x)=\int \left(3 x^2+4 x+\frac{1}{2} \sin (2 x)+2\right)\,dx =x^3+2 x^2+2 x-\frac{\cos ^2(x)}{2}+C_2 $

De acordo com o enunciado, $f(0)=0$. Assim, obtém-se $C_2=\frac{1}{2}$.

Determine $f'$, $f''$ e $f'''$ sendo $f(x)=4x^4+2x$.

$f'(x)=16x^3+2$, $f''(x)=48x^2$ e $f'''(x)=96x$.

Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=\sin{kx}, k \in R$.

$f^{1000}(x)=k^{1000}\sin{kx}$

 Algumas curvas são tão planas que, na prática, o Método de Newton não consegue se aproximar da raiz suficientemente para fornecer uma aproximação útil. Tente utilizar o Método de Newton em $f(x)=\left(x-1\right)^{40}$ com a estimativa inicial $x_0=2$ para observar a qualidade das aproximações. Utilizando recursos computacionais, observe o gráfico da função.

1. $4$
   
2. $-4$
   
3. Não existe.
   
4. $0$
   

Suponha que para todo $x$, $\left| f\left( x\right) \right| \leq x^{4}$. Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x\right) }{x}.$

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow -3}\frac{1-x}{\sqrt{x^2+2}}$.

Como a função está definida em $x=-3$, o limite pode ser calculado diretamente por substituição:
$\lim\limits_{x\rightarrow -3}\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{1-(-3)}{\sqrt{(-3)^2+2}} = \dfrac{4}{\sqrt{11}}$.

Dica: Note que $\log2+\log3=\log6$. Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log6=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.

Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra de l'Hospital para calcular o limite abaixo, justificando claramente sua resolução.
  \begin{equation*}
  \lim\limits_{x\rightarrow 0}\left( \dfrac{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt}{x}\right)
  \end{equation*}

Dê um exemplo de uma função tal que $\lim\limits_{x \rightarrow p}\left| f\left( x\right) \right| $ exista mas $ \lim\limits_{x\rightarrow p}f\left( x\right) $ não exista.

1. Não existe.
   
2. Não existe.
   
3. Não existe.
   
4. Indefinido.
   
5. $0$
   
6. $0$
   

1. $c$
   
2. $c$
   
3. $c$
   
4. $c$
   

O que é um problema de valor inicial?

Seja $f\left( x\right) =\left| x\right| -x$. Mostre que $f\left( x\right) =0$ para $x\geq 0$ e $f\left( x\right) =-2x$ para $x<0$. Faça o gráfico dessa função.

O gráfico da função $f(x)=\frac{x^3+2x^2+1}{5-x^2}$ possui alguma assíntota horizontal?

Não possui.

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1,5$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível?

Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x-\sqrt{x^{2}+4x}\right)$.

$-2$

Calcule a seguinte integral:
    $\int{\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}dx}.$

0

Para todo $x\neq 0$ temos que
\begin{equation*}
\dfrac{1-\cos x}{x}=\dfrac{1-\cos x}{x}\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}=\dfrac{
1-\cos ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}\text{.}
\end{equation*}
Como $1-\cos ^{2}x=\sin ^{2}x$ obtemos
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1-\cos x}{x} &=&\dfrac{\sin ^{2}x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x} \\
&=&\sin x\dfrac{\sin x}{x}\dfrac{1}{1+\cos x}.
\end{eqnarray*}
Mas
\begin{eqnarray*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\sin x &=&0\;\text{(pois }\sin x\text{ é contínua)} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} &=&1\;\text{(limite trigonométrico fundamental)} \\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x} &=&\dfrac{1}{2}\;\text{(}
\cos x\text{ cont\'{i}nua e }1+\cos \left( 0\right) \neq 0\text{).}
\end{eqnarray*}
Logo,
\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow
0}\sin x\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\lim\limits_{x
\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+\cos x}=0.
\end{equation*}

1. $a-1$
   
2. $a$
   
3. Não existe.
   
4. $a$
   

A corrente $I(t)$ em um circuito elétrico composto de um resistor e um indutor, no instante $t$, é dada por $I(t)=I_0e^{-Rt/L}$, onde $R$ é a resistência, $L$ a indutância e $I_0$ é a corrente no instante $t=0$. Mostre que a taxa de variação da corrente no instante $t$ é proporcional a $I(t)$.

$\frac{\pi  k^4}{48}$

1. $22$
   
2. $-7$
   
3. $0$
   
4. $b=-\frac{11}{18}a,\quad a\in\mathbb{R}$
   

1.  \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
     2.9 & -335.64 \\
      2.99 & -30350.6 \\
       \end{array}
      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-\infty$.  
2.   \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
      3.1 & -265.61 \\
      3.01 & -29650.6 \\
       \end{array}
       A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-\infty$.
3. As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-\infty$.

$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.

1. $-1$
   
2. 0
   
3. Não existe.
   
4. 0
   

A única maneira de escrevermos $4$ como produto de inteiros positivos, a menos de ordem dos fatores,  é $4=1 \cdot 1\cdot 2 \cdot 2$. Assim, uma possibilidade é $m=n=6, p=q=5$. Há várias outras possibilidades, mas que não alterarão a soma $m+n+p+q=22$. De fato, se mudássemos os valores de $m,n,p$ e $q$, eles continuaríam sendo $1,1,2$ e $2$ em alguma ordem e a soma não mudaria, já que a adição é comutativa e associativa.

Determine o conjunto solução da equação $|x|^2+|x|-6=0$.

Considere a função $f(x) = \left\{\begin{array}{cl} x+2 & x\leq 2 \\ 3x-5 & x>2 \end{array}\right.$. Mostre que $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$ não existe.

Resolva a equação $e^{ax}=Ce^{bx}$, onde $a\neq b$.

Usando as propriedades básicas da função exponencial temos que:
  \begin{align*}
  e^{ax}  & =Ce^{bx}\\
  & \Leftrightarrow e^{-ax}e^{ax}=e^{-ax}Ce^{bx}\\
  & \Leftrightarrow1=Ce^{(b-a)x}\\
  & \Leftrightarrow\frac{1}{C}=e^{(b-a)x}\\
  & \Leftrightarrow\ln\left(  \frac{1}{C}\right)  =\ln\left(  e^{(b-a)x}\right)
  =\left(  b-a\right)  x\\
  & \Leftrightarrow\frac{-\ln C}{b-a}=\frac{\ln C}{a-b}=x
  \end{align*}

Estude a função $f\left( x\right) =e^{x}-e^{3x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Seja $g$ uma função contínua em $[-3,7]$, sendo que $g(0) = 0$ e $g(2) = 25$. Existe um valor $-3<c<7$ tal que $g(c) = 15$? Por quê?

 Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário. Na realidade, é possível ser ainda mais preciso e afirmar não só que um valor $c$ existe em $(3,7)$, mas ainda que existe um valor $x$ contido em $(0,2)$.

Calcule a derivada de ordem $n$ da função $f(x)=\sin{x}+\cos{x}$.

Calcule a derivada da seguinte função:
     $f\left(  x\right)  =\arcsin\left(  \cos\left(  x\right)  \right)  .$

-\frac{\sin (x)}{\sqrt{1-\cos ^2(x)}}

Calcule a derivada da seguinte função:
   $f\left(  x\right)  =\tan\left(  x\right)  \arcsin\left(  x^{2}\right).$

$\left\{ 1\leq x\leq 3\right\} $.

Dê exemplo de uma função $f$ que seja descontínua, mas tal que $|f|$ seja contínua.

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.$

 $f'\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

1. $1-\cos^2 a = \sin^2 a$
   
2. $\sin^2 a$
   
3. $\sin^2 a$
   
4. $\sin ^2 a$
   

Seja $f(x)=cossec{x}$. Calcule $f'(x)$ e $f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Inicialmente, determinamos a primeira derivada da função $f$:

$f'(x)=-cossec(x)cotg(x)$.
Agora, substituímos $x$ por $\dfrac{\pi}{4}$ e obtemos

$f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$=-cossec\(\dfrac{\pi}{4}\)cotg\(\dfrac{\pi}{4}\)=-\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot 1 = \dfrac{2}{\sqrt{2}}$.

Calcule a integral $\int{ \frac {1}{x^2+3x-10} dx}.$

Discuta as hipóteses necessárias para que se possa aplicar a Regra de L'Hospital.

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \frac{5^t}{2}\  dt$

  $\frac{5^t}{2\ln 5}+C$

Calcule, através da definição de limite, $\displaystyle \lim_{x\to 0} e^{2x}-1 = 0$.

Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos $\delta >0$ tal que, quO IMECC é responsável pelos cursando $|x-0|<\delta$, $|f(x)-0|<\epsilon$.
Considerando $|f(x)-0|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-0|$ (i.e., $|x|$):
\begin{gather*}
|f(x) -0 | < \epsilon \\
|e^{2x}-1 |<\epsilon \\
-\epsilon< e^{2x}-1 < \epsilon \\
1-\epsilon< e^{2x} < 1+\epsilon \\
\ln (1-\epsilon) < 2x < \ln (1+\epsilon) \\
\frac{\ln (1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln (1+\epsilon)}{2} \\
\end{gather*}
Seja $\delta = \min\left\{\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right|,\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\right\}=\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}.$
Portanto:
\begin{gather*}
|x| < \delta \\
|x| <\frac{\ln(1+\epsilon)}{2}<\left|\frac{\ln(1-\epsilon)}{2}\right| \\
\frac{\ln(1-\epsilon)}{2} < x < \frac{\ln(1+\epsilon)}{2}\\
\ln(1-\epsilon)< 2x < \ln(1+\epsilon)\\
1-\epsilon < e^{2x} < 1+\epsilon\\
-\epsilon < e^{2x}-1 < \epsilon\\
|e^{2x}-1-(0)| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que buscávamos provar.

Prove que $\displaystyle\int \sqrt{a^2+u^2}du=\dfrac{u}{2}\sqrt{a^2+u^2}+\dfrac{a^2}{2}\ln{|u+\sqrt{a^2+u^2}|}+C$.

Determine $a$ para que a equação $x^{3}+3x^{2}-9x+a=0$ admita uma única raiz real.

Primeiramente, calculamos $f'(x)$ e $f''(x)$. Temos então

$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$

$f''(x)=6x+6$

Pela análise de sinal da segunda derivada, vemos que $f(x)$ é uma concavidade para baixo para $x<-1$ e uma concavidade para cima para $x>-1$, e os zeros da primeira derivada nos dizem que há um máximo local em $x=-3$ e um mínimo local em $x=1$. Assim, avaliando a função em $x=-3$ tem-se $f(-3) = 27+ a$. Qualquer valor de $a$ que torne $f(-3)<0$ garante que $f(x)$ terá apenas uma única raiz real. Finalmente, portanto, tem-se:

$a<-27$

Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia, as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função $f(x)=\frac{22x}{500+2x}$, em que $x$ é o número de residências e $f(x)$ é o número de carteiros. Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, qual o número de residências desse bairro, que as receberam?

Substituindo $f(x) = 6$ na expressão da função:

$6 = \dfrac{22 x}{500+2x}$
$\Rightarrow 6(500+2x) = 22x$
$\Rightarrow 3000 + 12x = 22x$
$\Rightarrow 10x = 3000$
$\Rightarrow x = 300$ residências.

Um fabricante produzirá caixas fechadas (com tampa) de volume igual a $27$ litros e cuja base é um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Encontre as dimensões da caixa de forma que o consumo de material seja mínimo.

O coeficiente angular da reta tangente, no ponto de abscissa x, ao gráfico de $y=f\left( x\right) $, é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência. Sabendo que $f\left( 0\right) =1$ e que $f\left(1\right) =1/\sqrt{2}$, determine $f$.

Calcule a seguinte integral:
   $\int{x^2e^{2x}dx}.$

$\dfrac{1}{4}e^{2x}(2x^2-2x+1)+C$.

Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e, nos outros três lados, por uma cerca elétrica feita de um fio. Com $800 m$ de fio à disposição, qual é a maior área que você pode cercar e quais são suas dimensões?

Estude o sinal de $f^{\prime }\left( x\right) $, calcule os limites $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f\left( x\right) $ e $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) $ e, utilizando esses dados, esboce o gráfico de $f\left( x\right) =x^{3}+3x^{2}+1$.

Uma pequena indústria vende normalmente, a cada semana, $60$ caixas de certo produto, por $30$ reais a caixa. Foi feita uma experiência e observou-se que cada real de desconto nesse preço fez as vendas aumentarem em $5$ caixas. Assim, a experiência mostrou que, dentro de certos limites, a quantidade $C$ de caixas vendidas é uma função do desconto $x$, em reais. Determine uma expressão para essa função.

Uma análise do resultado de ambas as integrais nos mostra, de imediato, que nenhuma delas é a adequada para o cálculo da área da figura. A segunda integral nada mais é do que a primeira integral com o sinal invertido, e portanto ambas são iguais a zero.

A questão é que no caso, se denotarmos $f_1(x)=x$ e $f_2(x)=-x$, é fácil observar que para $x>0$ $f_1(x)>f_2(x)$, e para $x<0$ $f_2(x)>f_1(x)$. Portanto, o cálculo correto da área se daria através de duas integrais, na forma 

$A=\int_{-1}^{0} {\left(-x-x\right)dx}+\int_{0}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx}$

Ou ainda, fazendo uso da simetria, poderia também se fazer:

$A=2\int_{0}^{1} {\left(x-\left(-x\right)\right)dx}=4\int_{0}^{1} {x\,dx}=2$

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-x^2+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

$\sin(3x) = \sin x (2 (\cos^2 x - \sin^2 x) + 1)$.

$\cos(3x) = \cos^3 x - 3 \sin^2 x \cos x$.

1. $-8$

2. $-1$

3. $10$

Calcule, através da definição, o limite $ \lim_{x\to 2} 5 = 5$

Seja $\epsilon >0$ dado. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que, quando $|x-2|<\delta$, $|f(x)-5|<\epsilon$. Entretanto, como $f(x)=5$ é uma função constante, a segunda inequação é simplesmente $|5-5|<\epsilon$, o que é sempre verdade. Assim, pode-se escolher um $\delta$ qualquer; arbitrariamente, escolhe-se $\delta =\epsilon$.

Aproxime numericamente o seguinte limite
  $ f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$

1.  \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
     2.9 & -0.632 \\
     2.99 & -0.6032 \\
     2.999 & -0.60032 \\
     \end{array}
   A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =-0.6$.
2.  \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
      3.1 & -0.5686 \\
     3.01 & -0.5968 \\
     3.001 & -0.59968 \\
       \end{array}
   A tabela parece indicar que   $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =-0.6$.
3. As tabelas parecem indicar que   $\lim\limits_{x\to3}f(x) =-0.6$.
   

Demonstre a fórmula de Báskhara usada para resolução de equações polinomiais de grau $2$.

Uma grandeza física desconhecida é medida $n$ vezes, obtendo-se valores $x_1,x_2,\ldots,x_n$, cuja variação  depende de fatores imprevisíveis, tais como temperatura, pressão atmosférica etc. Desta forma, o cientista  enfrenta o problema de obter uma estimativa $\bar{x}$ de uma grandeza desconhecida $x$. Um método de se  obter estimativas está baseado no princípio dos mínimos quadrados, o qual estabelece que a estimativa $\bar{x}$  deve ser escolhida de forma a minimizar a função  $$ s= (x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots +(x_n-\bar{x})^2, $$que é a soma dos quadrados dos desvios entre a estimativa $\bar{x}$ e os valores medidos.  Mostre que a estimativa resultante do princípio dos mínimos quadrados é dada por  $$ \bar{x}= \dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n), $$  ou seja, $\bar{x}$ é a média aritmética dos valores observados.

Calcule a integral $\int \dfrac{x+1}{x^{2}-3x+2}dx$.

1. $F(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5$
2. $F(x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\ldots+\frac{x^1000001}{1000001}$

Se $f(x+1)=\frac{x-1}{\pi -x}$, ache $f(x)$ e encontre o domínio de $f$.

$y'=-\dfrac{\sqrt{2 - x^{1/3}}}{x^{1/3}}$.

$2\sqrt{x}+C$

$0$.

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} b = b$.

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=tg{x}$ no ponto de abscissa $0$.

$y=x$

 Seja $f:[a,b] \to [a,b]$ uma função contínua. Prove que $f$ possui um ponto fixo, ou seja, algum valor de $x$ tal que $f(x)=x$.

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =x+\dfrac{1}{x}$.

Determine $f\left(x\right)$ sabendo que: \begin{equation*} f\,^{\prime \prime }\left( x\right)  = 12\sin 2x+\cos 3x+1,\;f\,^{\prime}\left( 0\right) =1\text{ e }f\left( 0\right) =0\text{ .} \end{equation*}

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int 5e^\theta\  d\theta$

  $5e^\theta+C$

Encontre todos os números naturais $k$ para os quais a seguinte afirmação é verdadeira: Se $F(x)$ é um polinômio com coeficientes inteiros que satisfaz $0\leq F(c)\leq k$ para todo $c\in\{0,1,\ldots,k+1\}$ então $F(0)=F(1)=\cdots=F(k+1).$

Utilizando as leis de exponenciação, simplifique a expressão a seguir:
$9^{1/3}\cdot9^{1/6}$

Prove que se $f$ for derivável em $p$, então $f$ será contínua em $p$. 

Veja Guidorizzi, volume $1$, página $152$.

1. Falso
   
2. Verdadeiro
   
3. Falso
   

Uma página impressa deve ter $24$ $cm^{2}$ de área reservada à parte escrita, uma margem de $1,5 cm$ nas partes superior e inferior e uma margem de $1 cm$ nos lados. Discuta a existência das dimensões (e calcule quando existir) daquelas que tem área total máxima e área total mínima.

 A raiz aproximada é $x=0.52$.

Os intervalos utilizados são:

$[0.5,0.55] \quad [0.5,0.525] \quad [0.5125,0.525]$

$[0.51875,0.525]\quad [0.521875,0.525]$.

Calcule a derivada de ordem $1000$ da função $f(x)=e^{kx}, k \in R$.

$f^{1000}(x)=k^{1000}e^{kx}$

Prove que $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$.

$\begin{array}{rcl} \cosh^2x - \sinh^2 x &=& \left(\dfrac{e^{-x} + e^x}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{e^{x} - e^-x}{2}\right)^2 \\ &=& \dfrac{1}{4} (e^{-2x} + 2 e^{-x}e^x + e^{2x}) - \dfrac{1}{4} (e^{2x} - 2 e^xe^{-x} + e^{-2x}) \\ &=& \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \\ &=& 1.\end{array}$

Encontre o ponto de interseção da reta tangente ao gráfico de $y=x-\frac{1}{x}$ no ponto $(1,0)$ com o eixo $y$.

$(1,0)$.

Determine a derivada da seguinte função:
  $f\left( x\right) =\ln \left( 3\cos ^{5}\left( 4x\right)\right) .$

$f'(x) = -20\tan(4x)$.

Uma escada de $4$m está apoiada em uma parede fazendo um ângulo $\theta$ com o chão. Considerando $h$ como a altura do chão até o ponto em que a escada encosta na parede, expresse $h$ em função de $\theta$ e, então, use $dh$ para estimar a variação em $h$ se $\theta$ varia de $60^\circ$ a $59^\circ$, de $60^\circ$ a $58^\circ$, e de $60^\circ$ a $55^\circ$. Interprete estes resultados.

$e^x(x^2-4x+5)+C$

Calcule a derivada da seguinte função: 
 $f\left(  x\right)  =\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.$

$f'(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$.

Seja $g(x)=x^3+\dfrac{1}{x}$. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $g$ no ponto correspondente a $x=1$.

$y=2x$.

Substitua as interrogações por expressões envolvendo $\epsilon, x_0$ e $y_0$ de modo que a afirmação abaixo seja verdadeira. Se $y_0 \neq 0$, $|y-y_0|<??$ e $|x-x_0|<??$, então $y \neq 0$ e $\left| \dfrac {x}{y}-\dfrac{x_0}{y_0}\right|<\epsilon$.

$f'(x) = \dfrac{3-7x^2}{4 x^{3/4}(x^2+3)^2}$.

A altura de um corpo em movimento vertical é dada por
$s = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+s_0,\quad g>0$
com $s$ em metros e $t$ em segundos. Determine a altura máxima do corpo em função da velocidade inicial $v_0$, da aceleração da gravidade $g$ e da posição inicial $s_0$.

Escreva o número $\sin 1$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-17}$.

Um atleta percorreu as $26,2$ milhas da maratona de Nova York em $2,2$ horas. Demonstre que em pelo menos duas ocasiões o maratonista correu a exatas $11mi/h$, supondo que as velocidades inicial e final tenham sido zero.

$f'(x) = \dfrac{\tan x \sec x}{3x+2}-\dfrac{3 \sec x}{(3x+2)^2}$.

Queremos calcular a derivada da divisão da função $\sec x$ pela função $3x+2$. Usando a regra da derivada do quociente, obtemos:

\[\left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2}.\]

Como $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, podemos usar a regra do quociente para calcular sua derivada:

\[(\sec x)^\prime = \left(\dfrac{1}{\cos x}\right)^\prime = \dfrac{(1)^\prime\cdot \cos(x) - 1\cdot (\cos x)^\prime}{(\cos x)^2} =\dfrac{0 - (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \tan(x)\sec(x).\]

Por outro lado, sabemos que $(3x+2)^\prime = 3$.

Dessa forma, voltando à primeira igualdade e substituindo $(\sec x)^\prime$ e $(3x+2)^\prime$ pelas expressões encontradas, obtemos:

\[\dfrac{(\sec x)^\prime \cdot (3x+2) - (\sec x)\cdot (3x+2)^\prime}{(3x+2)^2} = \dfrac{\tan(x) \sec(x) (3x+2) - (\sec x)(3)}{(3x+2)^2} .\]

Ou seja,

\[ \left( \dfrac{\sec x}{3x+2} \right)^\prime = \dfrac{\tan(x) \sec(x)}{3x+2} - \dfrac{3\sec(x)}{(3x+2)^2}. \]

1. $96ft/s$.
   
2. $6s$.
   
3. $6s$.
   
4. Nunca, a altura máxima é $208ft$.
   

Uma lata cilíndrica, sem tampa (mas com fundo), é feita para receber um volume de $900ml$ . Encontre as dimensoes que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

  Seja $f:\mathbb{R\rightarrow R}$ a função
  definida por
  \begin{equation*}
  f\left( x\right) =\left\{
  \begin{array}{cc}
  x^{2} & \text{se }x\leq 1 \\
  2x-1 & \text{se }x>1
  \end{array}
  \right. ,
  \end{equation*}
  e defina $g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow h}\dfrac{f\left(
  x+h\right) -f\left( x\right) }{h}$. Mostre que $g\left( x\right) $ é contínua.

Se $f$ for contínua e $\int_{0}^{9}f\left( x\right) dx=9$, calcule $\int_{0}^{3}xf\left( x^{2}\right) dx.$

Calcule a integral $\int \cos ^{3}xdx$.

$\frac{3}{4} x \sin (x)+\frac{1}{12} x \sin (3 x)+\frac{3 \cos (x)}{4}+\frac{1}{36} \cos(3 x)$

O calor específico de um metal como a prata é constante a temperaturas $T$ acima de 200° K. se a temperatura do metal aumenta de $T_1$ a $T_2$, a área sob a curva $y=c/T$ de $T_1$ a $T_2$ é chamada variação de entropia $\Delta S$, que é uma medida da desordem molecular do sistema. Expresse $\Delta S$ em termos de $T_1$ e $T_2$,

$\sin(1)$.

Estude a função $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+3x$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Um caminhoneiro estava em uma estrada cujo limite de velocidade era de $100km/h$. Ao passar no segundo pedágio, distante $120km$ do primeiro, o caminhoneiro recebeu uma multa, pois levou $30$ minutos para ir do primeiro ao segundo pedágio. Ele tentou contestar a multa, mas não obteve sucesso. Por que a multa foi justa?

A velocidade, no tempo $t$, de um objeto de massa $m$ em queda é $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k$ é uma constante e $g$ denota a força da gravidade. Calcule $\lim\limits_{m \to \infty}v(t)$ e conclua que $v(t)$ é aproximadamente proporcional ao tempo $t$ se a massa é muito grande.

Calcule, por meio da definição, o limite $\lim_{x\to 2} x^3-1 = 7$.

Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-2|<\delta$, $|f(x)-7|<\epsilon$.
Considere $|f(x)-7|<\epsilon$, lembrando que o objetivo é afirmar algo sobre $|x-2|$:
\begin{gather*}
|f(x) -7 | < \epsilon \\
|x^3-1 -7 |<\epsilon \\
| x^3-8 | < \epsilon \\
| x-2 |\cdot|x^2+2x+4| < \epsilon \\
| x-3 | < \epsilon/|x^2+2x+4| \\
\end{gather*}
Como $x$ está próximo de $2$, podemos considerar $1<x<3$. Portanto
\begin{gather*}
1^2+2\cdot1+4<x^2+2x+4<3^2+2\cdot3+4 \\
7 < x^2+2x+4 < 19 \\
\frac{1}{19} < \frac{1}{x^2+2x+4} < \frac{1}{7} \\
\frac{\epsilon}{19} < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4} < \frac{\epsilon}{7} \\
\end{gather*}
Seja $\delta =\frac{\epsilon}{19}$. Então:
\begin{gather*}
|x-2|<\delta \\
|x-2| < \frac{\epsilon}{19}\\
|x-2| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\\
|x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot|x^2+2x+4|\\
\end{gather*}
Assumindo $x$ próximo de $2$, $x^2+2x+4$ é positivo e podemos eliminar o módulo do lado direito da equação.
\begin{gather*}
|x-2|\cdot|x^2+2x+4| < \frac{\epsilon}{x^2+2x+4}\cdot(x^2+2x+4)\\
|x^3-8| < \epsilon\\
|(x^3-1) - 7| < \epsilon,
\end{gather*}

que é o que desejávamos provar.

Esboce o gráfico de $f(x)=x^3-6x^2 +9x+1$, indicando campo de definição, intervalos de crescimento e de decrescimento, assíntotas horizontais, verticiais e inclinadas (se houver), limites no infinito, extremos relativos, estudo da concavidade, pontos de inflexão e reta tangente à curva nos pontos de inflexão.

1. Dom$\left(  f\right)  =\left\{  x\in\mathbb{R}|x\neq0\right\}  $

2. $f\left(  x\right)  \neq 0,\forall x$

3. A função não possui simetrias não triviais

4. $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{-x}}{x}=0,\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^{-x}}{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}-e^{-x}=-\infty$ (este por L'Hôpital), $\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{e^{-x}}{x}=-\infty$ e $\lim_{\times\rightarrow1^{+}}\frac{e^{-x}}{x}=+\infty$

5. \[
     f^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{-e^{-x}x-e^{-x}}{x^{2}}=-e^{-x}\frac
     {x+1}{x^{2}}%
     \]
     e temos que
     \begin{align*}
     f^{\prime}\left(  x\right)    & >0\Leftrightarrow x<-1\\
     f^{\prime}\left(  x\right)    & <0\Leftrightarrow x>-1
     \end{align*}
     logo $f$ é crescente para $x<-1$ $\ $e decrescente para $x>-1$ (lembrando que $x\neq0$).

6. O único ponto crítico de $f$ é $x=-1$, o qual é ponto de máximo, pois a derivada passa de positiva a negativa.

7. \begin{align*}
     f"\left(  x\right)    & =\frac{\left(  e^{-x}x-e^{-x}+e^{-x}\right)
     x^{2}-\left(  -e^{-x}x-e^{-x}\right)  2x}{x^{4}}\\
     & =\frac{e^{-x}x^{3}+2e^{-x}x^{2}+2e^{-x}x}{x^{4}}\\
     & =\frac{e^{-x}}{x^{3}}\left(  x^{2}+2x+2\right)
     \end{align*}

     Como $e^{-x}$ e $x^{2}+2x+2$ são sempre positivos, temos que $f"\left(  x\right)  >0$ se $x>0$ e $f"\left(  x\right)  <0$ se $x<0$, ou
     seja, "concavidade para baixo" se $x<0$ e "concavidade para cima" se $x>0$

8. Esboço do Gráfico:
   
   

A função $f(x)=|x|$ tem valor mínimo absoluto quando $x=0$, mesmo que $f$ não seja derivável em $x=0$. Isto é consistente com o Teorema de Fermat sobre máximos e mínimos locais?

Escreva o número $e$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-4}$.

Calcule $\displaystyle \int x^2 \ln (x+1) \, dx$ utilizando integração por partes.

$\dfrac{1}{18}(6(x^3+1)ln(x+1)-2x^3+3x^2-6x)+C$.

Deixa-se cair de um balão um objeto de massa $m$. Se a força de resistência do ar é diretamente proporcional à velocidade $v(t)$ do objeto no instante $t$, então pode-se mostrar que $v(t)=(mg/k)(1-e^{-(k/m)t})$, onde $k>0$ e $g$ é uma constante gravitacional. Determine $\lim\limits_{k \to 0^+}s(t)$.

Se uma quantia $P$ é aplicada à taxa de juros de $100r \%$ ao ano, composta $m$ vezes por ano, então o montante, ao cabo de $t$ anos, é dado por $P(1+rm^{-1})^{mt}$. Considerando $m$ como um número real e fazendo m crescer indefinidamente, diz-se que a taxa é composta continuamente. Mostre que, neste caso, o montante após $t$ anos é $Pe^{rt}$.

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{4}-p^{4}}{x-p}$.

Determine os intervalos de decrescimento e crescimento e esboce o gráfico da seguinte função  $f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+1$.

Prove que $\displaystyle\int \dfrac{1}{u\sqrt{a^2+u^2}}du=-\dfrac{1}{a}\ln \left|\dfrac{\sqrt{a^2+u^2}+a}{u}\right|+C$.

Determine os valores de $\lambda$ que tornam contínua a função $f:\mathbb{R\rightarrow R},$ da por:
  \[
  f\left( x\right) =\left\{
  \begin{array}{c}
  x^{2}+\lambda x\mbox{ se }x\leq 1 \\
  \left( \lambda x\right) ^{2}-1=\lambda ^{2}x^{2}-1\mbox{ se }x>1
  \end{array}
  \right. \mbox{.}
  \]

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int 3x^3\ dx$

 $3/4x^4+C$

Mostre que $|\cos x-\cos y|\leq |x-y|$ quaisquer que sejam $x$ e $y$ reais, enunciando os teoremas utilizados.

1. Sim.
   
2. Não. $\lim_{x\to 8} f(x) = 16/5 \neq f(8) = 5$.
   

Explique, usando suas palavras, o que significa escrever $\lim\limits_{x\to c} x = c$.

1. $\infty$
2.  $\infty$

Derive a função $f\left( x\right) =\left( 3^{2x+3}\right)\sqrt{\cos \left( x^{3}+x^{1/3}\right) }.$

$ 2.3^{2 x + 3} \sqrt{\cos(x^3 + x^{1/3})} \log 3 - (3^{2 x + 3} (1/(3 x^{2/3}) + 3 x^2) \sin(x^3 + x^{1/3}))/(2 \sqrt{cos(x^3 + x^{1/3})})$.

$f'(x) = (15 x^2 + 2/x)/(\cos^2 x + 1) + (2 (5 x^3 + \log(x^2)) \sin x \cos x )/(\cos^2 x + 1)^2$.

$f'(\pi/2) = \dfrac{4}{\pi} + \dfrac{15 \pi^2}{4}$.

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int (\sec x\tan x + \csc x\cot x)\  dx$

  $\sec x - \csc x+C$

Determine todas as assíntotas horizontais da função $f(x) = \frac{x^2-1}{-x^2-1}$.

$y=-1$.

Dizer que um número é igual a soma de seu cubo e de seu quadrado mais um significa dizer que $x=x^{3}+x^{2}+1$ ou, equivalentemente, que $f\left(  x\right)  =x^{3}+x^{2}-x+1=0.$

Mas $f\left(  -2\right)  =\left(  -2\right)^{3}+\left(  -2\right)  ^{2}-\left(  -2\right)  +1=-1$ e $f\left(  0\right)=1$.

Como $f\left(  x\right)  $ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $-2<x<0$ tal que $f\left( x\right)  =0$.

Resolução Alternativa:

Uma vez definida $f(x)$, pode-se ver que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(  x\right)  =-\infty $. Como $f\left(  x\right)$ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $x$ tal que $f\left(x\right)  =0$.

Dica: Suponha que existam inteiros $p$ e $q$ tais que $log2=p/q$, com $p/q$ sendo fração irredutível. Use a definição de logaritmo e o teorema fundamental da aritmética para chegar a um absurdo.

Calcule a seguinte integral:
   $\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx.$

Como o parabolóide é obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ temos que o raio $r:=d/2=4$ corresponde a variação de $x$ e a altura corresponde a variação de $y$, ou seja, para $x=4$ devemos ter $y=ax^{2}=4$ donde obtemos que $a=y/x^{2}=4/4^{2}=1/4$, e consideramos a parábola $y=\frac{x^{2}}{4}$.

Como o parabolóide é obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ devemos considerar $x$ como funçao de $y$, ou seja, $x=x\left(  y\right)  =2\sqrt{y}$. Temos então que:
  \begin{align*}
  x^{\prime}\left(  y\right)    & =\frac{1}{\sqrt{y}}\\
  \sqrt{1+\left(  x^{\prime}\left(  y\right)  \right)  ^{2}}  & =\sqrt
  {1+\frac{1}{y}}=\frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}}%
  \end{align*}
  Temos então que a área $S$ da superfície é dada por:
  \begin{align*}
  S  & =\int_{0}^{4}2\pi\left(  2\sqrt{y}\right)  \frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt{y}%
  }dy\\
  & =4\pi\int_{0}^{4}\sqrt{y+1}dy
  \end{align*}
  Substituindo $u=y+1,~du=dy$ obtemos:
  \begin{align*}
  S  & =4\pi\int_{1}^{5}\sqrt{u}du\\
  & =4\pi\frac{2}{3}\left.  u^{3/2}\right\vert _{1}^{5}\\
  & =\frac{8\pi}{3}\left(  5^{3/2}-1\right)
  \end{align*}

Encontre a equação da reta tangente à curva $y=2x^2+3$ que seja paralela à reta $8x-y+3=0$.

$y=8x+3$.

Enuncie e demonstre o Teorema do Confronto.

Encontre as raízes do polinômio $x^4-10x^3+17x^2-17x+6.$
Sugestão: Utilize o teste das raízes racionais.

Encontre os valores de $p$ tais que a integral $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{px} \, dx$ converge.

Escreva o número $\sin 2$ como uma soma (com a notação $\Sigma$), com um erro menor que $10^{-12}$.

Esboce o gráfico da função $f\left(x\right) =e^{-x^{2}}$ explicitando domínio, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexdão, assíntotas, máximos e mínimos locais e globais.

Calcule o limite $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\dfrac{1-2^{x}}{1-3^{x}}$.

$0$.

Estude a função $f\left( x\right) =\dfrac{x^{2}}{x+1}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

$[-1,1]$

Encontre a área da região limitada pela elipse $x^2+\frac{y^2}{4}=1.$

Primeiramente, escreve-se a equação da elipse na forma $y=\pm f(x)$: 

$y=\pm 2\sqrt{1-x^2}$

Observação: Nesta forma, é possível ver mais facilmente que a elipse não apresenta nenhum ponto com $\left\vert x\right\vert >1$.

Se denotarmos $f_1(x)= 2\sqrt{1-x^2}$ e $f_2(x)=- 2\sqrt{1-x^2} $, a área da região limitada pela elipse é portanto 

$\int_{-1}^{1}f_1(x)-f_2(x)\,dx=2\int_{-1}^{1}f_1(x)\,dx=2 \left(\sqrt{1-x^2} x+\sin ^{-1}(x)\right)=2\pi$

Calcule a área no plano entre os gráficos de $f\left( x\right) =x^{3}-x$ e $g\left( x\right) =sen\left( \pi x\right) $ no intervalo $[0,1]$.

Sabemos que, no intervalo $[0,1]$, $g(x)=\sin(\pi x)>0$. Uma análise das raízes de $f(x)=x^3-x$ nos mostra que no intervalo referido, $f(x)<0$. Assim,como não há mudança de sinal de $f(x)-g(x)$, o cálculo da área entre as curvas se resumo ao cálculo da integral definida

$\int_0^1 \left(g(x)-f(x)\right)\,dx= \left.\left(-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}-\frac{\cos (\pi  x)}{\pi }\right) \right\vert_0^1=\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi }$

Temos que:
  $\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}}.$

Lembramos o limite fundamental $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ e, além disso, observamos que
  \begin{equation*}
  \begin{split}
  &\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}=0 \\
  &\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac{1}{\cos x}=1.
  \end{split}
  \end{equation*}
  Então:
  $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{3x+\tan x}{\sin x + \tan^2 x}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}\cdot\dfrac{3+\dfrac{\tan x}{x}}{1+ \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}} = 1\cdot\dfrac{3+1}{1+0}=4.$

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \ln{x}}{x+\ln{x}}$.

$\infty$.

Sabemos que limites que tomam a forma indeterminada ``$\infty-\infty$" exigem um pouco mais de trabalho para serem calculados. Calcule, de forma adequada, o limite $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{2x^2-7}-x\right)$.

Prove que a única função contínua $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfaz $f(f(f(x)))=x$ é a função identidade $f(x)=x$. (Sugestão: Prove que se uma função é injetiva e contínua então ela é monótona).

1. F

2. V

3. F

4. F

1. A função $\sin x$ é ímpar pois $f(-x) = \sin (-x) = -\sin(x) = -f(x)$.

1. A função $\cos x$ é par pois $f(-x) = \cos (-x) = \cos(x) = f(x)$.

$sin(x)cos(x)+C$

Existe uma curva continuamente derivável $y=f(x)$ cujo comprimento ao longo do intervalo $0\leq x\leq a$ seja sempre $\sqrt{2}a$?

1.   $-\infty$
2. $0$
3. $\infty$
   

$\dfrac{1}{3}(x^2-8)\sqrt{x^2+4}+C$.

Mostre que a função \begin{align*} f\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \dfrac{x^{3}-4x}{x^{2}-4}, & \text{se } x\neq \pm 2 \\ 2, & \text{se } x=2 \\ -3, & \text{se } x=-2 \end{array} \right. \end{align*} é contínua em todos os pontos, com exceção do ponto $x=-2$.

Sejam $f(x)=\frac{x^{2}-25}{x^{2}-1}$ e $g(x)=\sqrt{x}$. Dê o domínio de cada uma das funções $f$, $g$, $f\circ g$ e $g\circ f$.

Avalie o limite $\lim\limits_{x\rightarrow p}\dfrac{x^{8}-p^{8}}{x-p}$.

Se $(ln\ x)/x = (ln\ 2)/2$, é necessário que $x=2$? Se $(ln\ x)/x=-2ln\ 2$, é necessário que $x=\frac{1}{2}$? Justifique suas respostas.

Um fabricante de óleo deseja confeccionar latas cilindricas de volume igual a $1$ litro. Quais são as dimensões da lata para que o consumo de material seja o mínimo possível? Se a lata fosse esférica, o gasto de material seria maior ou menor que o gasto de material da lata cilíndrica que voce encontrou? E se a lata fosse cúbica?

1. Verdadeiro.
2. Verdadeiro.
3. Verdadeiro, pois o lucro total $L(q)$ é $L(q)=R(q)-C(q)-900=3q-900$ e temos que $T(q)=0$ se $q=300$.
4. Falso, $L(q)=3q-900$.

Um encanador $A$ cobra por serviço feito um valor fixo de $R\$ 60,00$, mais $R\$ 10,00$ por hora de trabalho. Um outro encanador $B$ cobra um valor fixo de $R\$40,00$ mais $R\$15,00$ por hora de trabalho. Considerando o menor custo para a realização de um trabalho, avalie a decisão de se contratar um ou outro encanador.

$f'(x) = \dfrac{1}{2} e^x ( \sin (2x) + 2 \cos (2x))$.

Um carro está em uma rodovia a uma velocidade constante de $60mi/h$ quando vê um acidente a frente e aciona os freios. Que desaceleração constante é necessária para frear o carro em 242 pés?

Verifique que $\displaystyle \int \text{cotg} (x) \, dx = \ln |\sin x| + k$.

Sejam $f(x)=\sqrt{\displaystyle{\frac{x+3}{x-3}}}$ e $g(x)=\displaystyle{\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x-3}}}$. Determine o domínio da função $f$ e o domínio da função $g$. É verdade que $f=g$?

Dê exemplo de uma função definida em $\mathbb{R}$, que não seja contínua em $a$, mas que $\lim\limits_{x \to a^+}f(x)=\lim\limits_{x \to a^-}f(x)$.

Sabe-se que $f$ é contínua em $2$ e que $f(2)=8$. Mostre que existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in D_f$  vale $2-\delta<x<2+\delta \rightarrow f(x)>7$.

Considere $\epsilon =1$. Como $f$ é contínua em $2$, sabemos que existe $\delta >0$ tal que, para $|x-2|<\delta $ temos que $|f(x)-f(2)|<\epsilon =1$. Mas $|x-2|<\delta $ se, e somente se, $2-\delta<x<2+\delta$ e $|f(x)-f(2)|=|f(x)-8|<1$ se, e somente se, $7< f(x)<9$.

Um foguete decola da superfície terrestre com uma aceleração constante de $20m/s^2$. Qual será sua velocidade 1 minuto depois?

Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de $8 \times 15 pol$ recortando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que você pode fazer dessa maneira? Qual é o volume?

1.   \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
     2.9 & 132.857 \\
      2.99 & 12124.4 \\
       \end{array}
      A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^-}f(x) =\infty$.
2.     \begin{array}{cc}
     x & f(x) \\ \hline
      3.1 & 108.039 \\
      3.01 & 11876.4 \\
       \end{array}
       A tabela parece indicar que $\lim\limits_{x\to3^+}f(x) =\infty$.
3.   As tabelas parecem indicar que $\lim\limits_{x\to3}f(x) =\infty$.
   

Seja $n$ um número natural dado por $n= 2000 \cdot x$. Determine um possível valor para $x$ que torna $n$ um quadrado perfeito.

Sabemos que quando decompomos um quadrado perfeito em fatores primos, os expoentes dos números primos na decomposição são necessariamente múltiplos de $2$. Ora, decompondo $2000$ obtemos $2000=2^4 \cdot 5^3$. Se multiplicarmos $2000$ por $5$ obteremos $10000=2^4 \cdot 5^4$, que é um quadrado perfeito, a saber $100^2$. Neste caso tomamos $x=5$, mas há infinitas outras possibilidades!

Entre todos o cilindros retos que tem uma área total dada, ache o que tem volume máximo.

$\epsilon$ deve ser apresentado antes, e a restrição $|x-a|<\delta$ implica em $|f(x)-K|< \epsilon$, e não o contrário.

O limite $\lim_{x\rightarrow +\infty} x^3(1+\sin x)$ existe? Explique.

Suponha que em qualquer instante $t$ (em segundos) a corrente $i$ (em amperes) em um circuito de corrente alternada é $i = 2\ cos\ t+2\ sin\ t$. Qual a corrente de pico (magnitude máxim para este circuito?

Sabe-se que $f$ é contínua em $1$ e que $f(1)=2$. Mostre que existe $\delta>0$ tal que para todo $x \in D_f$  vale $1-\delta<x<1+\delta \rightarrow \dfrac{3}{2}<f(x)<\dfrac{5}{2}$.

$y=4x-4$.

Construa uma função com uma assíntota vertical em $x=5$ e uma assíntota horizontal em $y=5$.

$y=\dfrac{x+9}{6}$.

A afirmação: $`` \lim\limits_{x\rightarrow p^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow p^-} f(x)\Rightarrow f \mbox{ contínua em } p. "$  é verdadeira ou falsa?  Justifique.

É falsa. Só seria verdadeira se o valor dos limites laterais fosse igual a $f(p)$.

Calcule a integral $\displaystyle\int \dfrac{1}{ax^n+bx}dx$.

Avalie a seguinte integral indefinida:
  $\int \frac{1}{3t^2}\  dt$

  $-1/(3t)+C$

1. $-\infty$
2. $\infty$
3. O limite não existe
4. $\infty$
5. $\infty$
6. $\infty$

Ache a área da superfície gerada fazendo girar a curva paramétrica $x=t^2,y=2t,0 \leq t\leq 4$, em torno do eixo $x$.

1. Verdadeiro
   
2. Verdadeiro
   
3. Falso
   

Calcule a integral $\int_{0}^{r}\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$.

$\frac{1}{4}\pi r^4$

Escreva $a^x$ em função de $e^x$. Use esse resultado para escrever $\log_a(x)$ em função de $\ln(x)$.

Se $ F(x)= { \int_1^xf(t)dt}$ e $ f(t)={ \int_{x^2}^1\frac{\sqrt{1+u^4}}{u}du}$, determine $F''(2)$.

Em um gerenciamento de estoques, o custo médio semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadoria é dado por:
$$A(q)=\dfrac{km}{q}+cm+\dfrac{hq}{2},$$
onde $q$ é a quantidade de produtos pedida em períodos de baixa no estoque; $k$ é o custo (fixo) da colocação de um pedido; $c$ é o custo (também fixo) de cada item; $m$ é a quantidade de itens vendidos por mês; e $h$ é o custo mensal para manter cada item (custos de espaço, seguro, etc). Determine $dA/dq$ e $d^2A/dq^2$. Interprete os resultados.

Estude a função $f\left( x\right) =\sqrt{x^{2}-4}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

É verdade que, ao se esticar um elástico puxando-o por suas extremidades em direções opostas, algum ponto do elástico permanecerá em sua posição inicial? Justifique sua resposta.

A resposta do corpo humano a uma dose de um medicamento pode ser representada pela equação:
$$R=M^2\left(\dfrac{C}{2}-\dfrac{M}{3}\right),$$
onde $C$ é uma constante positiva e $M$ a quantidade de medicamento absorvida pelo sangue. Se $R$ for uma variação da pressão sanguínea, é medida em milímetros de mercúrio; se for variação de temperatura, é medida em graus. Determine a sensibilidade do organismo ao medicamento,  $dR/dM$.

$f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x)$.

Usando a regra da derivada do produto de duas funções, escolhendo considerar $x e^x$ como uma delas e, consequentemente, $\cos x$ como a outra, obtemos:

\[ (x e^x \cos x)^\prime = (x e^x)^\prime \cdot \cos(x)+ x e^x \cdot (\cos x)^\prime .\]

Para calcular $(x e^x)^\prime$, vamos usar novamente a regra da derivada do produto:

\[(x e^x)^\prime = (x^\prime) \cdot e^x + x\cdot (e^x)^\prime = e^x(1+x),\]

em que usamos que $(x)^\prime=1$ e $(e^x)^\prime=e^x$, além de colocar em evidência o fator comum $e^x$.

Substuindo essas expressões na igualdade inicial, temos que

\[ (x e^x \cos x)^\prime = e^x(1+x)\cos(x)  - x e^x \sin x,\]

já que $(\cos x)^\prime = -\sin x$. Ou seja, obtivemos que

\[f'(x) = e^x ((x+1) \cos x - x \sin x).\]

$(-\infty,-2]\cup [2,\infty)$

1. Não.
2. Não

Calcule a derivada da seguinte função:
 $f\left(  x\right)  =\frac{\sqrt{x^{3}+1}}{\left(  x^{2}+1\right)  ^{4}}.$

Encontre $f(x)$ que satisfaça o seguinte problema de valor inicial:
  $f''(x) = 24x^2+2^x-\cos x$ e $f'(0)= 5$, $f(0) = 0$

$\frac{2 x^4 \ln ^2(2)+2^x+x \ln 2) (\ln 32-1)+\ln
     ^2(2) \cos (x)-1-\ln ^2(2)}{\ln ^2(2)}$

$f(x)=1, x \neq 0$; $f(0)=2$.

Estude a função  $f\left( x\right) =1-e^{-x}$ com relação à concavidade, pontos de inflexão, máximos e mínimos, e esboce o seu gráfico.

Calcule, pela definição, o limite $ \lim_{x\to 0} \sin x= 0$ (Dica: use o fato que $|\sin x| \leq |x|$, sendo uma igualdade apenas para $x=0$.)

Considere $\epsilon >0$ arbitrário. Queremos encontrar $\delta >0$ tal que quando $|x-0|<\delta$, $|f(x)-0|<\epsilon$. Em termos simples, queremos mostrar que quando $|x|<\delta$, $|\sin x| < \epsilon$.

Considere $\delta = \epsilon$. Podemos presumir que $|x|<\delta$. Usando a dica do enunciado, temos que $|\sin x | < |x| < \delta = \epsilon$. Portanto, se $|x|<\delta$, sabemos imediatamente que $|\sin x| < \epsilon$.

Calcule a integral $\displaystyle \int \dfrac{x^5-x^4-2x^3+4x^2-15x+5}{(x^2+1)^2(x^2+4)} \, dx$.

Calcule o limite $\lim\limits_{x \to \infty}\dfrac{x \sin^{-1}(x)}{x- \sin(x)}$.

$-\infty$.

Derive a função $h\left( x\right)  = \int_{\cos 5x}^{x^{7/3}}e^{r}\left( r^{2}+1\right) dr$.

Mostre $\lim\limits_{x\to 0} \frac{x+1}{x^2+3x}$ não existe.