Devido ao seu formato e a algumas propriedades interessantes, o triângulo retângulo foi determinante para a origem da Trigonometria. Nela podemos determinar o índice de subida criando relações com termos oriundos da trigonometria como seno, cosseno e tangente. No triângulo, temos que a soma dos ângulos internos corresponde a 180º. Sabendo que um dos ângulos do triângulo retângulo mede 90º, determinamos que os outros tenham medidas menores que 90º, isto é, ângulos agudos e complementares. Agudos, por possuírem medidas menores que 90º e complementares, devido à soma ser igual a 90º.
À esses ângulos agudos, foram relacionados valores do seno, cosseno e tangente de acordo com os estudos trigonométricos. Vamos determinar no triângulo retângulo, em relação a um dos ângulos agudos, a ideia do índice de subida. Veja:
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)
De acordo com o triângulo e os elementos fornecidos, podemos estabelecer três situações em relação ao ângulo agudo α. Veja:
A medida da altura é o correspondente ao lado oposto do ângulo α.
A medida representada pelo afastamento corresponde ao lado adjacente do ângulo α.
O percurso diz respeito à medida da hipotenusa do triângulo retângulo.
De acordo com essas relações estabelecemos as seguintes relações trigonométricas:
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Trigonometria - Matemática - Brasil Escola
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
RIGONATTO, Marcelo. "Propriedades do Triângulo Retângulo "; Brasil Escola. Disponível em: //brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-triangulo-retangulo.htm. Acesso em 07 de dezembro de 2022.
De estudante para estudante
Mande sua pergunta
O ângulo agudo é aquele arco formado pela união de duas retas que medem menos de 90º ou π / 2 radianos.
Um ângulo agudo é então aquele que mede menos do que um ângulo reto. Assim, as linhas que o formam não são perpendiculares.
Vale ressaltar que dois ângulos complementares, ou seja, somam 90º, são ângulos agudos.
Da mesma forma, um ângulo agudo tem como ângulo suplementar (com o qual forma um ângulo reto de 180º) a um ângulo obtuso (que mede entre 90º e 180º).
Como exemplo diário de ângulo agudo, temos que se forma quando escrevemos, sendo um o lápis ou caneta e o outro, a mesa ou superfície.
Exemplos de ângulo agudo
Alguns exemplos de ângulos agudos são os seguintes:
- Triângulo equilátero: Todos os ângulos internos medem 60º. Quero dizer, eles são todos afiados.
- Triângulo retângulo: Se um de seus ângulos estiver correto, os outros dois devem ser complementares (somar 90º). Isso porque os ângulos internos de qualquer triângulo somam 180º.
- Diamante: Dois de seus ângulos são agudos e dois são obtusos, como podemos ver na imagem abaixo
Você vai ajudar o desenvolvimento do site, compartilhando a página com seus amigos
O triângulo retângulo é uma figura geométrica formada por três lados. Ele possui um ângulo reto, cuja medida é de 90º, e dois ângulos agudos, menores que 90º.
Representação de um triângulo retângulo
Principais Características
Lados do Triângulo Retângulo
O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado hipotenusa. Esse é o maior dos três lados da figura.
Os demais lados são denominados de cateto adjacente e cateto oposto.
Note que a hipotenusa no triângulo ABC acima, é representada como a (lado BC) e os catetos como b (lado AC) e c (lado AB).
Em relação aos lados dos triângulos, temos a classificação:
- Triângulo Equilátero: possui os três lados iguais.
- Triângulo Isósceles: possui dois lados iguais, e um diferente.
- Triângulo Escaleno: possui os três lados diferentes.
Ângulos do Triângulo Retângulo
Como ocorre em todos os triângulos, a soma dos ângulos internos do triângulo retângulo é de 180º.
Os vértices dos ângulos são representados por (A), (B) e (C). Já o "h" é a altura relativa à hipotenusa.
Portanto, conforme a figura acima temos:
- A é um ângulo reto: 90º
- B e C são ângulos agudos, ou seja, são menores que 90º
Feita essa observação, o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares, donde a soma dos dois ângulos medem 90º.
A + B = 90°.
Em relação aos ângulos internos dos triângulos, temos a classificação:
- Triângulo Retângulo: possui um ângulo interno reto (90º).
- Triângulo Acutângulo: todos os ângulos internos são agudos, ou seja, as medidas dos ângulos são menores que 90º.
- Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, ou seja, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Área do Triângulo Retângulo
Para calcular a área de um triângulo retângulo, utiliza-se a seguinte expressão:
Onde,
A: área
b: base
h: altura
Perímetro do Triângulo Retângulo
O perímetro de uma figura geométrica, corresponde a soma de todos os lados. Ela é calculada pela seguinte fórmula:
P = L+L+L
ou
P = 3L
Onde,
P: perímetro
L: lados
Leia mais: Perímetro do Triângulo.
Trigonometria no Triângulo Retângulo
A trigonometria é a área que estuda as relações existentes nos triângulos que possuem um ângulo reto (90º). As relações trigonométricas num triângulo retângulo são:
Seno
Cosseno
cateto adjacente/hipotenusa
Tangente
Leia também:
- Trigonometria no Triângulo Retângulo
- Ângulos Notáveis
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é, talvez, o mais importante da matemática. Esse teorema afirma que para qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa equivale à soma dos quadrados dos catetos. É representado da seguinte forma:
Leia também:
- Relações Métricas no Triângulo Retângulo
- Hipotenusa: como calcular sua medida
Exercícios de triângulo retângulo com gabarito
Exercício 1
(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 6√3 m.
b) 12 m.
c) 13,6 m.
d) 9√3 m.
e) 18 m.
Ver Resposta
Alternativa e: 18 m.
De uma tabela trigonométrica temos que sen 30º é igual a 0,5. O cateto oposto ao ângulo de 30º é a altura do triângulo e o comprimento é a hipotenusa.
Exercício 2
(Enem-2013) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha.
A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB).
Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço
a) menor que 100 m2.
b) entre 100 m2 e 300
m2.
c) entre 300 m2 e 500 m2.
d) entre 500 m2 e 700 m2.
e) maior que 700 m2.
Ver Resposta
Alternativa e: maior que 700 m2.
Como a base é um quadrado, precisamos determinar o lado para determinar a área.
A torre faz um ângulo de 15º com a vertical e utilizando a altura AB de 114 m, é possível determinar a base L
A área do quadrado é determinada por L . L = L²
A resposta é então a alternativa e, sendo a área maior que 700 m².
Exercício 3
(UFAM) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo medem 2a e 4a, respectivamente, então a tangente do ângulo oposto ao menor lado é:
a) 2√3
b) √3/3
c) √3/6
d) √20/20
e) 3√3
Ver Resposta
Alternativa b: √3/3.
Para determinar o terceiro lado utilizamos o teorema de Pitágoras.
Fatorando o 12, temos
Como o menor lado é o de medida 2a.
A partir do ângulo oposto ao lado 2a, a tangente será:
Racionalizando para tirar o raiz do denominador:
Desta forma, a resposta é a opção b.
Aprenda mais com:
Triângulo: tudo sobre este polígono
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.