Probabilidade é o estudo das possibilidades de algo ocorrer ou não. Show
Experimento Chama-se experimento uma experiência realizada ao acaso (aleatória), Exemplos: Espaço Amostral (S) ou (Ω)O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Exemplos:
② Retirar uma carta de um baralho e
observar seu naipe, pode ocorrer: ③ Num lançamento de um dado, observar a face voltada para cima, pode ocorrer: S = Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Evento (E)Qualquer subconjunto do espaço amostral é dito evento. Exemplos: Ao retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe. Evento certo Evento certo é aquele que possui todos os elementos do espaço amostral.
Exemplo: Evento impossível Evento impossível ou improvável é aquele que não possui elementos do espaço amostral. Exemplo: Probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então: Onde n(E) é o número de elementos do evento E, e, Exemplo: O espaço amostral é: O evento é: n(E) = 3 (número de elementos do evento) Daí: P(E) = P(E) = Não é necessário saber quais são os elementos do espaço amostral, mas sim quantos são. PropriedadesSeja A um evento e S o espaço amostral, assim sempre se tem: ① A probabilidade do evento é um número entre "0" e "1": ② A probabilidade do evento impossível é "0" (zero): ③ A probabilidade do espaço amostral é "1" (um): ④ A probabilidade do complementar do evento é "1 menos a probabilidade
do evento": Exemplo da utilidade do evento complementar No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de: Pelo princípio fundamental da contagem se tem: É mais fácil contar os casos em que sai o número 5. Seja o evento E = {sair o número cinco em um dos dois dados} E = { (1, 5); (5, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 5); (5, 3); (4, 5); (5, 4); (5, 5); (6, 5); (5, 6) } P(E) = P(E) = Assim, o complementar do evento E é não sair o número 5. P(E) = 1 − P(E) Probabilidade da união de dois eventos Se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral, O número de elementos da ocorrência de A "e" B é dado por: A probabilidade da ocorrência
de A união B é dada por: Exemplo: O espaço amostral é: Supondo o evento A = {sair um número primo} Supondo o evento B = {sair um número par} Os elementos comuns ao dois eventos é a intersecção: Daí: P(A ∪ B) = Eventos mutuamente excludentes Dois eventos A e B são ditos mutuamente excludentes ou
exclusivos se, Neste caso, A ∩ B = Ø, então: Exemplo: Logo, se o evento A ocorrer impede a ocorrência de B. Assim tem-se: n(Ω) = 6 n(A) = 3 n(B) = 1 P(A) = = e P(B) =P(A ∪ B) = + P(A ∪ B) = + P(A ∪ B) = P(A ∪ B) = Probabilidade condicional Há situações em que se quer encontrar: Assim, o espaço amostral para o segundo evento será reduzido ao evento que ocorreu. A probabilidade da ocorrência do evento
B sabendo que o evento A ocorreu é: Se um evento A ocorreu, a probabilidade de outro evento B ocorrer, P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = Exemplo: A princípio o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 36. Mas como se sabe que a soma é 6, fica reduzido ao n(A). Sendo: A = { (1, 5); (5, 1); (2, 4); (4, 2); (3, 3) } A ∩ B é o conjunto formado pelos pares de elementos onde, A ∩ B = { (2, 4); (4, 2) } Daí, a probabilidade de sair um 2 sabendo que a soma é 6 é: P(B|A) = Regra da multiplicaçãoSendo P(B|A) = Então: Sendo P(A|B) = Então: Exemplo: Considerando os eventos: Ω = {branca, branca, branca, branca, cinza, cinza} Sabendo que saiu uma branca sem ser recolocada então no saco fica: P(B|A) = A probabilidade da primeira ser branca e a segunda ser branca é dada por: Propriedades ① A probabilidade da ocorrência do evento B sabendo que: ② A probabilidade da ocorrência do espaço amostral Ω sabendo que: ③ Se a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, Eventos independentes Dois eventos A e B são ditos independentes se: Sendo A e B eventos independentes, a probabilidade de: Exemplo: Considerando A = { sair dois no primeiro } e B = { sair três no segundo } O fato de sair 2 no 1º em nada influi em sair 3 no 2º, logo são independentes. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Generalizando De uma forma geral, se os eventos A1, A2, . . . , An são independentes, então: Teorema da probabilidade total Sejam os eventos E1, E2, E3, . . . , En, disjuntos dois a dois e que: Então, para qualquer evento B se tem: P(B) = ∑ P(Ei ∩ B) = ∑ P(Ei) ⋅ P(B|Ei) ( i = 1, 2, . . . , n) Exemplo: Teorema de Bayes Sejam E1, E2, E3, . . . , En eventos
mutuamente excludentes e, Exemplo: Ser da marca X é o evento A1 A probabilidade de ter escolhido o da marca X sabendo que ele comprou é P(A1|B) Mas o somatório: Logo: P(A1|B) = ( ⋅ ) :P(A1|B) = : P(A1|B) = ⋅ P(A1|B) = P(A1|B) ≅ 0,5714 ≅ 57,14% Exercícios ResolvidosR01 — No lançamento de dado qual a probabilidade de sair um número maior do que 4? Seja o evento A = {número maior do que 4} O espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } P(A) = P(A) = = R02 — Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Não é necessário encontrar o espaço amostral, mas sim a quandidade de elementos dele. Há sempre duas possibilidades, cara (C) ou coroa (K), assim: n(Ω) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 = 16 (princípio fundamental da contagem) Seja o evento B = {número de caras igual ao número de coroas} B = { (C, C, K, K); (C, K, C, K); (C,
K, K, C); (K, C, C, K); (K, C, K, C); (K, K, C, C) } P(B) = = R03 — Em uma urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bola. Seja os eventos logo, n(A) = 10 e n(B) = 6 O número de elementos de A e B é n(A ∩ B) = 3 P(B) = P(A ∩ B) = A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) = + – = Neste
caso em particular, não há necessidade de se resolver desta maneira, P(A ∪ B) = P(A ∪ B) = R04 — Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Um baralho tem 13 cartas de cada um dos quatro naipes, portanto 52 cartas. Ω = {duas cartas retiradas de um baralho} n(Ω) é dado por: Evento A = {ambas serem de copas} n(A) é dado por: Evento B = {ambas serem de espadas} n(B) é dado por: A ∩ B = Ø A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A ∪ B) = +P(A ∪ B) ≅ 0,0588 + 0,0588 P(A ∪ B) ≅ 0,1176 P(A ∪ B) ≅ 11,76% Observação: n(Ω) = AR52,2 = 522 (arranjo com repetição) R05 — Uma nota é retirada aleatoriamente de uma gaveta contendo: O
total de notas é o número de elementos do espaço amostral. Seja E = {a nota não é de dez reais} Então ou ela é de R$ 2,00 (tem 4) ou de R$ 5,00 (tem 6) ou de R$ 20,00 (tem 8) Sejam os eventos: P(A) = P(B) = P(C) = Os eventos são mutuamente excludentes, isto é, não há elementos nas intersecções. P(E) = P(A
∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) P(E) = = = 0,9 = 90% Este problema pode ser resolvido pelo complementar do evento: P(E) = = P(E) = 1 − P(E) P(E) = = 0,9 = 90% R06 — Três palestrantes serão sorteados dentre os cinco argentinos, O nº de maneiras
para se saber os sorteados é o nº de elementos do espaço amostral. Seja A = {pelo menos um sorteado ser brasileiro} Como há três brasileiros, então poderia se ter: Situação
1 Situação 2 Situação 3 Assim, as situações seriam: Situação 2 Situação 3 n(A) = C3,1 ⋅ C5,2 + C3,1 ⋅ C2,2 + C3,1
⋅ C5,1 ⋅ C2,1 + C3,2 ⋅ C5,1 + C3,2 ⋅ C2,1 + C3,3 P(A) = = ≅ 0,7083 Este é mais um problema em que usar o complementar do evento simplifica o cálculo. Há apenas
três casos: três argentinos: dois argentinos e um colombiano: um argentino de dois colombianos: n(A) = C5,3 +
C5,2 ⋅ C2,1 + C5,1 ⋅ C2,2 P(A) = P(A) = 1 – P(A) P(A) = = ≅ 0,7083 R07 — Em uma sacola
há fichas numeradas de 1 a 10, O número total de fichas é o número de elementos do espaço amostral. Sejam os eventos: A = {2, 4, 6, 8, 10} P(A) = =P(B) = São eventos independentes, pois a ocorrência de A não interfere
na ocorrência de B. R08 — Um dado foi fabricado de tal forma que ao ser lançado, O espaço amostral é: Sejam os eventos mutuamente exclusivos: Pelo enunciado tem-se que: Chamando a probabilidade de sair um número ímpar de x, dessa forma tem-se: A probabilidade do espaço amostral ocorrer é 1, assim: x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1 Daí, a probabilidade de: P(B) = P(D) = P(F) = a) A probabilidade de sair um número par é: b) A probabilidade de sair o número dois ou o número três é: Fazendo-se de outra maneira Sejam os eventos: Como A ∩ B = Ø, então: Se sabe que a probabilidade de
ocorrer: a) P(A) = 2 ⋅ P(B) = 2 ⋅ =b) P(1 ∪ 3 ∪ 5 ) = P(1) + P(3) + P(5) = P(1) = P(3) = P(5) (probabilidade dos ímpares são iguais) Assim, em: P(3) + P(3) + P(3) = 3 ⋅ P(3) = P(3) = P(2) = P(4) = P(6) = P(2 ∪ 3) = P(2) + P(3) = + = = R09 — Uma
determinada peça é manufaturada por três máquinas: A, B e C. Considerando os seguintes eventos: Sabe-se que: P(B) = = 0,25 P(C) = = 0,25 Sabe-se também que: P(D|C) = 4% = = 0,04 Logo, tem-se: R10 — Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas máquinas. Sejam os eventos: P(M1) = 35% = 0,35 Deseja-se encontrar P(M2|D), logo: Pelo teorema de Bayes: P(D) = P(D|M1) ⋅ P(M1) + P(D|M2) ⋅ P(M2) P(M2|D) = [ P(D|M2) ⋅ P(M2) ] / P(D) P(M2|D) = [ 0,025 ⋅ 0,65 ] / 0,03375 Exercícios Propostos P01 — Um número natural é escolhida ao acaso entre 1 e 100. P02 — Calcule a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida, P03 — No lançamento dois dados. Calcule a probabilidade de ocorrer a soma 7. P04 — Uma urna contém 10 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas e 9 bolas pretas. P05 — Escolhe ao acaso um número natural entre 11 e 951. P06 — Seja S = {a, b, c, d}. Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P07 — No lançamento de 3 moedas. Qual a probabilidade de:
P08 — Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1 e 50. P09 — Uma urna A contém 4 bolas: 2 brancas e 2 pretas; P10 — As probabilidades de três jogadores marcarem um “penalty” são, respectivamente: P11 — Três parafusos e três porcas estão numa caixa. P12 — As chances de um time de futebol "A" ganhar o campeonato o é de "7 para 2". P13 — De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. P14 — Suponha que numa turma há 6 moças e 10 rapazes. P15 — Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres. P16 — Dois dados são lançados, sejam os eventos: P17 — Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente: P18 — Um grupo de 15 pessoas, dispostas da seguinte forma: P19 — O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. P20 — Em
uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de emissão de poluentes, P21 — Duas bolas são retiradas ( com reposição ) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Exercícios com resposta P22 — Tenho 79
vezes para sair um número de 0 a 9. Escolho o número (5) O espaço amostral é S = {0, 1, 2, 3, . . . , 9} A probabilidade de NÃO sair o número 5 é a mesma de qualquer outro, ou seja, P({não sair o 5}) = 1 – = a) A probabilidade do
5 não sair nas 79 vezes é calculada pela expressão: ⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅ = ()79 b) A probablidade do 5 sair uma única vez em 79 vezes é calculada pela expressão: ⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅ = ⋅ ()78 Se a posição não importar essa será a resposta, mas se ela tiver importância, Caso 2 Tenho 41 vezes para sair um número de 0 a 9. Agora escolho 02 números 8 e 9. A probabilidade de sair o 8, 9, ou 5, e, a mesma. a) A probabilidade do 8 não sair nas 41 vezes é calculada pela expressão: Que é a mesma para o 9, assim, somar duas parcelas iguais é DUAS vezes o mesmo resultado. 2 ⋅ ()41 b) Da mesma forma que a o item b anterior, só que somados: Mega-SenaNa mega-sena, escolhe-se 6 dezenas dentre 60. Assim, o número de elementos do espaço amostral é: Jogar um cartão simples de 6
dezenas, tem como número de elementos do evento: A probabilidade é dada pelo nº de elementos do evento pelo nº do espaço amostal. Se for jogar 7 dezenas, num mesmo cartão simples de 6 dezenas, Mas, como só é sorteado 6 dezenas, o espaço amostral é: Simplificando a fração por 7, tem-se: P(E) = Esta mesma situação
para 8 dezenas. A probabilidade é dada pelo nº de elementos do evento pelo nº do espaço amostal. Simplificando a fração por 28, tem-se: P(E) = Qual a probabilidade de ocorrer um número ímpar no lançamento de um dado?A probabilidade de obtermos um número primo ou um número ímpar ao lançarmos um dado é igual a 2/3.
Qual a probabilidade de obtermos um número ímpar?Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. 0,5 ou 50% de chancesResposta: Ao jogar um dado,qual a probabilidades de obtermos um numero ímpar voltada pra cima Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.
Qual é a probabilidade de se obter um número ímpar no lançamento de um dado de seis faces numeradas de 1 a 6?Simplificando a fração, temos 1/2 ou 50%.
Qual a probabilidade de em um lançamento de um dado o resultado ser um número par é maior que 3?A probabilidade de se obter um número que é par e acima de 3 é 1/3, já que há duas de seis possibilidades: 4 e 6.
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