O próximo número da P.G. é o número atual multiplicado por q. Show Exemplo: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...), onde a razão é 2 A razão pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações). Para descobrir qual a razão de uma PG, basta escolher qualquer número da seqüência, e dividir pelo número anterior. FÓRMULA DO TERMO GERALA seguinte fórmula pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma seqüência em progressão geométrica: an = a1 . q(n - 1) onde a é um termo, então a1 refere-se ao primeiro termo. No lugar de n colocamos o número do termo que queremos encontrar. Exemplo:
CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.G.As PG's podem ser divididas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão:
Neste tipo de PG, a razão é negativa, o que fará com que a seqüência numérica seja composta de números negativos e positivos, se intercalando. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde a razão é -2
Na PG crescente, a razão é sempre positiva, e por isto a seqüência será formada por números crescentes, como: (1, 3, 9, 27, 81, ...), onde a razão é 3.
Nesta PG, a seqüência numérica tem sempre os mesmos números, podendo ter a exceção do primeiro. Para isso, a razão deve ser sempre 0 ou 1: (4, 0, 0,0,0,0,0,0,0, ...) onde a razão é 0
As progressões geométricas decrescentes tem a razão sempre positiva e diferente de zero, e os números da seqüência são sempre menores do que o número anterior: (64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128,
..) razão = 1/2 Exemplos: Para obter os termos da PG = {3, 9, 27, 81}, devemos obter a razão desta PG e como esta é obtida pela divisão do termo posterior pelo termo anterior, temos que q = 9/3 = 3. Como a1=3 e n=4, substituímos os dados na formula da soma dos termos de uma PG finita, obtemos: S4 = 3. (34-1)/(3-1) = 3(81-1)/2= 3 × 80/2 = 120 Para obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PG cuja razão é q = 1 e a1 = 2, podemos identificar a PG com o conjunto X = {2, 2, 2, 2, 2}. Como a razão da PG é q = 1, temos que a soma dos seus termos é obtida por S5 = 2 × 5 = 10. Uma sequência numérica é chamada de progressão aritmética, ou apenas PA, se a diferença entre qualquer um de seus termos e o termo imediatamente anterior é sempre a mesma. Observe o exemplo abaixo em que a sequência numérica cumpre essa definição: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …) Observe nesse exemplo que, independentemente do termo escolhido, exceto o primeiro, a diferença entre ele e seu antecessor é sempre 2. Essa diferença é chamada de razão da Progressão Aritmética. Classificação das progressões aritméticas Uma progressão aritmética pode ser classificada de três maneiras: crescente, constante ou decrescente. O primeiro caso acontece quando a razão é positiva. Nesse caso, um termo qualquer é sempre maior que seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão 5 (número positivo). (2, 7, 12, 17, …) O segundo caso acontece quando a razão é igual a zero. Nesse caso, qualquer termo é igual ao seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão zero: (1, 1, 1, 1, …) O terceiro caso acontece quando a razão é negativa. Nesse caso, qualquer termo é menor que seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão - 2 (número negativo). (10, 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …) Termo geral de uma PA Quando conhecemos o primeiro termo de uma PA (a1) e sua razão, podemos encontrar um termo que ocupa qualquer outra posição sem que haja necessidade de escrever toda a sequência numérica. Para tanto, utilizamos a seguinte fórmula: an = a1 + (n – 1)r an é o termo que se quer descobrir e n é a posição que ele ocupa. Veja um exemplo: dada uma PA de razão 7, com primeiro termo igual a 5, como encontrar o quarto termo dessa PA sem escrever toda a sequência numérica? A partir da fórmula acima, escrevemos: an = a1 + (n – 1)r a4 = 5 + (4 – 1)7 a4 = 5 + (3)7 a4 = 5 + 21 a4 = 26 Para conferir, vamos escrever toda a sequência. O primeiro termo é 5, e o segundo termo tem que ser igual ao primeiro somado a 7, que é a razão da PA. Isso porque qualquer termo menos seu antecessor resulta na razão. Para encontrar o terceiro termo, adicionamos 7 ao segundo. Para encontrar o quarto termo, adicionamos 7 ao terceiro. Os resultados são: 5, 12, 19, 26 Essa fórmula é mais usada para encontrar termos que ocupam posições muito distantes do início da PA, em casos onde não seria possível escrever toda a sequência para verificar o termo em questão. Veja um exemplo: Nas mesmas circunstâncias do exemplo anterior, determine o termo 700°. an = a1 + (n – 1)r a700 = 5 + (700 – 1)7 a700 = 5 + (699)7 a700 = 5 + 4893 a700 = 4898 Soma dos termos de uma PA finita Também conhecida como soma dos n primeiros termos de uma PA, tendo em mãos o primeiro termo, o último e o número de termos entre eles (contando com os dois), é possível encontrar a soma dos termos de uma PA sem que seja necessário somá-los realmente. A fórmula para isso é a seguinte: Sn = (a1 + an)n Exemplo: Calcule a soma dos 100 primeiros termos da PA seguinte: (1, 2, 3, 4, …) Em outras palavras, calcule a soma de todos os números naturais que vão de 1 a 100. Sabendo que o primeiro termo é 1 e o último é 100 e que essa PA possui 100 termos, calculamos: Sn = (a1 + an)n S100 = (1 + 100)100 S100 = (101)100 S100 = 10100 S100 = 5050
Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto: Como encontrar a razão de uma sequência?Para encontrar a razão, basta calcular a diferença entre dois termos consecutivos: 5 – 1 = 4; então, nesse caso, r = 4 . 2º passo: encontrar o termo geral. Como sabemos que a1= 1 e r = 4, vamos substituir na fórmula.
O que é a razão de uma sequência?Sequência de números ordenados por uma razão
A progressão aritmética (PA) representa uma sequência numérica em que a diferença entre um termo e o seu antecessor possui o mesmo valor. A diferença comum entre esses termos é dada por uma constante, “r”, chamada de razão da progressão aritmética.
Qual a razão de 5 10 15 20?A sequência dos números está aumentando de 5 em 5 (5+5 = 10, 10+5 = 15, 15+5 = 20). Portanto, a razão da PA é de 5.
Qual a razão de PA de sequência (7 resposta(s) - Contém resposta de Especialista
Qual a razão da PA de sequência (-18,-11,-4,...)? A razão da PA é 7, pois qualquer termo é igual ao antecessor somado 7.
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Como descobrir a razão de uma sequência?
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