Toda equação que puder ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0 será chamada equação do segundo grau. O único detalhe é que a, b e c devem ser números reais, e a não pode ser igual a zero em hipótese alguma. Show
Uma equação é uma expressão que relaciona números conhecidos (chamados coeficientes) a números desconhecidos (chamados incógnitas), por meio de uma igualdade. Resolver uma equação é usar as propriedades dessa igualdade para descobrir o valor numérico desses números desconhecidos. Como eles são representados pela letra x, podemos dizer que resolver uma equação é encontrar os valores que x pode assumir, fazendo com que a igualdade seja verdadeira. Nas equações do segundo grau, a técnica mais conhecida para encontrar os valores de x, também chamados resultados, raízes ou zeros, é a fórmula de Bháskara. Essa fórmula será discutida em passos, nos quais geralmente ela é separada em partes para facilitar seu ensino e compreensão. 1 – Determinar os coeficientes da equação Os coeficientes de uma equação são todos os números que não são a incógnita dessa equação, sejam eles conhecidos ou não. Para isso, é mais fácil comparar a equação dada com a forma geral das equações do segundo grau, que é: ax2 + bx + c = 0. Observe que o coeficiente "a" multiplica x2, o coeficiente "b" multiplica x, e o coeficiente “c” é constante. Por exemplo, na seguinte equação: x2 + 3x + 9 = 0 O coeficiente a = 1, o coeficiente b = 3 e o coeficiente c = 9. Na equação: – x2 + x = 0 O coeficiente a = – 1, o coeficiente b = 1 e o coeficiente c = 0. 2 – Encontrar o discriminante O discriminante de uma equação do segundo grau é representado pela letra grega e pode ser encontrado pela seguinte fórmula: Δ = b2 – 4·a·c Nessa fórmula, a, b e c são os coeficientes da equação do segundo grau. Na equação: 4x2 – 4x – 24 = 0, por exemplo, os coeficientes são: a = 4, b = – 4 e c = – 24. Substituindo esses números na fórmula do discriminante, teremos: Δ = b2 – 4·a·c Δ= (– 4)2 – 4·4·(– 24) Δ = 16 – 16·(– 24) Δ = 16 + 384 Δ = 400 3 – Encontrar as soluções da equação Para encontrar as soluções de uma equação do segundo grau usando fórmula de Bháskara, basta substituir coeficientes e discriminante na seguinte expressão: x = – b ± √Δ Observe a presença de um sinal ± na fórmula de Bháskara. Esse sinal indica que deveremos fazer um cálculo para √Δ positivo e outro para √Δ negativo. Ainda no exemplo 4x2 – 4x – 24 = 0, substituiremos seus coeficientes e seu discriminante na fórmula de Bháskara: x = – b ± √Δ x = – (– 4) ± 400 x = 4 ± 20 x = 4 + 20 = 24 = 3 x= 4 – 20 = –16 = –2 Então, as soluções dessa equação são 3 e – 2, e seu conjunto de solução é: S = {3, – 2} Aproveite para conferir nossa videoaula relacionada ao assunto: Equação do 2º grau em , na incógnita x, é toda igualdade do tipo: ou redutível a esse tipo, onde a, b e c são números reais e a é não nulo. A equação é chamada de 2º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a 2. Quando b ≠ 0 e c ≠ 0 (a é sempre não nulo), a equação é chamada de completa. Se b = 0 e ou c = 0, a equação diz-se incompleta. Exemplos 1. 3x2 + 4x - 5 = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 3, b = 4 e c = -5. 2. x2 + 5x = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 1, b = 5 e c = 0. 3. 2x2 - 9 = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 2, b = 0 e c = -9. 4. 3x2 = 0 é uma equação de 2º grau completa com a = 3, b = 0 e c = 0. RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES INCOMPLETAS Quando a equação de 2º grau é incompleta, sua resolução é bastante simples. Vamos analisar caso a caso. 1º caso: b = 0 e c = 0; temos então: Exemplo 2º caso: c = 0 e b ≠ 0; temos então: Exemplo 3º caso: b = 0 e c ≠ 0; temos então: Resolução das equações completasA resolução da equação completa de 2º grau é obtida através da fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático hindu nascido no século XII; por meio da qual sabemos que o valor da incógnita que satisfaz a igualdade é: Fórmula de Bhaskara O número b2 – 4.a.c chama-se discriminante da equação e é representado, geralmente, pela letra grega Δ (delta). Fazendo, então: reescrevemos as soluções da equação como segue: Observação: A fórmula acima só se aplica quando Δ ≥ 0; quando ocorre Δ < 0, a equação não tem soluções reais. Exemplos 1. Para a equação x2 - 5x + 6 = 0, temos: a = 1, b = -5, c = 6 Portanto: Δ = b2 – 4.a.c= (-5)2 – 4.(1).(6) = 25 – 24 = 1 e as raízes são: e o conjunto solução é S = {2, 3} 2. Para a equação x2 - 6x + 9 = 0, temos: a = 1, b = -6, c = 9 Portanto: Δ = b2 – 4.a.c= (-6)2 – 4.(1).(9) = 36 – 36 = 0 e as raízes são: e o conjunto solução é S = {3} 3. Para a equação 3x2 + 4x + 5 = 0, temos: a = 3, b = 4, c = 5 Portanto: Δ = b2 – 4.a.c= (4)2 – 4.(3).(5) = 16 – 60 = -44. Neste caso, como Δ < 0 a equação não tem soluções reais. Logo, o conjunto solução é . Equações biquadradasEquação biquadrada em , na incógnita x, é toda igualdade do tipo: onde a, b e c são números reais e a é não nulo. Para a resolução das equações biquadradas, usamos de um artifício que as transformam em equações do 2º grau. Veja como é simples: fazemos a substituição: e A equação ax4 + bx2 + c = 0 transforma-se, então, em at2 + bt + c = 0, que já sabemos resolver. Exercícios resolvidos1º) Resolver a equação x4 - 13x2 + 36 = 0. Solução Fazemos: obtendo a equação t2 - 13t + 36 = 0. Para esta última, temos: Δ = b2 – 4.a.c = (-13)2 – 4.(1).(36) = 169 – 144 = 25 e, portanto: Agora, achamos a incógnita x. Lembrando que x2 = t, vem: Então, o conjunto solução da equação proposta é S = {-3, -2, 2, 3} 2º) Resolver, em , a equação x4 - 3x2 - 4 = 0. Solução Fazendo a substituição convencional, temos: t2 - 3t - 4 = 0 Para esta última, temos: Δ = b2 – 4.a.c Δ = (-3)2 – 4.(1).(-4) = 9 + 16 = 25 e, portanto: Fazendo a mudança de variável: x2 = t, vem: Resolução irracionaisUma equação é irracional se sua incógnita aparecer sob o sinal de radical (ou elevada a expoente fracionário). Exemplos Em seguida, vamos mostrar algumas equações irracionais que podem ser transformadas em equações do 2º grau. Exercícios resolvidos1º) Resolver a equação Solução Isola-se o radical: Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado: Reduzem-se termos semelhantes e ordena-se a equação, obtém-se: x2 – 5x + 6 = 0, que possui as raízes: x = 2 ou x = 3 Verificação: Para x=2, ⇒ 1+1=2 (verdadeiro!) Para x=3, ⇒ 1+2=3 (verdadeiro!) Portanto, o conjunto solução S = {2, 3} 2º) Resolver a equação Solução Elevando-se ambos os membros da equação ao quadrado: 2x2 – 1 = x2 ⇒ x2 = 1 , que possui as raízes: x = -1 ou x = +1 Verificação: Para x=-1, ⇒ falso! Para x=1, ⇒ verdadeiro! Portanto, o conjunto solução S = {1} Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/equacao-do-segundo-grau/ Quais as características de uma equação do 2 grau?A equação do 2º grau é caracterizada pela variável “x” estar elevada ao quadrado “²”, por isso, sua fórmula geral é: ax² + bx + c = 0. Para que isso seja verdadeiro, os coeficientes “a”,”b” e “c” devem pertencer ao números reais e o “a” deve ser diferente de 0.
Qual a característica principal da função do 2 grau?Uma função polinomial é conhecida como função do 2º grau, ou também como função quadrática, quando em sua lei de formação ela possui um polinômio de grau dois, ou seja, f(x) = ax² +bx +c, em que a, b e c são números reais, e a ≠ 0.
Quais são as características de uma equação?Uma equação é uma sentença matemática que possui uma igualdade e, pelo menos, uma incógnita, ou seja, quando temos o envolvimento de uma expressão algébrica e uma igualdade.
Qual a característica de uma equação do 2º grau incompleta?A equação do 2º grau incompleta não apresenta o coeficiente b e/ou o coeficiente c. Uma equação do 2º grau é conhecida como incompleta quando um dos seus coeficientes, b ou c, é igual a zero.
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