Como resolver um sistema pelo método da adição?

Como resolver os sistemas pelo método da adição?

Para isso, usaremos como exemplo o seguinte sistema:

1. Primeiro passo: organizar os termos do sistema. ...
2. Segundo passo: multiplicar uma das equações por uma constante apropriada. ...
3. Terceiro passo: somar as equações. ...
4. Quarto passo: encontrar o valor numérico da segunda incógnita.

Como resolver Sistema de equação pelo método da substituição?

Esse método consiste basicamente em três etapas:

1. Encontrar o valor algébrico de uma das incógnitas usando uma das equações;
2. Substituir esse valor na outra equação. ...
3. Substituir o valor numérico já encontrado em uma das equações para descobrir o valor da incógnita ainda desconhecida.

Como funciona o método da adição?

• Para isso, existem alguns métodos diferentes, como o método da adição. O método da adição consiste em somar as equações para “sumir” com uma das incógnitas. Mas muitas vezes, antes de somar as equações, precisamos multiplicar uma (ou as duas) equação por um número.

Qual o sistema de equação pelo método da adição?

• Sistema de equação pelo método da adição. Exercício 01 Sistema de equação pelo método da adição. Exercício 03. An error occurred while retrieving sharing information. Please try again later.

Quais são os métodos utilizados para resolver sistemas de equações?

• Existem vários métodos que podem ser usados para resolver sistemas de equações. Um dos mais conhecidos é o método da adição. Ele visa a eliminar uma das incógnitas de um sistema pela soma dos termos semelhantes das equações que o compõem.

Como é o método da substituição?

• MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO Como o próprio nome sugere, a essência do método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir essa mesma incógnita pelo valor algébrico encontrado na outra equação. Vamos ver como isso acontece direitinho acompanhando com atenção os passos seguintes.

Um sistema de equações é constituído por um conjunto de equações que apresentam mais de uma incógnita. Para resolver um sistema é necessário encontrar os valores que satisfaçam simultaneamente todas as equações.

Um sistema é chamado do 1º grau, quando o maior expoente das incógnitas, que integram as equações, é igual a 1 e não existe multiplicação entre essas incógnitas.

Como resolver um sistema de equações do 1º grau?

Podemos resolver um sistema de equações do 1º grau, com duas incógnitas, usando o método da substituição ou o da soma.

Método da substituição

Esse método consiste em escolher uma das equações e isolarmos uma das incógnitas, para determinar o seu valor em relação a outra incógnita. Depois, substituímos esse valor na outra equação.

Desta forma, a segunda equação ficará com uma única incógnita e, assim, poderemos encontrar o seu valor final. Para finalizar, substituímos na primeira equação o valor encontrado e, assim, encontramos também o valor da outra incógnita.

Exemplo

Resolva o seguinte sistema de equações:

Resolução

Vamos começar escolhendo a primeira equação do sistema, que é a equação mais simples, para isolar o x. Assim temos:

Após substituir o valor de x, na segunda equação, podemos resolvê-la, da seguinte maneira:

Agora que encontramos o valor do y, podemos substituir esse valor da primeira equação, para encontrar o valor do x:

Assim, a solução para o sistema dado é o par ordenado (8, 4). Repare que esse resultado tornam ambas as equações verdadeiras, pois 8 + 4 = 12 e 3.8 - 4 = 20.

Método da Adição

No método da adição buscamos juntar as duas equações em uma única equação, eliminando uma das incógnitas.

Para isso, é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos, isto é, devem ter o mesmo valor e sinais contrários.

Exemplo

Para exemplificar o método da adição, vamos resolver o mesmo sistema anterior:

Note que nesse sistema a incógnita y possui coeficientes opostos, ou seja, 1 e - 1. Então, iremos começar a calcular somando as duas equações, conforme indicamos abaixo:

Ao anular o y, a equação ficou apenas com o x, portanto agora, podemos resolver a equação:

Para encontrar o valor do y, basta substituir esse valor em uma das duas equações. Vamos substituir na mais simples:

Note que o resultado é o mesmo que já havíamos encontrado, usando o método da substituição.

Quando as equações de um sistema não apresentam incógnitas com coeficientes opostos, podemos multiplicar todos os termos por um determinado valor, a fim de tornar possível utilizar esse método.

Por exemplo, no sistema abaixo, os coeficientes de x e de y não são opostos:

Portanto, não podemos, inicialmente, anular nenhuma das incógnitas. Neste caso, devemos multiplicar por algum número que transforme o coeficiente em um número oposto do coeficiente da outra equação.

Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por - 2. Contudo, devemos ter o cuidado de multiplicarmos todos os termos por - 2, para não modificarmos a igualdade.

Assim, o sistema equivalente ao que queremos calcular é:

Agora, é possível resolver o sistema por adição, conforme apresentado abaixo:

Logo, x = - 12, não podemos esquecer de substituir esse valor em uma das equações para encontrar o valor do y. Substituindo na primeira equação, temos:

Assim, a solução para o sistema é o par ordenado (- 12, 60)

Classificação dos sistemas de equações

Um sistema do 1º grau, com duas incógnitas x e y, formado pelas equações a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2, terá a seguinte classificação: possível e determinado, possível e indeterminado e impossível.

O sistema será possível e determinado quando apresentar uma única solução. Isso acontecerá quando:

Quando o sistema apresentar infinitas soluções, será classificado como possível e indeterminado. A condição para que um sistema seja desse tipo é:

Já os sistemas impossíveis, não possuem nenhuma solução. Nesse tipo de sistema temos:

Exemplo

Classifique o sistema abaixo:

Para identificar o tipo de sistema, vamos calcular a razão entre os coeficientes das equações:

Como

Então, o sistema é impossível.

Para saber mais, leia também:

• Sistemas de Equações do 1º grau - Exercícios
• Sistemas lineares
• Escalonamento de Sistemas Lineares
• Equação do Primeiro Grau
• Equação do Segundo Grau
• Função Quadrática - Exercícios
• Inequação
• Progressão Aritmética - Exercícios

Exercícios Resolvidos

1) Cefet - RJ - 2016

Uma garrafa PET (politereftalato de etileno) com sua tampa custa sessenta centavos. Sabendo que a garrafa custa cinquenta centavos a mais que a tampa, quanto custa só a tampa?

a) R$ 0,05
b) R$ 0,15
c) R$ 0,25
d) R$ 0,35

Ver Resposta

Considerando x o valor da garrafa e y o valor da tampa, temos o seguinte sistema:

Resolvendo o sistema por adição, temos:

x = 0,55 , que é o valor da garrafa. Logo só a tampa custa 0,55-0,50 = 0,05

Alternativa a: R$0,05

2) Cefet - RJ - 2014

Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro?

a) 120
b) 125
c) 130
d) 135

Ver Resposta

Considerando x a quantidade de dias na 1ª situação; e y a quantidade de dias na 2ª situação, e que em ambas situações o número de páginas lidas é o mesmo, podemos formar o seguinte sistema:

Resolvendo o sistema por substituição, temos:

5 (y-16) = 3y
5y - 80 = 3y
5y - 3y = 80
2y = 80
y = 80/2 = 40

O número de páginas do livro será dado por 3.y, logo o livro tem 120 páginas.

Alternativa a: 120

3) Uerj - 2015

De acordo com os dados do quadrinho, a personagem gastou R$ 67,00 na compra de x lotes de maçã, y melões e quatro dúzias de bananas, em um total de 89 unidades de frutas.
Desse total, o número de unidades de maçãs comprado foi igual a:

a) 24
b) 30
c) 36
d) 42

Ver Resposta

Considerando as informações contidas na imagem e nos dados do problema, temos o seguinte sistema:

Vamos resolver o sistema por substituição, isolando o y na segunda equação. Assim, temos:

y= 41-6x

Substituindo na segunda equação, encontramos:

5x + 5(41 - 6x) = 67 - 12
5x +205 - 30x = 55
30x - 5x = 205 - 55
25x = 150
x = 6

Logo, foram comprados 6 lotes de maçãs. Como cada lote tem 6 unidade, então foram comprados 36 unidades de maçãs.

Alternativa c: 36

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Como resolver um sistema de equação pelo método de adição?

Como resolver sistemas passo a passo?