Os pontos (0 1), (1, 2) e (3, k) do plano são colineares o valor de k é igual a

Dois vetores são considerados como sendo colineares quanto têm a mesma direção (ainda que possam ter sentidos opostos). Por outras palavras, dois ou mais vetores são colineares se ao colocarmos retas "por cima" desses vetores, elas forem paralelas. Na figura abaixo, temos uma imagem com 4 vetores, alguns pares de vetores têm o mesmo comprimento, outros têm o mesmo sentido e ainda outros não têm nem o mesmo sentido nem o mesmo comprimento, mas apesar disso, todos eles colineares.

Como verificar se dois vetores do plano são colineares?

Se tivermos um vetor `vec u = (2,6)` e um vetor `vec v = (3,9)`, e quisermos verificar se são colineares, então basta utilizar um "truque" muito simples que consiste em fazer a multiplicação cruzada das coordenadas e verificar se dá o mesmo resultado. Neste exemplo ficaria `2xx9=6xx3`. Como ambos os produtos dão o mesmo resultado, então fica demonstrado que os vetores `vec u` e `vec v` são colineares.

Como verificar se dois vetores do espaço são colineares?

Aqui o processo já é um pouco mais complexo. A definição matemática de vetores colineares diz-nos o seguinte: `EE k in RR : vec u = k vec v`. Para provarmos que dois vetores no espaço são colineares temos que provar que essa constante `k` existe. Vamos supor que temos os vetores `vec u = (2,3,4)` e `vec v = (4,6,8)`. Praticamente sem fazermos cálculos, conseguimos ver que, se multiplicarmos `vec u` por dois então vamos obter `vec v`, logo a constante `k` existe e tem o valor dois. Mas nem sempre é assim tão fácil fazer isso desta forma. Em casos mais complicados, para verificar a colinearidade, o mais fácil é dividir cada coordenada de um vetor pela respetiva coordenada do outro e verificar se o resultado obtido é sempre o mesmo. No exemplo dado anteriormente ficaria `4:2=6:3=8:4`. Sendo verdadeira esta tripla igualdade, concluímos que estamos na presença de dois vetores colineares.

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NUNES, Vitor F. R. "O que são vetores colineares?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/vetores-colineares.php, acedido em 25 de Dezembro de 2022.

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Foram feitos 13 comentários/dúvidas.

04 de Julho de 2019, 23h21

Mensagem de Eva Santos

Dúvida esclarecida com sucesso! Gostei imenso da forma simples e objectiva com que explicam a matéria. Obrigada por disponibilizarem tal! Muito sucesso para vocês. :)

30 de Janeiro de 2020, 13h59

Mensagem de Ana

Tenho uma dúvida.
Se um vetor tiver coordenadas negativas pode ser colinear ao outro? Sendo que o outro não tem coordenadas negativas..

31 de Janeiro de 2020, 08h44

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ana,
Sem dúvida que sim. Vamos supor que temos os seguintes vetores: `vec u = (-2,-3)` e `vec v = (4,6)`, apesar do primeiro ter coordenadas negativas e o segundo não, eles são colineares. Repara que para serem colineares dois vetores não precisam de ter o mesmo sentido, basta que tenham a mesma direção. Quanto ao comprimento, também não é necessário que seja o mesmo, neste caso o segundo vetor mede o dobro do primeiro. Espero ter ajudado!

31 de Janeiro de 2020, 16h24

Mensagem de Ana

Está bem. Obrigada! Quer dizer que sendo assim estes vetores: u= (-2,3) e v= (4,6) são colineares?
visto que um fica 4:(- 2) e o outro 6:3 = -2 e o outro 2, mas mesmo assim são colinares só que são simétricos?

31 de Janeiro de 2020, 16h50

Mensagem de Vitor Nunes

Olá novamente Ana,
Os vetores que dás como exemplo, não são colineares, nem são simétricos. Para serem simétricos teriam que ter o mesmo comprimento e, tal como referi, isso não acontece. Uma última chamada de atenção em relação aos teus cálculos, numa das operações de divisão que efetuaste deu 2 e na outra divisão deu -2, logo não são colineares. Para serem colineares teria que dar o mesmo número, tal como acontece no meu exemplo!

04 de Janeiro de 2021, 23h27

Mensagem de Daniela

Tenho esta pergunta: Determina as coordenadas de um vetor w que satisfaça as condições: norma de w=2 e o vetor u e o vetor w são colineares e têm sentidos opostos

05 de Janeiro de 2021, 10h29

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Daniela,
Penso que o teu enunciado está incompleto, uma vez que não referes quais são as coordenadas do vetor `vec u`. Mas se for mesmo assim, então ambos os vetores podem ser escolhidos por nós, nesse caso poderá ser `vec u = (-1,0)` e `vec w = (2,0)`. Desta forma, estes dois vetores são colineares e o vetor `w` tem norma 2.

07 de Janeiro de 2021, 22h21

Mensagem de João

Dois vetores com as mesmas coordenadas são considerados vetores colineares?

08 de Janeiro de 2021, 08h48

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
A resposta é sim. Forçosamente dois vetores com as mesmas coordenadas têm a mesma direção, logo são vetores colineares.

19 de Janeiro de 2022, 21h43

Mensagem de Rita

Olá, tenho uma duvida, dois vetores colineares têm a mesma norma, ou as normas são diferentes ?

20 de Janeiro de 2022, 08h59

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Rita,
Dois vetores colineares têm de ter obrigatoriamente a mesma direção. Quanto ao comprimento do vetor, ou seja a norma, esta pode ser igual ou diferente. A única obrigatoriedade para ser considerado colinear é mesmo a direção, tanto a norma como o sentido podem ser diferentes ou iguais.

15 de Junho de 2022, 10h22

Mensagem de Jacira

Como verificar se os pontos A(-1;-5;0) B(2;1,3) C(-2;-7;-1) são colineares ?

15 de Junho de 2022, 19h57

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Jacira,
A forma mais fácil de verificar se esses pontos são colineares, consiste nos seguintes dois passos:
1º Calcular as coordenadas dos vetores `vec(AB)` e `vec(BC)`;
2º Verificar se os vetores obtidos anteriormente são colineares.
Se os vetores forem colineares, isso significa que os pontos são colineares, caso contrário, não são.

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