Qual é o número de vértices de um poliedro convexo que tem 30 arestas é 12 faces?

Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

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• Relação de Euler
• Poliedros platônicos
• Quantos vértices tem um poliedro convexo tem 30 arestas é 12 faces?
• Qual é o poliedro que tem 12 vértices é 30 arestas?
• Quantos vértices tem um poliedro convexo que possui 20 faces é 30 arestas?
• Qual o número de faces de um poliedro convexo com 12 vértices?

Existem cinco poliedros regulares, que são apresentados a seguir:

Poliedro	Planificação	Elementos
Tetraedro		4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas
Hexaedro		6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas
Octaedro		8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas
Dodecaedro		12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas
Icosaedro		20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas

Relação de Euler

Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos:

V=8   A=12    F=6 8 - 12 + 6 = 2

V = 12  A = 18   F = 8 12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos

Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

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Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva

Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

(FAAP-SP)

Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

(PUC-MG)

Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

(UF-AM)

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

respostas

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32

O poliedro em questão possui 32 faces. 

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V: vértice
A: arestas
F: faces

F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
 

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O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12 

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* F + V = A + 2
* A = V + 6

F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8

O poliedro possui 8 faces.

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P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3 arestas)

F = 3*P + x*T
A = 4*x

Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3

O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
 

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Arestas (A) = 22
Faces (F) = Vértices (V)

Pela relação de Euler, temos:

F + V = A + 2

No problema sugerido temos que F = V, portanto:

V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12

Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
 

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