Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema LinearVer Teoria Show
EnunciadoCada ∎ representa um número diferente de 0. (Diferentes ∎’s podem assumir valores distintos!). O sistema que pode não ter solução é:Passo 1Todas as alternativas mostram sistemas com 4 equações e 4 incógnitas. Vamos chama-las de x 1 , x 2 , x 3 e x 4 , de forma que um vetor solução seria da forma: x → = x 1 x 2 x 3 x 4 Para que um sistema com 4 equações e 4 incógnitas nãotenha solução, o que deve acontecer é haver duas ou mais linhas que são incompatíveis. Olha esse exemplo: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 2 x 1 + x 2 + 3 x 3 + x 4 = 7 x 1 = 1 x 1 = 4 O sistema é impossível, porque x 1 não pode ser 1 e 4 ao mesmo tempo. Agora vamos ver caso a caso e analisar em qual deles a solução pode não existir. Passo 2 Repare que a terceira e a quarta linha têm os quadradinhos e zeros nas mesmas posições. Nessas linhas, podemos ter uma relação que mostra inconsistência entre as equações e a solução pode não existir. Podemos ter, nessas duas linhas, por exemplo: x 1 + x 3 + x 4 = 1 2 x 1 + 2 x 3 + 2 x 4 = 3 Ou seja, multiplicamos o lado esquerdo da primeira linha por 2, mas fizemos algo diferente com o lado esquerdo (multiplicamos por 3), e não existem números que satisfaçam essas duas condições simultaneamente. Como uma situação desse tipo pode acontecer na matriz dada nessa alternativa, ela é a nossa resposta. Mas vamos continuar vendo as outras alternativas e ver por que a solução pode existir em cada uma delas. Passo 3Note que nesse caso, conseguimos tirar da segunda equação o valor de x 2 . Substituindo na quarta equação, temos o valor de x 3 . Substituindo os dois na primeira, obtemos x 1 e, por fim, tiramos x 4 da última equação. Então, esse sistema tem solução. Passo 4Seguindo a mesma ideia de antes, conseguimos achar x 1 na segunda equação. Colocando na terceira, achamos x 2 . Se substituirmos x 2 na quarta equação, achamos x 4 . Por último, conseguimos encontrar x 1 a partir da primeira equação. Então, o sistema tem solução. Passo 5Agora, obtemos x 1 na primeira equação. Substituindo esse valor na última, obtemos x 3 . Substituindo o valor de x 3 na terceira, obtemos x 2 . A partir dos valores de x 1 e x 2 , usamos a segunda equação para encontrar x 4 . Logo, o sistema tem solução. O único caso em que a solução não necessariamente existe é no sistema da letra (a). RespostaExercícios de Livros RelacionadosSe duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos d Ver Mais A união de dois conjuntos convexos é convexa? Ver Mais Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida po Ver Mais Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 Ver Mais Ver Também Ver tudo sobre Álgebra Linear e Geometria AnalíticaVer tudo sobre Matrizes e Sistemas LinearesLista de exercícios de Análise de Solução de um Sistema LinearResolver sistemas lineares é uma tarefa bastante recorrente para estudos nas áreas das ciências da natureza e da matemática. A busca por valores desconhecidos fez com que fossem desenvolvidos métodos de resolução de sistemas lineares, como o método da adição, igualdade e substituição para sistemas que possuem duas equações e duas incógnitas, e a regra de Crammer e o escalonamento, que resolvem sistemas lineares de duas equações, mas que são mais convenientes para sistemas com mais equações. Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações com uma ou mais incógnitas. Leia também: Qual a relação entre matrizes e sistemas lineares? Tópicos deste artigo
Equação linearO trabalho com equações existe devido à necessidade de encontrarmos valores desconhecidos de incógnitas. Chamamos de equação quando temos uma expressão algébrica com igualdade, e ela é classificada como linear quando o maior expoente de suas incógnitas é 1, conforme os exemplos a seguir: 2x + y = 7 → equação linear com duas incógnitas a + 4 = -3 → equação linear com uma incógnita De modo geral, uma equação linear pode ser descrita por: a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c Conhecemos como sistema de equação quando há mais de uma equação linear. Começaremos com sistemas lineares de duas incógnitas. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Resolução de sistemas lineares
Para resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas, existem vários métodos, os três mais conhecidos são:
Qualquer um dos três pode resolver um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Esses métodos não são tão eficientes para sistemas com mais equações, já que existem outros métodos específicos para resolvê-los.
O método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e realizar a substituição na outra equação. Exemplo: 1º passo: isolar uma das incógnitas. Chamamos de I a primeira equação e de II a segunda equação. Analisando as duas, vamos escolher a incógnita que esteja mais fácil de ser isolada. Note que, na equação I → x + 2y = 5, o x não possui coeficiente, o que faz com que seja mais fácil isolá-lo, logo, reescreveremos a equação I desta forma: I → x + 2y = 5 I → x = 5 – 2y 2º passo: substituir I em II. Agora que temos a equação I com o x isolado, na equação II, podemos substituir x por 5 – 2y. II → 3x – 5y = 4 Substituindo x por 5 – 2y: 3 (5 – 2y) – 5y = 4 Agora que a equação tem só uma incógnita, é possível resolvê-la para encontrar o valor de y. Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x realizando a substituição do valor de y na equação I. I → x = 5 – 2y x = 5 – 2 · 1 x = 5 – 2 x = 3 Então a solução do sistema é S = {3,1}.
O método da comparação consiste em isolarmos uma incógnita nas duas equações e igualar esses valores. Exemplo: 1º passo: seja I a primeira equação e II a segunda, vamos isolar uma das incógnitas em I e II. Escolhendo isolar a incógnita x, temos que: 2º passo: igualar as duas novas equações, já que x = x. 3º passo: substituir o valor de y por -2 em uma das equações. x = -4 – 3y x = -4 – 3 (-2) x = -4 + 6 x = 2 Então a solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}. Veja também: Quais as diferenças entre função e equação?
O método da adição consiste emrealizar a multiplicação de todos os termos de uma das equações, de tal modo que, ao somar-se a equação I na equação II, uma de suas incógnitas fique igual a zero. Exemplo: 1º passo: multiplicar uma das equações para que os coeficientes fiquem opostos. Note que, se multiplicarmos a equação II por 2, teremos 4y na equação II e -4y na equação I, e que, ao somarmos I + II, teremos 0y, logo, vamos multiplicar todos os termos da equação II por 2 para que isso aconteça. I → 5x – 4y = -5 2 · II → 2x + 4y = 26 2º passo: realizar a soma I + 2 · II. 3º passo: substituir o valor de x = 3 em uma das equações.
Quando o sistema possui três incógnitas, adotamos outros métodos de resolução. Todos esses métodos relacionam os coeficientes com matrizes, e os métodos mais utilizados são a regra de Crammer ou o escalonamento. Para a resolução em ambos os métodos, é necessário a representação matricial do sistema, inclusive o sistema 2x2 pode ser representado por meio de uma matriz. Há duas possíveis representações, a matriz completa e a matriz incompleta: Exemplo: O sistema Pode ser representado pela matriz completa E pela matriz incompleta
Para encontrarmos soluções de um sistema 3x3, com incógnitas x, y e z, utilizando a regra de Crammer, é necessário calcularmos o determinante da matriz incompleta e suas variações. Temos então que: D → determinante da matriz incompleta do sistema. Dx → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de x pela coluna dos termos independentes. Dy → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de y pela coluna dos termos independentes. Dz → determinante da matriz incompleta do sistema, substituindo-se a coluna de z pela coluna dos termos independentes. Dessa forma, para encontrar o valor de suas incógnitas, primeiro precisamos calcular o determinante D, Dx, Dy associado ao sistema. Exemplo: 1º passo: calcular D. 2º passo: calcular Dx. 3º passo: então podemos encontrar o valor do x, pois: 4º passo: calcular Dy. 5º passo: então podemos calcular o valor de y: 6º passo: agora que conhecemos o valor de x e y, em qualquer uma das linhas podemos encontrar o valor de z substituindo o valor de x e y e isolando o z. Outra opção é calcular Dz. Substituindo x = 0 e y = 2 na primeira equação: 2x + y – z = 3 2 · 0 + 2 – z = 3 0 + 2 – z = 3 -z = 3 – 2 -z = -1 (-1) z = -1 Portanto, a solução do sistema é a terna (0,2,-1). Acesse também: Resolução de problemas por sistemas de equação
Outro método de resolver sistemas lineares é o escalonamento, nele utilizamos somente a matriz completa e operações entre as linhas com o objetivo de isolar as suas incógnitas. Vamos escalonar o sistema a seguir. 1º passo: escrever a matriz completa que represente o sistema. Seja L1, L2 e L3 respectivamente as linhas 1, 2 e 3 da matriz, vamos realizar operações entre L1 e L2 e L1 e L3, de modo que o resultado faça com que os termos que estão na primeira coluna da segunda e da terceira linhas fiquem iguais a zero. Analisando a segunda linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L2 → -2 · L1 + L2, com objetivo de zerar o termo a21. a21 = -2 · 1 + 2 = 0 a22 = -2 · 2 + 1 = -3 a23 = -2 · (-3) + 1 = 7 a24 = -2 · 10 + 3 = -17 Então a L2 será 0 -3 7 -17. Analisando a terceira linha da matriz, vamos substituí-la pelo resultado de L3 → 3L1 + L2, com o objetivo de zerar o termo a31. a31 = 3 · 1 – 3 = 0 a32 = 3 · 2 + 2 = 8 a33 = 3 · (-3) +1 = -8 a34 = 3 · 10 – 6 = 24 Então a L3 será 0 8 -8 24. Note que todos são divisíveis por 8, logo, para que a linha L3 fique mais simplificada, vamos dividi-la por 8. L3 → L3 : 8 será: 0 1 -1 3. Assim a nova matriz da equação escalonada será: Agora o objetivo é zerar a coluna y na terceira linha, realizaremos operações entre a L2 e L3, com o objetivo de zerar a segunda coluna de uma delas. Substituiremos a L3 por L3 → L2 + 3L3. a31 = 0 + 3 · 0 = 0 a32 = -3 + 3 · 1 = 0 a33 = 7 + 3 · (-1) = 4 a34 = -17 + 3 · 3 = -8 Então L3 será: 0 0 4 -8. A nova matriz escalonada será: Agora, ao representarmos essa matriz como um sistema novamente, adicionando x, y e z nas colunas, encontraremos o seguinte: Podemos então encontrar o valor de cada uma das incógnitas. Analisando a equação III, temos que: Se z = -2, vamos substituir o valor de z na segunda equação: Por fim, na primeira equação, vamos substituir o valor de y e z para encontrarmos o valor de x. Veja também: Sistema de inequações de 1º grau – como resolver? Classificação de sistema linearUm sistema linear é um conjunto de equações lineares, podendo ter várias incógnitas e várias equações. Existem vários métodos para resolvê-lo, independentemente da quantidade de equações. Existem três classificações para um sistema linear.
Exercícios resolvidosQuestão 1 (IFG 2019) Considere a soma das medidas de uma base e da altura relativa a essa base de um triângulo igual a 168 cm e a diferença igual a 24 cm. É correto afirmar que as medidas da base e da altura relativa a essa base medem, respectivamente: a) 72 cm e 96 cm b) 144 cm e 24 cm c) 96 cm e 72 cm d) 24 cm e 144 cm Resolução Alternativa C. Seja h → altura e b → base, então temos o seguinte sistema: Pelo método da adição, temos que: Para encontrar o valor de h, vamos substituir b = 96 cm na primeira equação: b + h = 168 96 + h = 168 h = 168 – 96 h = 72 cm Questão 2 A matriz incompleta que representa o sistema linear a seguir é: Resolução Alternativa C. A matriz incompleta é aquela que possui os coeficientes de x, y e z, logo, ela será uma matriz 3x3. Analisando-se as alternativas, a que contém a matriz 3x3 com os sinais corretos é a de letra C. Por Raul
Rodrigues de Oliveira Como saber que um sistema é impossível?Classificação. Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).. Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas.. Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução.. Como representar geometricamente um sistema linear?Qualquer equação da forma ax+by=c representa uma reta, ou seja, se marcarmos todos os pontos (x,y)∈R2, no sistema cartesiano, que satisfazem à esta equação, o gráfico resultante é uma reta (são infinitos valores). Se tivermos duas equações desta forma, teremos duas retas no plano.
Como identificar um sistema possível indeterminado?Classificação de um sistema linear. Denominamos de sistema linear o conjunto de equações lineares na variável x com m equações e n variáveis. ... . Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores.. |
Qual par de retas representaria a solução geométrica de um sistema impossível?
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