Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas?

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Cuidados para congelar a salada de fruta e manter os nutrientes
Incremente a sua salada de frutas de forma saudável
Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo?
Quantas saladas contendo exatamente 3 frutas podemos formar?

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as palavras:
a) ALUNO 
b) MARAJOARA
4-) Um pesquisador científico precisa escolher seis cobaias, num grupo de dez cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha?
5-) Jean, Ricardo, Paulo, Junior, Moisés, Costinha e Cleiton estão apostando corrida onde o 1º lugar ganhará medalha de ouro, 2º lugar ganhará medalha de prata, 3º lugar ganhará medalha de bronze. Quantos são os agrupamentos possíveis para os três primeiros colocados?
6-) Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas, se possuo 8 frutas distintas?
7-) Para abrir um cofre precisam ser digitados 4 números do teclado abaixo na ordem certa. De quantas maneiras posso digitar a senha do cofre tentando abri-lo? 
10
3!
5!
4!7!
9!3!
6!
(85)!
-
7!
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Cores, sabores e muitos nutrientes em uma só porção de salada de frutas! Para isso, congelar as frutas pode ser uma boa alternativa para manter a receita intacta e duradoura, para uma alimentação saudável e equilibrada. Veja como congelar as frutas da maneira correta e promover bem-estar para o seu organismo em saboroso lanche ou sobremesa para o dia a dia.

Segundo a recomendação da Organização Mundial de Saúde (OMS), um adulto saudável deve consumir pelo menos 400 g de frutas e hortaliças, diariamente, para manter o corpo nutrido, livre de doenças e enfermidades. Sendo assim, congelar as frutas prontas para consumo, é uma boa maneira para consumir de forma prática e conservar os alimentos durante um período maior. No entanto, de acordo com a nutricionista Paola Lisboa, antes de misturar as frutas no pote, é importante ter alguns cuidados:

"Cada fruta tem suas individualidades de como de ser congelada, mas todas sempre devem estar higienizadas e bem secas. O abacate, por exemplo. Deve ser congelado sem caroço e acrescentar umas gotinhas de limão para não escurecer. Banana, abacaxi, maçã, melancia e melão devem ser congelados picados, sem casca e sementes. Já a uva pode ser congelada inteira e a pera não deve ser congelada crua, dê uma leve cozida nela", explica a profissional.

Cuidados para congelar a salada de fruta e manter os nutrientes

- Coloque as frutas em porções separadas: Segundo a nutricionista, é importante sempre congelar em saquinhos ou potes vedados de maneira que não entre ar. Além do fato que, os recipientes devem conter porções individuais, para não ficar congelando e descongelando os alimentos.

- Duração de 20 dias no congelador: Após todo o processo de congelamento, certifique-se que as saladas de frutas não ultrapassem os 20 dias na sua geladeira. Uma boa dica é colocar etiquetas com a data da validade ou a data em que foi feita, para que não caia no esquecimento e você possa consumir de maneira adequada.

- Retire do freezer cerca de 10 minutos antes de consumir: Apenas tire a salada de frutas do congelador perto da hora do consumo, assim você evita que as frutas escureçam nesse período e percam o sabor natural.

Incremente a sua salada de frutas de forma saudável

Descongelou? É hora de diversificar na forma de consumo e obter até mais nutrientes para o seu lanche. O iogurte natural, por exemplo, é uma boa maneira de incluir uma dose de cálcio e ainda tornar a sua salada de fruta mais cremosa e saborosa. O iogurte também proporcionará saciedade, impedindo que você sinta fome rapidamente.

- Suco de laranja: Além de ajudar a descongelar mais rápido, o suco de laranja deixa a salada "molhadinha", com aquele caldo que todo mundo gosta. você pode diversificar no sabor dos sucos de acordo com as frutas contidas no pote.

- Sementes: Sabe aqueles superalimentos que só agregam nutrientes? A chia e a linhaça, por exemplo, são ótimas opções para a salada de frutas. Elas tornarão o seu organismo mais saudável, maneira natural e saborosa.

- Oleaginosas: Crocância, sabor e uma gama de substâncias benéficas para o seu organismo. As castanhas-do-pará, nozes e amêndoas, tornará sua salada de fruta deliciosa. Experimente!

Uma vez superado o primeiro momento, e considerando que já sabemos que a questão será resolvida por Arranjo ou Combinação, seguiremos os passos seguintes, a fim de nos definirmos por uma ou por outra técnica de resolução. Vejamos:

1º Passo) Criaremos um resultado possível para o subgrupo;

2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1º passo);

3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós (1º e 2º passos):

Se forem resultados diferentes: resolveremos a questão por Arranjo!

Se forem resultados iguais: resolveremos a questão por Combinação!

Exemplo: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

E agora, Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3). O número cento e vinte e três. Pode ser? Claro!

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1). Chegamos ao número trezentos e vinte e um.

3º Passo) A comparação! São iguais ou diferentes os dois resultados acima? Ora, tratando-se de números, é claro que são distintos!

Conclusão: resolveremos a questão por Arranjo!

Exemplo:

Dispondo das seguintes espécies de frutas {maçã, mamão, melão, banana, pêra, uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formados, contendo três tipos de frutas?

Será Arranjo ou será Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível: (mamão, melão e maçã) Gostaram da minha salada? Se não gostaram, vai ela mesma!

2º Passo) Invertamos a ordem! Teremos: (maçã, melão e mamão)

3º Passo) Comparemos: A salada do primeiro passo é igual ou é diferente da salada do segundo passo? O sabor é o mesmo? Claro que sim! Os resultados são iguais!

Conclusão: a questão sai por Combinação!

É somente isso! Se vocês se lembrarem destes três exemplos simples acima, serão capazes de identificar o caminho de resolução de qualquer questão de Análise Combinatória!

Resolvendo questões por Arranjo:

Uma vez sabendo identificar quais as questões que se resolvem por Arranjo, resta saber como se dá tal resolução!

A fórmula do Arranjo é a seguinte:

Onde:

n é o número de elementos do conjunto universo; e
p é o número de elementos do subgrupo.

Para quem anda mais esquecido, esse sinal de EXCLAMAÇÃO (!) significa a operação fatorial. Trata-se, tão somente, de um produto que se inicia com o próprio valor (que antecede o sinal "!") e vai se reduzindo até chegar a um.

Exemplo:

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

E assim por diante!

Observem que, sempre que formos fazer uma divisão entre fatoriais, repetiremos o menor deles, e desenvolveremos o maior até que se iguale ao menor.

Exemplo:

Viram? E agora? Ora, agora resta cortarmos o 5! do numerador com o do denominador. E teremos apenas que:

Fácil, não? Mais fácil que roubar doce de criança! Pois bem, voltemos ao exemplo dois da página anterior:

Exemplo: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Primeira análise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou têm que ser distintos? Distintos, pois assim estabelece o enunciado. Daí, resolveremos por Arranjo ou Combinação!

Segunda análise: sairá por Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3)

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1)

3º Passo) A comparação: os resultados são distintos! Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? De 5 em subgrupos de 3. Teremos:

Ou seja, podemos formar 60 números com 3 algarismos distintos, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.

Uma pergunta deveras oportuna seria: não dava para resolver essa questão pelo Princípio da Contagem?

Vejamos: nosso evento é formar um número de três algarismos distintos. Podemos dividi-lo em três etapas: definição do primeiro algarismo, definição do segundo e definição do terceiro.

Teremos:

1ª etapa) definição do primeiro algarismo: 5 resultados possíveis;

2ª etapa) definição do segundo algarismo: 4 resultados possíveis;

3ª etapa) definição do terceiro algarismo: 3 resultados possíveis.

Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

5 x 4 x 3= 60 - Resposta!

Mesma resposta que chegamos pelo Arranjo!

Olhemos de novo, e com mais calma, o diagrama dos caminhos de resolução:

Repare bem na seta que aponta para cima! Reparou?

O que ela quer indicar? O seguinte: se você descobrir que a questão deve ser resolvida por Arranjo, então poderá também resolvê-la pelo Princípio da Contagem!

Observe que se trata de uma seta com sentido único! De Arranjo para Princípio da Contagem! Apenas isso! O caminho de volta - Princípio da Contagem para Arranjo - nem sempre será possível!

E de Combinação para Princípio da Contagem? Dá certo? De jeito nenhum! Basta olhar para o desenho acima, e não tem erro! Ok?

Próxima pergunta recorrente: ora, se questão de Arranjo sai pelo Princípio da Contagem, então eu preciso mesmo saber esse tal de Arranjo? A resposta é SIM, você precisa!

Resolvendo questões por Combinação:

A fórmula da Combinação é a seguinte:

Onde:

n é o número de elementos do conjunto universo; e

p é o número de elementos do subgrupo.

Retornemos ao exemplo 03, apresentado anteriormente:

Exemplo:

Dispondo das seguintes espécies de frutas {maçã, mamão, melão, banana, pera, uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formados, contendo três tipos de frutas?

Primeira análise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou têm que ser distintos?

Distintos, pois, embora não dito isso expressamente pelo enunciado, fica claro que não podemos formar saladas com frutas iguais! Uma salada já é, por si, uma mistura de frutas de tipos diferentes! Daí, usaremos Arranjo ou Combinação!

Segunda análise: sairá por Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (maçã, pera e uva)

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (uva, pera e maçã)

3º Passo) A comparação: os resultados são iguais! - Combinação!

Combinação de quantos em quantos? De 8 (tipos de frutas do conjunto universo) em subgrupos de 3 (tipos de frutas da salada que formaremos!).

Teremos:

Portanto, na combinação, diferentemente do Arranjo, os agrupamentos devem ser distintos, não importando a ordem.

Vejamos o exemplo abaixo:

A={1,2,3} forma os pares (1,2), (1,3) e (2,3).

Como você pode verificar, não houve par repetido. Basicamente é essa a diferença entre Combinação e Arranjo. É possível reduzir calcular rapidamente a quantidade de combinações usando a fórmula:

C n,p = n!
p!(n-p)!

Por exemplo, se tivermos um conjunto com 7 termos e quisermos formar combinações de 3 a 3:

C 7,3 = 7! = 7 x 6 x 5 x 4! = 35
3!(7-3)! 3! 4!