O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes. Show
Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída de y possibilidades, então existem x . y possibilidades. Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades. Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne os métodos para resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de possibilidades para determinar a probabilidade de fenômenos. Exemplo 1 João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro histórico. De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro histórico passando pelo shopping? Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil para analisar a estrutura de um problema e visualizar o número de combinações. Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando o diagrama de árvore. Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12. Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, efetuando a multiplicação das possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12. Exemplo 2 Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos menus com entrada (E), prato principal (P) e sobremesa (S). Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. Exercícios resolvidosQuestão 1Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala 3 calças, 4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações Ana pode formar com uma calça, uma blusa e um sapato? a) 12 combinações Ver Resposta Alternativa correta: c) 24 combinações. Observe que para cada uma das 4 blusas, Ana tem 3 opções de calça e duas opções de sapato. Portanto, 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades. Sendo assim, Ana pode formar 24 combinações com as peças da mala. Confira os resultados com a árvore de possibilidades. Questão 2Um professor elaborou uma prova com 5 questões e os alunos deveriam respondê-la assinalando verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das questões. De quantas maneiras distintas o teste poderia ser respondido? a) 25 Ver Resposta Alternativa correta: d) 32 respostas possíveis. Existem duas opções distintas de resposta numa sequência de cinco questões. Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 2.2.2.2.2 = 32 respostas possíveis para o teste. Questão 3De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5? a) 200 Ver Resposta Alternativa correta: d) 100. O número formado deve conter 3 algarismos para preencher a posição de centena, dezena e unidade. Na primeira posição não podemos colocar o número 0, pois seria o mesmo que ter um número com 2 algarismos. Por isso, para a centena temos 5 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5). Já para a segunda posição não podemos repetir o número que foi usado para centena, mas podemos utilizar o zero, portanto na dezena temos também 5 opções de algarismos. Como nos foi dado 6 algarismos (0, 1, 2, 3, 4 e 5) e dois que foram utilizados anteriormente não podem ser repetidos, então para a unidade temos 4 opções de algarismos. Sendo assim, 5 x 5 x 4 = 100. Temos 100 maneiras de escrever um número com 3 algarismos distintos utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Adquira mais conhecimento com os textos a seguir:
Quantos números de três algarismos é possível formar com os algarismos 0 1 2 3 4 5 é 6?336 números. Com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais de 3 algarismos existem? Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens. Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões.
Quantos números de 3 algarismos posso formar com os algarismo 0 1 2 3 4 5?Para os das dezenas e unidades, há 8 cada. Logo, podemos formar 7 x 8 x 8 = 448 números de 3 algarismos com os algarismos dados.
Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os números 0 1 2 3 4 5 é 6?5x4x3x1 = 60 números. Se terminar com o algarismo 4, teremos 60 possibilidades.
Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8?3 resposta(s)
Respostas: 336 possibilidades!
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