Quantos são os números de cinco algarismos na base 10 nos quais o algarismo 2 figura?

Contagem

Problema 1.
Escrevem-se os algarismos de 1 a 222.222. Quantas vezes o 0 é escrito?
A solução desse problema consistiu em contar quantas vezes o 0 aparece em cada casa. Por exemplo, com o 0 na casa das unidades temos 22.222 números em que o 0 participa; nas dezenas temos 2.222*10 combinações que o 0 participa; nas centenas: 222*100 e assim por diante, e no final somava tudo.

Problema 2.
Quantos são os número de 5 algarismos, na base 10 em que:
a) nos quais o algarismo 2 figura;
b) nos quais o algarismo 2 não figura.

Eu resolvi da seguinte maneira:
Não figura: 8*9*9*9*9 = 52.488
Figura: 9*10^4 - 52.488 = 37.512

Acontece que eu tentei resolver o problema 2 da mesma forma do problema 1 e não consegui. Alguém pode resolver o 2 da forma do 1º para que eu compreenda?

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Re: Contagem

Com apenas um algarismo 2:

2 _ _ _ _ ----> 5.9^4

.. 9 9 9 9

Com dois algarismos 2

2 2 _ _ _
2 _ 2 _ _
2 _ _ 2 _
2 _ _ _ 2
_ 2 2 _ _
_ 2 _ 2 _
_ 2 _ _ 2
_ _ 2 2 _
_ _ 2 _ 2
_ _ _ 22 ---> Total = 10.9³

E assim por diante com três 2, quatro 2 e cinco 2

Re: Contagem

Por que não posso fazer da forma como no problema 1?
Com 5 dígitos vai até o 99.999

2 nas unidades:
_ _ _ _ 2
9 9 9 9
Há 9.999 opções, pois é possível colocar 9.999 números antes do 2.

2 nas dezenas:
_ _ _ 2 _
9 9 9    10
Há 999 opções que serão combinadas com 10 números antes do 2, ou seja, 999*10.

2 nas centenas:
_ _ 2 _ _
9 9   10 10
Há 99 opções que serão combinadas com 10 e 10: 99*10²

2 nos milhares:
_ 2 _ _ _
9   10 10 10
Há 9*10³ opções;

2 nas dezenas de milhares:
2 _ _ _ _
 10 10 10 10
Há 10^4 opções.

9999+999*10+99*10²+9*10³+10^4 = 48.889.

Hum, ao acabar de fazer isso eu tive um pensamento. No problema 1 ele pergunta quantas vezes o número 0 é escrito até chegar 222.222. No problema 2 ele pergunta quantos são os números que o 2 aparece, ou seja, o número 22 é contato uma vez só em vez de duas vezes que seria se estivéssemos contando quantas vezes ele é escrito. Dessa forma, posso afirmar que o resultado 48.889 é o número de vezes que o nº 2 é escrito de 10000 até 99999?

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Re: Contagem

Minha solução tem uma falha: esqueci que a 1ª casa a esquerda não pode ser zero

Re: Contagem

Hola.

Já existe essa QUESTÃO AQUI: https://pir2.forumeiros.com/t22531-olimpiada-russa e aqui também: https://pir2.forumeiros.com/t66356-numeracao

Exercícios de Olimpíadas o ideal seria  colocá-los em outro local apropriado.

De  até , qualquer algarismo significativo aparece  vezes em todas as ordens, o zero começa aparecer  vezes, nas 1ª,2ª,3ª...nª ordens, em todas as unidades, dezenas centenas a partir do  e assim, por diante.Dessa forma teremos:

 algarismos

 algarismos

 algarismos

 algarismos

 algarismos 

Somando teremos:

 algarismos

Uma colaboração do Adriano Tavares.

Re: Contagem

Sem problemas, Elcio, acredito que já detectei o erro, deve ser aquele mesmo que falei. Obrigado mesmo assim :)
E obrigado, Paulo, pela colaboração, mas veria que que esse post não se trata sobre o que falou se tivesse lido tudo.
Obrigado.

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Re: Contagem

Hola Hgp2102.

Não se preocupa com isso, cara.

Re: Contagem

Tudo bem, agora resta saber se no problema:
Quantos algarismos 2 são escritos de 10.000 a 99.999? a resposta é a que eu achei hahahaha

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