Ao passar sua mão direita por todos os vértices e arestas de um poliedro

D4: MATEMÁTICA - Ensino Médio

D4: Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.

01

(CEB).

Pela Relação de Euler, tem-se que [tex] F + V = A + 2[tex], onde F é o número de faces, V o número de vértices e, A o número de arestas.

Qual é o número de faces de um poliedro convexo, que tem 9 arestas e 6 vértices?

Como esse poliedro tem A = 9 arestas e V = 6 vértices. Logo, o número de faces é:

[tex] F + V = A + 2 [tex]

[tex] F + 6 = 9 + 2 [tex]

[tex] F + 6 = 11 - 6 [tex]

[tex] F = 5\ faces [tex]

Portanto, opção "C".

02

(CEB).

Ao passar sua mão direita por todos os vértices e arestas de um octaedro, somente uma vez, um deficiente visual percebe que passou por 6 vértices e 12 arestas.

Pela relação de Euler, [tex] F + V = A + 2[tex], o número de faces desse poliedro é, então, igual a:

Como esse poliedro tem A = 12 arestas e 6 vértices. Logo, o número de faces é:

[tex] F + V = A + 2 [tex]

[tex] F + 6 = 12 + 2 [tex]

[tex] F = 14 - 6 [tex]

[tex] F = 8\ faces [tex]

Portanto, opção "C".

No texto foi informado que o poliedro é um octaedro (8 faces).

Logo, opção "C".

03

(Supletivo 2011).

A figura, representada abaixo, é de um prisma com x faces, y vértices e z arestas.

Qual é o valor de x + y + z?

Observando a figura, obtemos:

x = 8 faces

y = 12 vértices

z = 18 arestas

Logo:

[tex] x + y + z = 8 + 12 + 18 = 38 [tex]

Portanto, opção "D".

04

(1ª PD – 2012).

Um aluno ao passar a mão por um poliedro percebe que ele passou por 4 faces e 6 vértices.

O número de arestas desse poliedro é igual a

Como esse poliedro tem F = 4 faces e V = 6 vértices. Logo, o número de arestas é:

[tex] F + V = A + 2 [tex]

[tex] 4 + 6 = A + 2 [tex]

[tex] 10 - 2 = A [tex]

[tex] A = 8\ arestas [tex]

Portanto, opção "D".

05

(SEAPE).

Observe a figura abaixo.

Quantos vértices tem essa figura?

Pela figura a seguir, são 12 vértices.

06

(Saresp-2009).

Um poliedro convexo tem 20 vértices e 30 arestas.

(Lembre-se: V + F = 2 + A).

Este poliedro é um:

icosaedro (20 faces).

cubo (6 faces).

dodecaedro (12 faces).

octaedro (8 faces).

tetraedro (4 faces).

Como esse poliedro tem V = 20 vértices e A = 30 arestas. Logo, o número de faces é:

[tex] F + V = A + 2 [tex]

[tex] F + 20 = 30 + 2 [tex]

[tex] F = 32 - 20 [tex]

[tex] A = 12\ faces [tex]

Portanto, opção "C".

07

(SAEPE).

Ao construir um dodecaedro com papel colorido, João percebeu que esse poliedro possui 12 faces pentagonais e 20 vértices.

Quantas arestas possui o dodecaedro?

Como esse poliedro tem V = 20 vértices e F = 12 faces. Logo, o número de arestas é:

[tex] F + V = A + 2 [tex]

[tex] 12 + 20 = A + 2 [tex]

[tex] 32 - 2 = A [tex]

[tex] A = 30\ arestas [tex]

Portanto, opção "B".

08

(SAEPE).

Cláudia aprendeu a fazer um poliedro com papel colorido que tem 6 faces triangulares, 8 faces quadrangulares e 10 faces hexagonais.

Qual é o número de arestas e vértices desse poliedro, respectivamente?

13 e 39.

55 e 33.

55 e 81.

110 e 88.

110 e 136.

Observe o esquema a seguir:

Ao construir o poliedro duas arestas de unem formando uma. Logo:

[tex] arestas = \frac{18+32+60}{2} = \frac{110}{2} = 55 [tex]

E, o número de faces é:

[tex] F + V = A + 2 [tex]

[tex] 24 + V = 55 + 2 [tex]

[tex] V = 57 - 24 [tex]

[tex] V = 33\ vértices [tex]

Portanto, opção "B".

09

(SAEPE).

Gilberto ganhou uma caixa com a forma indicada no desenho abaixo.

Quantas arestas possui essa caixa?

São 6 arestas na base, 6 arestas na vertical e 6 na parte superior. Logo, são 18 arestas.

Portanto, opção "E".

10

(SPAECE).

A figura abaixo foi formada pela junção de um paralelepípedo e uma pirâmide de base quadrangular.

Quantas arestas tem essa figura?

Arestas são segmentos de reta que unem dois vértices adjacentes. Logo, são 16.

Portanto, opção "B".

11

(Avaliação Paraíba).

Uma caixa no formato de um poliedro precisa ser reforçada com 3 parafusos em cada vértice, um revestimento de metal nas suas 7 faces e uma aplicação de uma cola especial em todas as 15 arestas.

(Se necessário utilize a expressão V – A + F = 2).

A quantidade necessária de parafusos será igual a:

Esse poliedro tem 7 faces e 15 arestas. Logo, o número de vértices será:

[tex] 7 + V = 15 + 2 [tex]

[tex] V = 17 - 7 [tex]

[tex] V = 10\ vértices [tex]

Como são gastos 3 parafusos em cada vértice. Logo:

[tex]nº\ de\ parafusos = 3 × 10 = 30 [tex]

Portanto, opção "D".

12

(SPAECE).

Em uma aula de Geometria, a professora Flávia desenhou no quadro o sólido abaixo.

Quantos vértices e faces, respectivamente, tem esse sólido?

8 e 10.

10 e 5.

12 e 10.

12 e 11.

12 e 16.