O número zero é real inteiro e racional

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

N�meros racionais

Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Rela��o entre n�meros racionais e fra��es
• 2 D�zima peri�dica
• 3 Conex�o entre n�meros racionais e n�meros reais
• 4 A geratriz de uma d�zima peri�dica
• 5 N�meros irracionais
• 6 Representa��o, ordem e simetria dos racionais
• 7 M�dulo de um n�mero racional
• 8 Soma (adi��o) de n�meros racionais
• 9 Propriedades da soma de n�meros racionais
• 10 Produto (multiplica��o) de n�meros racionais
• 11 Propriedades do produto de n�meros racionais
• 12 Propriedade distributiva (mista)
• 13 Potencia��o de n�meros racionais
• 14 Ra�zes de n�meros racionais
• 15 M�dia aritm�tica e m�dia ponderada
• 16 M�dias geom�trica e harm�nica

1 Rela��o entre n�meros racionais e fra��es

Um n�mero racional pode ser escrito na forma

\[\frac{m}{n}\]

onde \(m\) e \(n\) s�o n�meros inteiros, sendo \(n\neq 0\), isto �, \(n\) deve ser diferente de zero. Comumente usamos \(m/n\) para significar a divis�o de \(m\) por \(n\). Quando n�o existe possibilidade de divis�o, simplesmente usamos uma letra como \(q\) para entender que este n�mero � um n�mero racional.

Observamos que os n�meros racionais podem ser obtidos atrav�s da raz�o (em Latim: ratio=raz�o=divis�o=quociente) entre dois n�meros inteiros, motivo pelo qual, o conjunto de todos os n�meros racionais � denotado pela letra \(Q\) de quociente. Assim, � comum lermos na literatura a nota��o:

\[Q = \{m/n: m,n\in Z, n\neq 0\}\]

Quando h� interesse, usamos \(Q+\) para entender o conjunto dos n�meros racionais positivos e \(Q-\) para o conjunto dos n�meros racionais negativos. O n�mero zero � tamb�m um n�mero racional.

No nosso link Fra��es j� detalhamos o estudo de fra��es e como todo n�mero racional pode ser posto na forma de uma fra��o, ent�o todas as propriedades v�lidas para fra��es s�o tamb�m v�lidas para n�meros racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos n�meros racionais.

2 D�zima peri�dica

Uma d�zima peri�dica � um n�mero real da forma:

\[m,npppp\cdots\]

onde \(m\), \(n\) e \(p\) s�o n�meros inteiros, sendo que o algarismo \(p\) se repete indefinidamente, raz�o pela qual usamos os tr�s pontos: \(\cdots\) ap�s o mesmo. A parte que se repete � denominada per�odo.

Em alguns livros � comum o uso de uma barra sobre o per�odo ou uma barra sob o per�odo ou o per�odo dentro de par�nteses, que usamos, para facilidade de escrita na montagem desta p�gina.

Exemplos: D�zimas peri�dicas

1. \(0,3333333\cdots = 0,(3)\);
2. \(1,6666666\cdots = 1,(6)\);
3. \(12,121212\cdots = 12,(12)\);
4. \(0,9999999\cdots = 0,(9)\);
5. \(7,1333333\cdots = 7,1(3)\).

Uma d�zima peri�dica � simples se a parte decimal � formada apenas pelo per�odo. Alguns exemplos s�o:

1. \(0,333333\cdots = 0,(3) = 0,(3)\);
2. \(3,636363\cdots = 3,(63) = 3,(63)\).

Uma d�zima peri�dica � composta se possui uma parte que n�o se repete entre a parte inteira e o per�odo. Por exemplo:

1. \(0,83333333\cdots = 0,8(3)\);
2. \(0,72535353\cdots = 0,72(53)\).

Uma d�zima peri�dica � uma soma infinita de n�meros decimais. Alguns exemplos:

1. \(0,3333\cdots= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +\cdots\)
2. \(0,8333\cdots= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \cdots\)
3. \(4,7855\cdots= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + \cdots\)

3 Conex�o entre n�meros racionais e n�meros reais

Um fato importante que relaciona os n�meros racionais com os n�meros reais � que todo n�mero real que pode ser escrito como uma d�zima peri�dica � um n�mero racional. Isto significa que podemos transformar uma d�zima peri�dica em uma fra��o.

O processo para realizar esta tarefa ser� mostrado na sequ�ncia com alguns exemplos num�ricos. Para pessoas interessadas em um estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequ�ncia, deve-se aprofundar no estudo de s�ries geom�tricas no �mbito do Ensino M�dio ou mesmo estudar n�meros racionais do ponto de vista do C�lculo Diferencial e Integral ou da An�lise na Reta no �mbito do Ensino Superior.

4 A geratriz de uma d�zima peri�dica

Dada uma d�zima peri�dica, qual � a fra��o que d� origem a esta d�zima? Esta fra��o � de fato um n�mero racional denominado a geratriz da d�zima peri�dica.

Para obter a geratriz de uma d�zima peri�dica devemos trabalhar com o n�mero dado pensado como uma soma infinita de n�meros decimais.

Para mostrar como funciona o m�todo, utilizamos v�rios exemplos num�ricos.

Tipo 1: Seja \(S\) a d�zima peri�dica \(0,3333333\cdots\), isto �, \(S=0,(3)\). Observe que o per�odo tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este n�mero como uma soma de infinitos n�meros decimais da forma:

\[S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +\cdots\]

Multiplicando esta soma infinita por \(10^1=10\) (o per�odo tem \(1\) algarismo), obtemos:

\[10S = 3 + [0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +\cdots]\]

Observe que a soma que est� em colchetes � \(S\), assim podemos escrever:

\[10S = 3+S\]

donde segue que

\[9S = 3\]

Simplificando, obtemos:

\[S = 1/3 = 0,33333\cdots = 0,(3)\]

Exerc�cio: Usando o mesmo argumento que antes, voc� saberia mostrar que:

\[0,99999\cdots = 0,(9) = 1\]

Tipo 2: Vamos tomar agora a d�zima peri�dica \(T=0,313131\cdots\), isto �, \(T=0,(31)\). O per�odo tem agora \(2\) algarismos. Vamos escrever este n�mero como uma soma de infinitos n�meros decimais da forma:

\[T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +\cdots\]

O produto desta soma infinita por \(10^2=100\) (o per�odo tem \(2\) algarismos), gera:

\[100 T = 31 + [0,31 + 0,0031 + 0,000031 +\cdots]\]

Observe que a express�p em colchetes � igual a \(T\), logo:

\[100T = 31 + T\]

de onde segue que

\[99T = 31\]

e simplificando, obtemos

\[T = 31/99 = 0,31313131\cdots = 0,(31)\]

Tipo 3: Um terceiro tipo de d�zima peri�dica � \(T=7,1888\cdots\), isto �, \(T=7,1(8)\). Observe que existe um n�mero com \(1\) algarismo ap�s a v�rgula enquanto que o per�odo tem tamb�m \(1\) algarismo. Escrevemos este n�mero como uma soma de infinitos n�meros decimais da forma:

\[R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 + \cdots \]

Manipule a soma infinita como se fosse um n�mero comum e passe a parte que n�o se repete para o primeiro membro para obter:

\[R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +\cdots \tag{A}\]

Multiplique agora a soma infinita por 10^1=10 (o per�odo tem 1 algarismo), para obter:

\[10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 + \cdots \tag{B}\]

S�o iguais as express�es \(A\) e \(B\). Realize a diferen�a membro a membro a pen�ltima express�o da �ltima para obter:

\[10(R - 7,1) - (R - 7,1) = 0,8\]

Assim:

\[10R - 71 - R + 7,1 = 0,8\]

Para evitar os n�meros decimais, multiplicamos toda a express�o por 10 e simplificamos para obter:

\[90R = 647\]

Obtemos ent�o:

\[T = 647/90 = 7,1888\cdots = 7,1(8)\]

Tipo 4: Outra d�zima peri�dica � \(T=7,004004004\cdots\), ou seja, \(U=7,(004)\). O per�odo tem \(3\) algarismos, sendo que os dois primeiros s�o iguais a zero e apenas o terceiro � n�o nulo. Decompomos este n�mero como uma soma de infinitos n�meros decimais da forma:

\[U = 7 + 0,004 + 0,000004 + 0,000000004 +\cdots\]

Manipule a soma infinita como se fosse um n�mero comum e passe a parte que n�o se repete para o primeiro membro para obter:

\[U-7 = 0,004 + 0,000004 + 0,000000004 +\cdots\]

Multiplique agora a soma infinita por \(10^3=1000\) (o per�odo tem \(3\) algarismos), para obter:

\[1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,000004 + 0,000000004 +\cdots\]

S�o iguais as duas �ltimas express�es! Subtraia membro a membro a pen�ltima express�o da �ltima para obter:

\[1000(U-7) - (U-7) = 4\]

Assim:

\[1000U - 7000 - U + 7 = 4\]

Obtemos ent�o

\[999 U = 6997\]

que pode ser escrita na forma:

\[T = 6997/999 = 7,004004\cdots = 7,(004)\]

5 N�meros irracionais

Um n�mero real � irracional se ele n�o pode ser escrito na forma de uma fra��o ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma d�zima peri�dica.

Exemplo: O n�mero real

\[x=0,10100100010000100000\cdots\]

� um n�mero irracional, embora seja semelhante a uma d�zima peri�dica. O n�mero de zeros ap�s o algarismo \(1\) aumenta a cada passo.

Existem infinitos n�meros reais que n�o s�o d�zimas peri�dicas e dois n�meros irracionais muito importantes, s�o:

\begin{align} e &= 2,718281828459045\cdots \\ \pi &= 3,141592653589793\cdots \end{align}

que s�o usados nas mais diversas aplica��es pr�ticas como: c�lculos de �reas, volumes, centros de gravidade, previs�o populacional, etc

Exerc�cio: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 m. O resultado num�rico � um n�mero irracional e pode ser obtido atrav�s da rela��o de Pit�goras. O resultado � a raiz quadrada de \(2\), denotada por \(\sqrt{2}\;\text{m}\).

6 Representa��o, ordem e simetria dos racionais

O conjunto \(Q\) dos n�meros racionais pode ser representado geometricamente por uma reta numerada. Consideramos o n�mero \(0\) como a origem e o n�mero \(1\) em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a dist�ncia entre \(0\) e \(1\) e colocamos os n�meros racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os n�meros racionais obedecem � crescente da esquerda para a direita, raz�o pela qual indicamos com uma seta para a direita. Isto � adotado por conven��o, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Um n�mero racional \(r\) � menor do que outro n�mero racional \(s\) se a diferen�a \(r-s\) � positiva. Quando esta diferen�a \(r-s\) � negativa, dizemos que o n�mero \(r\) � maior do que \(s\). Para indicar que \(r\) � menor do que \(s\), e escrevemos:

\[r < s\]

Do ponto de vista geom�trico, um n�mero que est� � esquerda � menor do que um n�mero que est� � direita na reta numerada.

Todo n�mero racional \(q\), possui um elemento denominado sim�trico ou oposto \(-q\) e ele � caracterizado pelo fato geom�trico que tanto \(q\) como \(-q\) est�o � mesma dist�ncia da origem do conjunto \(Q\) que � \(0\). Como exemplo, temos que:

1. O oposto de \(0\) � \(-0=0\).
2. O oposto de \(3/4\) � \(-3/4\).
3. O oposto de \(5\) � \(-5\).

Do ponto de vista geom�trico, o sim�trico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho localizado na origem. A dist�ncia do ponto real \(q\) ao espelho � a mesma que a dist�ncia do ponto virtual \(-q\) ao espelho.

7 M�dulo de um n�mero racional

O m�dulo ou valor absoluto de um n�mero racional \(q\) � maior valor (m�ximo) entre o n�mero \(q\) e seu oposto \(-q\), denotado pelo uso de duas barras verticais \(|\;\;|\), por:

\[|q| = \max\{-q,q\}\]

Exemplos: \(|0|=0\), \(|2/7|=2/7\) e \(|-6/7|=6/7\).

Do ponto de vista geom�trico, o m�dulo de um n�mero racional \(q\) � a dist�ncia comum do ponto \(q\) at� a origem (zero) que � a mesma dist�ncia do ponto \(-q\) � origem, na reta num�rica racional.

8 Soma (adi��o) de n�meros racionais

Como todo n�mero racional � uma fra��o ou pode ser escrito na forma de uma fra��o, definimos a adi��o entre os n�meros racionais \(a/b\) e \(c/d\), da mesma forma que a soma de fra��es, atrav�s de:

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}\]

9 Propriedades da soma de n�meros racionais

1. Fecho: O conjunto \(Q\) � fechado para a opera��o de adi��o, isto �, a soma de dois n�meros racionais ainda � um n�mero racional.
2. Associativa: Para quaisquer \(a,b,c\in Q\):

   \[a+(b+c) = (a+b)+c\]

3. Comutativa: Para quaisquer \(a,b\in Q\):

   \[a + b = b + a\]

4. Elemento neutro: Existe \(0\in Q\), que adicionado a todo \(q\in Q\), proporciona o pr�prio \(q\), isto �:

   \[q + 0 = q\]

5. Elemento oposto: Para cada \(q\in Q\), existe \(-q\in Q\), tal que

   \[q + (-q) = 0\]

6. Subtra��o de n�meros racionais: A subtra��o de dois n�meros racionais \(p\) e \(q\) � a pr�pria opera��o de adi��o do n�mero \(p\) com o oposto de \(q\), isto �:

   \[p - q = p + (-q)\]

   Na verdade, esta � uma opera��o desnecess�ria no conjunto dos n�meros racionais.

10 Produto (multiplica��o) de n�meros racionais

Como todo n�mero racional � uma fra��o ou pode ser escrito na forma de uma fra��o, definimos o produto de dois n�meros racionais \(a/b\) e \(c/d\), da mesma forma que o produto de fra��es, atrav�s de:

\[\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}\]

O produto dos n�meros racionais \(a\) e \(b\) tamb�m pode ser indicado por \(a{\times}b\), \(a.b\) ou ainda \(ab\) sem qualquer sinal entre as letras.

Para realizar a multiplica��o de n�meros racionais, devemos obedecer � mesma regra de sinais que vale em toda a Matem�tica:

1. \((+1){\times}(+1)=(+1)\)
2. \((+1){\times}(-1)=(-1)\)
3. \((-1){\times}(+1)=(-1)\)
4. \((-1){\times}(-1)=(+1)\)

Assim, podemos concluir que o produto de dois n�meros com o mesmo sinal � positivo, e o produto de dois n�meros com sinais diferentes � negativo.

11 Propriedades do produto de n�meros racionais

1. Fecho: O conjunto \(Q\) � fechado para a multiplica��o, isto �, o produto de dois n�meros racionais ainda � um n�mero racional.
2. Associativa: Para quaisquer \(a,b,c\in Q\):

   \[a{\times}( b{\times}c ) = ( a{\times}b ){\times}c\]

3. Comutativa: Para quaisquer \(a,b\in Q\):

   \[a{\times}b = b{\times}a\]

4. Elemento neutro: Existe \(1\in Q\), que multiplicado por todo \(q\in Q\), produz o pr�prio \(q\), isto �:

   \[q{\times}1 = q\]

5. Elemento inverso: Para cada \(q=a/b\in Q\), \(q\neq 0\), existe \(q^{-1}=b/a\in Q\), tal que

   \[q{\times}q^{-1} = 1\]

   Esta �ltima propriedade pode ser escrita como:

   \[\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1\]

6. Divis�o de n�meros racionais: A divis�o de dois n�meros racionais \(p\) e \(q\) � a multiplica��o do n�mero \(p\) pelo inverso de \(q\), isto �:

   \[p \div q = p{\times}q^{-1}\]

Talvez voc� j� tenha sido questionado: Porque a divis�o de uma fra��o da forma \(a/b\) por outra da forma \(c/d\) � o produto da primeira pelo inverso da segunda? A divis�o de n�meros racionais esclarece a quest�o:

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\]

Na verdade, a divis�o � um produto de um n�mero racional pelo inverso do outro, assim esta opera��o � tamb�m desnecess�ria no conjunto dos n�meros racionais.

12 Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para quaisquer \(a,b,c\in Q\):

\[a{\times}(b+c) = (a{\times}b)+(a{\times}c)\]

13 Potencia��o de n�meros racionais

A pot�ncia \(q^n\) do n�mero racional \(q\) � um produto de \(n\) fatores iguais a \(q\). O n�mero \(q\) � denominado a base e \(n\) � o expoente.

\[q^n = q{\times}q{\times}q{\times}\cdots{\times}q \tag{$n$ vezes}\]

Exemplos:

1. \((2/5)^3 =(2/5) (2/5){\times}(2/5) = 8/125\)
2. \((-1/2)^3=(-1/2){\times}(-1/2){\times}(-1/2) = -1/8\)
3. \((-5)^2 =(-5){\times}(-5) = 25\)
4. \((+5)^2 =(+5){\times}(+5) = 25\)

Nota: Se o expoente � \(n=2\), a pot�ncia \(q^2\) pode ser lida como: \(q\) elevado ao quadrado e se o expoente � \(n=3\), a pot�ncia \(q^3\) pode ser lida como: \(q\) elevado ao cubo. Isto prov�m do fato que �rea do quadrado pode ser obtida por \(A=q^2\) onde \(q\) � a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por \(V=q^3\) onde \(q\) � a medida da aresta do cubo.

14 Ra�zes de n�meros racionais

A raiz \(n\)-�sima (raiz de ordem \(n\)) de um n�mero racional \(q\) � a opera��o para obter um outro n�mero racional \(r\) que elevado � pot�ncia \(n\) fornece o n�mero \(q\). O n�mero \(n\) � o �ndice da raiz enquanto que o n�mero \(q\) � o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical). A nota��o �:

\[r=\sqrt[n]{q} \quad \text{equivale a} \quad q=r^n\]

A raiz quadrada (raiz de ordem \(2\)) de um n�mero racional \(q\) � a opera��o que obt�m um outro n�mero racional \(r\geq 0\) que elevado ao quadrado seja igual ao n�mero \(q\), isto �, \(r^2=q\).

Nota: N�o existe a raiz quadrada de um n�mero racional negativo no conjunto dos n�meros racionais. A exist�ncia de um n�mero cujo quadrado seja igual a um n�mero negativo � estudada mais tarde no contexto dos N�meros Complexos.

Exemplos:

1. \(\sqrt[3]{125} = 5\) pois \(5^3=125\).
2. \(\sqrt[3]{-125} = -5\) pois \((-5)^3=-125\).
3. \(\sqrt{144} = 12\) pois \(12^2=144\).
4. \(\sqrt{144}\) n�o � igual a \(-12\) embora \((-12)^2=144\).

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais did�ticos e at� mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de]a express�o:

\[\sqrt{9} = \pm 3\]

mas isto est� errado. O certo �:

\[\sqrt{9} = +3\]

pois n�o existe um n�mero racional \(q < 0\) que multiplicado por ele mesmo resulte em um n�mero negativo.

A raiz c�bica (de ordem \(3\)) de um n�mero racional \(q\) � a opera��o que resulta na obten��o de um um outro n�mero racional que elevado ao cubo seja igual ao n�mero \(q\). Aqui n�o restringimos os nossos c�lculos s�o v�lidos para n�meros positivos, negativos ou o pr�prio zero.

Exemplos:

1. \(\sqrt[3]{8} =+2\), pois \(2^3 = 8\).
2. \(\sqrt[3]{-8} =-2\), pois \((-2)^3 = -8\).
3. \(\sqrt[3]{27} =+3\), pois \(3^3 = 27\).
4. \(\sqrt[3]{-27}=-3\), pois \((-3)^3 = -27\).

Nota: Obedecendo � regra dos sinais para a multiplica��o de n�meros racionais, conclu�mos que:

1. Se o �ndice \(n\) da raiz � par, n�o existe raiz de n�mero racional negativo.
2. Se o �ndice \(n\) da raiz � �mpar, � poss�vel extrair a raiz de qualquer n�mero racional, positivo ou negativo.

15 M�dia aritm�tica e m�dia ponderada

M�dia aritm�tica: Sejam \(n\) n�meros racionais: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3,\cdots\), \(x_n.\) A m�dia aritm�tica entre esses \(n\) n�meros � a soma dos mesmos dividida por \(n\), isto �:

\[A= \frac{x_1 + x_2 + x_3 +\cdots+ x_n}{n}\]

Exemplo: Se um grupo de \(7\) pessoas tem as idades: \(12,54,67,15,84,24,38\), ent�o a idade m�dia do grupo � calculada pela m�dia aritm�tica:

\[A = \frac{12+54+67+15+84+24+38}{7} = \frac{352}{7}= 42\]

o que significa que a idade m�dia � de \(42\) anos.

M�dia aritm�tica ponderada: Seja uma cole��o de \(n\) n�meros racionais: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3,\cdots\), \(x_n\), de modo que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: \(p_1\), \(p_2\), \(p_3,\cdots\), \(p_n\). A m�dia aritm�tica ponderada desses \(n\) n�meros � a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida pela soma dos seus pesos, isto �:

\[P= \frac{x_1 p_1+x_2 p_2+x_3 p_3+\cdots+x_n p_n}{p_1+p_2+p_3+\cdots+p_n}\]

Exemplo: Um grupo de \(64\) pessoas, que trabalha (com sal�rio por dia), em uma empresa � formado por sub-grupos com as seguintes caracter�sticas:

• 12 pessoas ganham $50,00;
• 10 pessoas ganham $60,00;
• 20 pessoas ganham $25,00;
• 15 pessoas ganham $90,00;
• 7 pessoas ganham $120,00.

Para calcular a m�dia salarial di�ria de todo o grupo devemos usar a m�dia aritm�tica ponderada:

\[P= \frac{50{\times}12+60{\times}10+25{\times}20+90{\times}15+120{\times}7}{12+10+20+15+7} = \frac{3890}{64} =60,78\]

16 M�dias geom�trica e harm�nica

M�dia geom�trica: Seja uma cole��o de \(n\) n�meros racionais n�o negativos: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3,\cdots\), \(x_n.\) A m�dia geom�trica entre esses \(n\) n�meros � a raiz \(n\)-�sima do produto entre esses n�meros, isto �:

\[G = \sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 \cdots x_n}\]

Exemplo: A m�dia geom�trica entre os n�meros \(12\), \(64\), \(126\) e \(345\), � obtida por:

\[G = \sqrt[4]{12{\times}64{\times}126{\times}345} = 76,013\]

Aplica��o pr�tica: Dentre todos os ret�ngulos com a �rea igual a \(64\;\text{cm}^2\), qual � o ret�ngulo cujo per�metro � o menor poss�vel, isto �, o mais econ�mico? A resposta a este tipo de quest�o � dada pela m�dia geom�trica entre as medidas do comprimento \(a\) e da largura \(b\), uma vez que \(ab=64\).

A m�dia geom�trica \(G\) entre \(a\) e \(b\) fornece a medida desejada.

\[G = \sqrt{a{\times}b} = \sqrt{64} = 8\]

Resposta: � o ret�ngulo cujo comprimento mede 8 cm e a altura tamb�m mede 8 cm, logo s� pode ser um quadradom cujo per�metro mede p=32 cm. Em qualquer outra situa��o em que as medidas dos comprimentos s�o diferentes das alturas, mas obtemos per�metros maiores do que 32 cm.

Interpreta��o gr�fica: A m�dia geom�trica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

1. Considere \(AB\) e \(BC\) segmentos de reta.
2. Trace um segmento de reta horizontal contendo estes segmentos e a jun��o dos segmentos \(AB\) e \(BC\), de modo que eles formam segmentos justapostos sobre a mesma reta.
   
3. Dessa jun��o aparece um novo segmento \(AC\).
4. Obtenha o ponto m�dio \(O\) deste segmento e com um compasso centrado em \(O\) e raio \(OA\), trace uma semi-circunferencia come�ando em \(A\) e terminando em \(C\).
5. O segmento vertical \(BD\) deve ser tra�ado perpendicular ao segmento \(AC\).
6. A medida do segmento \(BD\) � a m�dia geom�trica das medidas dos segmentos \(AB\) e \(BC\). O ponto D pertence � semi-circunfer�ncia.

M�dia harm�nica: Seja uma cole��o de \(n\) n�meros racionais positivos: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(\cdots\), \(x_n.\) A m�dia harm�nica \(H\) entre esses \(n\) n�meros � a divis�o de \(n\) pela soma dos inversos desses \(n\) n�meros:

\[\frac{n}{H}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\cdots+\frac{1}{x_n}\]

Aplica��es pr�ticas: Para os interessados por aplica��es do conceito de harmonia, m�dia harm�nica e harm�nico global, visite o nosso link Harmonia.

Porque o zero e um número inteiro?

E um número inteiro racional e real?

Por que o zero e um número racional?

Quais são os números reais?