Qual dessas relações podem ser utilizada para definir uma função de domínio é contradomínio n?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino M�dio

Rela��es Matem�ticas

Rossana M.M.Pereira e Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Aplica��es das rela��es e fun��es no cotidiano
• 2 Plano Cartesiano
• 3 Produto Cartesiano
• 4 Rela��es no Plano Cartesiano
• 5 Dom�nio e Contradom�nio de uma Rela��o
• 6 Rela��es Inversas
• 7 Propriedades de Rela��es
• 8 Rela��o de equival�ncia

1 Aplica��es das rela��es e fun��es no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gr�ficos, tabelas e ilustra��es. Estes, s�o instrumentos muito utilizados nos meios de comunica��o. Um texto com ilustra��es � mais interessante, chamativo, agrad�vel e de f�cil compreens�o. N�o � s� nos jornais ou revistas que encontramos gr�ficos. Os gr�ficos est�o presentes nos exames laboratoriais, nos r�tulos de produtos aliment�cios, nas informa��es de composi��o qu�mica de cosm�ticos, nas bulas de rem�dios, enfim, em todos os lugares. Ao interpretarmos tais gr�ficos, verificamos a necessidade do conceito de plano cartesiano.

Exemplo: O Sistema \(ABO\) dos grupos sangu�neos � explicado pela recombina��o gen�tica dos alelos \((a,b,o)\) e este � um bom exemplo de aplica��o do conceito de produto cartesiano. Uma aplica��o pr�tica do conceito de rela��o � a discuss�o sobre a intera��o de neur�nios (c�lulas nervosas do c�rebro).

Na rela��o do espa�o em fun��o do tempo, n�mero do sapato em fun��o do tamanho dos p�s, intensidade da fotoss�ntese realizada por uma planta em fun��o da exposi��o da intensidade de luz, ou pessoa em fun��o da impress�o digital, percebemos qu�o importante � o conceito de fun��o para compreendermos as rela��es entre os fen�menos f�sicos, biol�gicos, sociais, etc

As aplica��es de plano cartesiano, produto cartesiano, rela��es e fun��es est�o presentes em nosso cotidiano.

Valores assumidos por uma a��o numa Bolsa de Valores

2 Plano Cartesiano

Refer�ncia hist�rica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano s�o homenagens ao seu criador Ren� Descartes (1596-1650), fil�sofo e matem�tico franc�s, cujo nome em latim era Cartesius, da� a palavra cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal � constitu�do por dois eixos \(OX\) e \(OY\) perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal � o eixo das abscissas (eixo \(OX\)) e o eixo vertical � o eixo das ordenadas (eixo \(OY\)). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os n�meros reais, obt�m-se o plano cartesiano ortogonal.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regi�es denominadas quadrantes sendo que tais eixos s�o retas concorrentes na origem do sistema formando um �ngulo reto (90 graus).

Para cada ponto \(P\), podemos construir um segmento de reta que liga \(P\) � origem do sistema e este segmento forma um �ngulo \(\theta\) com o eixo das abscissas orientado no sentido positivo. O ponto \(P\) pode estar em um �nico quadrante, dependendo do �ngulo \(\theta\). Quando o ponto \(P\) est� em um dos eixos coordenados, ele n�o pertence a qualquer um dos quadrantes.

\[\begin{array}{c|c} \text{Segundo quadrante} & \text{Primeiro quadrante} \\ 90^{\circ} < \theta < 180^\circ & 0 < \theta < 90^\circ \\ \hline \text{Terceiro quadrante} & \text{Quarto quadrante} \\ 180^\circ < \theta < 270^\circ & 270^\circ < \theta < 360^\circ \end{array}\]

Os nomes dos quadrantes s�o indicados no sentido anti-hor�rio

Cada ponto \(P=(a,b)\) do plano cartesiano � formado por um par ordenado de n�meros, sendo que o primeiro n�mero � denominado abscissa e o segundo n�mero recebe o nome de ordenada. Este par ordenado representa as coordenadas do ponto \(P\).

O primeiro n�mero indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo n�mero indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: \((a,b) \neq (b,a)\) se \(a \neq b\).

3 Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos \(A\) e \(B\) n�o vazios, definimos o produto cartesiano entre \(A\) e \(B\), denotado por \(A\times B\), como o conjunto de todos os pares ordenados da forma \((x,y)\) onde \(x\in A\) e \(y\in B\).

\[A{\times}B=\{(x,y): x\in A \text{ e } y\in B \}\]

Observe que \(A{\times}B \neq B{\times}A\), se \(A\) � n�o vazio ou \(B\) � n�o vazio. Se \(A=\emptyset\) ou \(B=\emptyset\), por defini��o:

\[A\times \emptyset =\emptyset =\emptyset \times B\]

Se \(A\) possui \(m\) elementos e B possui \(n\) elementos, ent�o \(A\times B\) possui \(m{\times}n\) elementos.

Exemplo: Dados \(A=\{a,b,c,d\}\) e \(B=\{1,2,3\}\), o produto cartesiano \(A{\times}B\), tem 12 pares ordenados. Realmente,

\[A{\times}B=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)\}\]

O gr�fico � dado por:

4 Rela��es no Plano Cartesiano

Sejam \(A\) e \(B\) conjuntos n�o vazios. Uma rela��o em \(A{\times}B\) � qualquer subconjunto \(R\) de \(A{\times}B\).

A rela��o mostrada na figura anterior �:

\[R=\{(a,3),(b,3),(c,2),(c,3),(d,2),(d,3)\}\]

Uma rela��o \(R\) de \(A\) em \(B\) pode ser denotada por \(R:A \to B\) ou \(R \subset A{\times}B\).

Exemplo: Se \(A=\{1,2\}\) e \(B=\{3,4\}\), o produto cartesiano �

\[A{\times}B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}\]

e neste caso, temos algumas rela��es em \(A{\times}B\):

1. \(R1=\{(1,3),(1,4)\}\)
2. \(R2=\{(1,3)\}\)
3. \(R3=\{(2,3),(2,4)\}\)

5 Dom�nio e Contradom�nio de uma Rela��o

As rela��es mais importantes s�o aquelas definidas sobre conjuntos de n�meros reais e nem sempre uma rela��o est� definida sobre todo o conjunto dos n�meros reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma rela��o \(R:A \to B\), onde \(A\) e \(B\) s�o subconjuntos de \(R\), da seguinte forma:

1. O conjunto \(A\) � o dom�nio da rela��o \(R\), denotado por:

   \[\text{Dom}(R) = \{x\in A: \text{existe } y\in B: (x,y)\in R\}\]

2. O conjunto \(B\) � o contradom�nio da rela��o, denotado por:

   \[\text{CoDom}(R) = \{y\in B: \text{existe } x\in A: (x,y)\in R\}\]

Nota: Se um elemento \(x \in \text{Dom}(R)\), est� relacionado com um elemento \(y \in \text{CoDom}(R)\), denotamos este fato por: \(xRy\), ou de uma forma alternativa, \((x,y)\in R\).

Representa��es gr�ficas de rela��es em A{}B:

\[R1 = \{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)\}\]

\[R2 = \{(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)\}\]

\[R3 = \{(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)\}\]

6 Rela��es Inversas

Seja \(R\) uma rela��o de \(A\) em \(B\). A rela��o inversa de \(R\), denotada por \(R^{-1}\), � definida de \(B\) em \(A\) por:

\[R^{-1} = \{(y,x)\in B{\times}A: (x,y)\in R\}\]

Exemplo: Sejam \(A=\{a,b,c\}\), \(B=\{d,e,f\}\) e \(R\) uma rela��o em \(A{\times}B\), definida por

\[R = \{(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)\}\]

Ent�o:

\[R^{-1} = \{(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)\}\]

Nota: O gr�fico da rela��o inversa \(R^{-1}\) � sim�trico ao gr�fico da rela��o \(R\), com respeito � reta \(y=x\) (identidade).

7 Propriedades de Rela��es

Reflexividade: Uma rela��o \(R\) � reflexiva no conjunto \(A\), se todo elemento de \(A\) est� relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo \(x\in A\): \((x,x)\in R\), isto �, para todo \(x\in A\) tem-se que \(xRx\).

Exemplo: Uma rela��o reflexiva em \(A=\{a,b,c\}\), � dada por:

\[R=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}\]

Simetria: Uma rela��o \(R\) � sim�trica em \(A\) se, para todo \(x\) do dom�nio de \(R\) tal que \(xRy\), tem-se que \(yRx\), ou seja: quaisquer que sejam \(x\in A\) e \(y\in A\) tal que \((x,y)\in R\), segue que \((y,x)\in R\).

Exemplo: Uma rela��o sim�trica em \(A=\{a,b,c\}\), �:

\[R = \{(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)\}\]

Transitividade: Uma rela��o \(R\) em \(A\) � transitiva, se para todo \(x\in A\) tal que \(xRy\) e para todo \(y\in A\) tal que \(yRz\), implica que \(x\) deve estar relacionado com \(z\), ou seja: quaisquer que sejam \(x,y,z\in A\), se \((x,y)\in R\) e \((y,z)\in R\) ent�o \((x,z)\in R\).

Exemplo: Uma rela��o transitiva em \(A=\{a,b,c\}\), �:

\[R = \{(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)\}\]

Anti-simetria: Sejam \(x,y\in A\). Uma rela��o \(R\) � anti-sim�trica em \(A\), se \((x,y)\in R\) e \((y,x)\in R\) implica que \(x=y\). Alternativamente, uma rela��o � anti-sim�trica: Se \(x\) e \(y\) s�o elementos distintos do conjunto \(A\) ent�o \(x\) n�o tem rela��o com \(y\) ou (exclusivo) \(y\) n�o tem rela��o com \(x\), o que significa que o par de elementos distintos \((x,y)\) do conjunto A s� pode estar na rela��o se o par \((y,x)\) n�o estiver.

Exemplo: Uma rela��o anti-sim�trica em \(A=\{a,b,c\}\), �:

\[R = \{(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)\}\]

8 Rela��o de equival�ncia

Uma rela��o \(R\) sobre um conjunto \(A\) n�o vazio � denominada uma rela��o de equival�ncia sobre \(A\) se, e somente se, \(R\) � reflexiva, sim�trica e transitiva.

Exemplo: Se \(A=\{a,b,c\}\) ent�o a rela��o \(R\) em \(A{\times}A\), definida na sequ�ncia, � de equival�ncia:

\[R = \{(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a)\}\]

O que e domínio contradomínio e imagem de uma função?

Qual o conjunto domínio da função *?

Qual e o domínio e o contradomínio de f?

Qual dessas relações pode definir uma função de PP em qq I II III IV?