Análise Combinatória - Permutações - Arranjos - Combinação simples Show PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Análise Combinatória é o ramo da Matemática que estuda métodos de contagem, possibilidades e combinações. Exemplo Quantos números diferentes de dois dígitos podem ser formados pelos dígitos 1-9? Resposta: Há 9 diferentes escolhas para o primeiro dígito (1-9) e há também 9 diferentes escolhas para o segundo dígito (1-9). Há, portanto, 9 x 9 = 81 diferentes formas de formar números de dois dígitos de 1-9. Este exemplo ilustra a seguinte regra de Análise Combinatória: Se um evento ocorre em "n" etapas sucessivas e independentes de tal maneira que: a1 seja o número de possibilidades de ocorrência da 1ª etapa, a2 seja o número de possibilidades de ocorrência da 2ª etapa, ... an seja o número de possibilidades de ocorrência da nª etapa, então o número total de possibilidades de ocorrência desse evento é dado por: a1.a2.a3. ... . an. Fatorial de um Número Seja n um número inteiro positivo, o fatorial de n (indicado pelo símbolo n!) é definido como: Observação importante: 0!=1 e 1!=1 Exemplo 5! PERMUTAÇÕES Qualquer arranjo de um grupo de elementos com uma ordem fixa é chamado de uma permutação. Um grupo de elementos pode ser organizado de formas distintas, em ordens diferentes. Por exemplo abcd, acbd, dcab são permutações das letras a, b, c, d. São grupos que diferem entre si por alterações de ordem em seus elementos. Permutações Simples (sem elementos repetidos) O número total de permutações simples de n elementos
distintos é dado por n!. Isto é: n= número de elementos Por exemplo P6=6! = 6.5.4.3.2.1=720 Exemplo Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os 5 bancos de um carro. Resolução P5=5!=5.4.3.2.1= 120 Quando há m fatores decrescentes a partir de n:
Exemplo Exemplo Um sistema de computadores é acessado através de senhas. Se as senhas são formadas por uma sequência de seis diferentes letras, quantas senhas distintas podem ser formadas? (Considere 26 letras – Novo Acordo Ortográfico). Resolução Há 26 letras possíveis e as senhas precisam ser constituídas por 6 letras que não se repetem. Portanto: P(26,6). Resposta: 165.765.600 senhas distintas podem ser formadas Permutações com Elementos Repetidos Se entre os n elementos de um conjunto, há a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos repetidos, e assim por diante, o número total de permutações que podem ser formadas é: Exemplo Considere a palavra TENNESSEE. Quantas senhas, cada uma delas contendo 9 letras, podem ser formadas com as letras dessa palavra? Resolução: Há 9 letras na palavra TENNESSEE. Portanto, n=9. Os subgrupos de letras repetidas são: a=4 (há 4 Es), b=2 (há 2 Ns) e c=2 (há dois Ss). Resposta: 3780 senhas ARRANJOS São grupos que diferem entre si por alterações de ordem e natureza em seus elementos. Arranjos Simples (sem repetições) Exemplo Um teclado de computador possui os seguintes dígitos: 0,1,2,3...9. A senha secreta para acessar o computador é formada por uma sequência de 3 dígitos distintos. Se alguém tentar adivinhar a senha ao digitar 3 números distintos, qual o máximo número de tentativas que ele precisará fazer para conseguir acessar o computador? Resolução: n!=10, pois há 10 números possíveis no teclado do computador: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. A senha de acesso (p), é composta por 3 dígitos distintos. Portanto: Resposta: 720 tentativas. Arranjos Completos (com repetições) Exemplo Uma prova é administrada numa sala de aula. A prova constitui-se de dez perguntas, Verdadeiro ou Falso, não havendo a possibilidade de o aluno não responder qualquer uma das perguntas. Quantos resultados diferentes podem ocorrer? Resolução Para cada pergunta da prova, há apenas duas possibilidades de resposta: Verdadeiro ou Falso. É natural que as respostas se repitam várias vezes, pois é raro um aluno escolher a opção de Verdadeiro ou de Falso para todas as perguntas. Há, portanto, arranjos completos de 2 elementos (Verdadeiro ou Falso) tomados 10 a 10. A resposta é, portanto, np=210 Resposta: 210
Quantas combinações são possíveis com 7 números de 1 a 9?Para isso pode-se inserir n=60 e p = 6 na calculadora de combinações (abaixo). O resultado é 50.063.860.
Quantas combinações possíveis com 7 números?Aposta com 7 números
Assim, suas chances passariam a ser de 7 em 50.063.860, logo: Isso significa que suas chances serão de 1 em 7.151.980.
Quantas combinações são possíveis com os números de 0 a 9?Resposta: 720 tentativas.
Quais combinações são possíveis com 6 números de 0 a 9?Dessa forma, a gente conclui que o total de possíveis combinações que podem ser feitas escolhendo 6 números dentre os 60 disponíveis são cerca de 50 milhões.
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