Transcrição de vídeo
RKA - Vamos dizer que você é um filósofo antigo que estava criando a matemática a partir da sua base, e já tem uma compreensão razoável do que um número negativo poderia, ou deveria representar, e sabe como somar e subtrair números negativos. Mas, agora, se depara com um dilema. O que acontece quando multiplica números negativos? Ou quando multiplica um número positivo por um negativo, ou quando multiplica dois números negativos? Por exemplo, não tem certeza do que aconteceria se fosse multiplicar, e eu estou apenas escolhendo dois números, dos quais um é positivo, e um negativo, o que aconteceria se fosse multiplicar 5 vezes -3? Não tem certeza sobre isso ainda, também não tem certeza do que aconteceria se multiplicasse dois números negativos. Digamos, -2 vezes -6. Isso ainda não está claro para você. O que realmente sabe, porque é um matemático, é... de qualquer modo, quer definir isso, ou o que quer que isso deva ser. Espero que seja consistente com todas as outras propriedades da matemática que já sabe, de preferência com todas as outras propriedades da multiplicação. Isso faria se sentir bem porque está acertando. E, mais tarde, pode pensar em outras maneiras de ter um palpite de que isso pode, realmente, fazer sentido para você. Mas, para isso ser consistente com o resto da matemática que já sabe, você se lança mais um pouco em uma experiência mental, e diz: "bom, o que seria igual a 5 vezes 3 mais -3?" Você já tem uma filosofia para somar números negativos, ou de somar números positivos a números negativos. Sabe que -3 é o oposto de 3. Mas, se somar 3 a -3, vai obter zero, de forma que isso vai ser igual a 5 vezes zero. 5 vezes zero, com base em como já pensou em somar um número negativo a um positivo, e que qualquer coisa vezes zero vai ser zero. Então, essa expressão deveria ser zero. Mas, por outro lado, eu quero multiplicar números positivos e negativos para ser consistente com essa propriedade distributiva. Deveria repartir este 5, e para a matemática ser consistente, eu deveria obter a mesma resposta. Então, vamos repartir este 5, de forma que temos 5 vezes 3, vamos escrever 5 vezes 3, deixe eu escrever esse sinal de multiplicação, não esse ponto, 5 vezes 3. Então, reparto ali, mais 5 vezes -3, vou fazer isso em amarelo, 5 vezes -3. E dizemos, apenas, que tudo deve ser igual a zero. Deve ser igual a zero. Bom, 5 vezes 3 são dois números positivos, a gente sabe o que deve ser, vai ser 15. Agora, temos 15 mais vezes o que seja 5 vezes -3, precisa ser igual a zero, para ser consistente com toda a matemática que sabemos. Bom, o que mais 15 vai ser igual a zero? Bom, o oposto de 15, para que seja verdade, para que seja consistente com toda a outra matemática que já conhecemos, precisa ser igual a -15. E você diz que 5 vezes -3, para ser consistente com toda a matemática que a gente já conhece, precisa ser igual a -15. Isso também é consistente com o palpite de somar -3 repetidamente por 5 vezes. Agora, olhe acima de nós, um pouco mais alto. Então, pode ver as ideias de multiplicar -2. Mas a gente pode fazer exatamente a mesma experiência de produto, queremos "o que quer que seja" para que essa resposta seja consistente com o resto da matemática que a gente conhece. Dessa forma, a gente pode fazer a mesma experiência de produto. O que seria igual a -2 vezes 6 mais -6? 6 mais -6 é igual a zero. -2 vezes zero. Qualquer coisa vezes zero precisa ser igual a zero. Mas então, mais uma vez, a gente pode repartir -2 vezes 6, e temos -2 vezes 6, mais -2 vezes -6, mais -2 vezes -6. De novo, tudo isso vai ser igual a zero. Agora, com base na experiência do 5 que a gente fez, podemos dizer: "bom, isso precisa ser igual a -12, ou podemos ver isso como sendo 6, duas vezes na direção da esquerda na reta numérica, que nos leva a -12", ou poderia dizer: "a adição repetida de pares negativos, 6 vezes também vai levá-lo a -12". E agora, vemos também aqui. E a gente quer multiplicar um positivo e um negativo, temos um negativo. Para isso, poderia ser, você sabe, vai ser igual ao -12. Por isso, temos mais -12. O que quer que seja esse negócio, vai ter que ser igual a zero, a fim de ser compatível com toda a matemática que a gente já conhece. E assim, o que mais -12 vai para igualar a zero? Bom, 12 mais -12 será igual a zero, de modo que isso tem que ser igual a 12, para ser coerente com toda a matemática que já conhecemos. Então, aqui entendemos a ideia de que isso vai ser 12. Vou deixar você aí, e vou ver se posso fazer mais alguns vídeos que possam te dar uma compreensão conceitual do porquê isto é verdadeiro.
Qual é o resultado de menos 36 dividido por menos 9? O curioso cálculo de
(-3 6) : (- 9) = + 4 exige o conhecimento das regras dos sinais. Na maioria dos casos, somos obrigados a decorar. Mas por quê? Que tal uma estratégia para entender esse tipo de regra a partir de um problema?
Vamos imaginar uma pequena empresa com três sócios, que, infelizmente, tem uma dívida de 12.000 reais. Essa dívida é representada pelo sinal negativo e cabe para cada sócio a responsabilidade de assumir uma parte da dívida, dividindo-a em três partes iguais:
(- 12000 ) : 3 = - 4000
Menos doze mil reais dividido em três tem como resultado menos quatro mil reais para cada sócio. Como o divisor é positivo, indicando o número de partes, podemos construir a primeira regra: um número negativo dividido por um número positivo tem como resultado um número negativo.
Assim, poderemos lembrar desse problema como um bom modelo para outros casos semelhantes, em que há necessidade de aplicação desse tipo de regra. Uma outra observação que é importante, e que não podemos deixar de citar, é a de que, no registro de um número positivo, a utilização ou não do sinal é optativa:
(- 36): 2 = - 18 pode ser escrito como (- 36): (+ 2) = -1 8
Para avançarmos mais nesse jogo entre os sinais - na divisão entre dois números -, vamos analisar a operação da divisão em que, ao multiplicarmos o quociente pelo divisor, obtemos sempre o valor do dividendo (se o resto for igual a zero). Essa propriedade facilita a verificação de mais uma regra do sinal; só que, nesse caso, para a operação da multiplicação.
Ainda utilizando o nosso exemplo, do endividamento dos sócios, mostramos que a multiplicação entre um número negativo e um número positivo tem como resultado um número negativo:
(- 12000 ): 3 = - 4000 ==> (- 4000)x 3 = - 12000
Nessa manobra de invertermos a operação, confirmamos que esse tipo de regra pode ser aplicada tanto na divisão como na multiplicação.
Explorando esse mesmo exemplo, podemos apresentar uma outra regra importante para a operação da divisão. Para isso, fazemos uma nova inversão, agora transformando a operação da multiplicação novamente em divisão. Essa inversão poderia ser substituída pela pergunta: Quantas partes de - 4000 cabem em - 12000?
(- 12000) : ( - 4000) = 3
A consequência de ter o resultado positivo igual a 3 ou + 3 é demonstrada ao dividirmos o dividendo pelo quociente, obtendo o divisor, que indica o número de partes.
Assim, fica demonstrada mais uma regra: ao dividirmos dois números negativos obtemos um número positivo.
Depois da demonstração dessas duas regras - uma, de dividir um número negativo por um número positivo; e outra, relacionada à divisão entre dois números negativos -, vamos a uma terceira regra, que é a mais fácil e conhecida: a de divisão entre dois números positivos, tendo como resultado um número positivo.
Essa regra não causa nenhuma surpresa, já que estamos bastante acostumados com esse tipo de operação, dividindo os números naturais que representam as quantidades positivas e inteiras do mundo em que estamos inseridos. É somente uma questão de convenção a utilização ou não do sinal. Em vez de escrevermos 36 : 4 = 9 podemos adotar um outro formato, com o mesmo valor e significado, fazendo: (+36): (+ 4) = (+ 9). O número inteiro positivo é equivalente ao número natural.
Essas três regras, apresentadas até aqui, são muito importantes para o cálculo da divisão com números negativos e positivos. E muitas vezes nos atrapalham, produzindo confusões e, se não soubermos interpretá-las, fazendo com que deixemos escapar a solução correta de um determinado cálculo.
Portanto, na insegurança da aplicação dessas regras, lembre do problema do endividamento dos três sócios. É uma demonstração não somente das regras, mas, principalmente, de que é a partir dos problemas que descobrimos a melhor forma de aprendermos matemática.