Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Quantos algarismos são necessários para numerarmos as mil páginas de um livro, começando na página [tex]1[/tex]?
Solução
A numeração deve ser dividida de acordo com a quantidade de algarismos que há em cada página. Vejamos:
- de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex] há [tex](9-1 + 1) \times 1 = 9[/tex] algarismos;
- de [tex]10[/tex] a [tex]99[/tex] há [tex](99-10 + 1) \times 2 = 180[/tex] algarismos;
- de [tex]100[/tex] a [tex]999[/tex] há [tex](999-100 + 1) \times 3 = 2700[/tex] algarismos;
- para a página [tex]1\,000[/tex] serão usados [tex]4[/tex] algarismos.
Desse modo, o total de algarismos utilizados é [tex]9 + 180 + 2700 + 4 = 2893[/tex].
Solução elaborada pelo Clube KHÉRIMA,
com
contribuições dos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube KHÉRIMA.
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A Matemática e Raciocínio Lógico > ALGARISMOS Observações: 1) Quem escreve desde um número A até um número B, escreve ao todo (B – A + 1). Exemplo1: De 41 a 100 quantos número temos? Solução: 100 – 41 + 1 = 59 + 1 = 60 Também podemos trabalhar com o sucessivo: O sucessivo de 100 é 101 Então: 101 – 41 = 60 Exemplo2: De 345 a 789 incluídos esses números, quantos inteiros e consecutivos existem? Solução: 789 – 345 + 1 = 444 + 1 = 445 Com o sucessivo de 789 é 790 → 790 – 345 = 445 Isso ocorre com os números incluídos, mas se forem com os excluídos, a resolução passa a ser assim: Do maior número subtraímos o sucessor do menor Exemplo1: De 132 a 186 excluídos esses, calcule quantos números inteiros e consecutivos existem. Sucessivo do menor 133 → 186 – 133 = 53 Exemplo2: Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até 251 excluídos esses. Solução: Sucessivo do menor 21 → 251 – 21 = 230 Excluídos e incluídos: Basta subtrair do número maior o menor Exemplo: Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243 excluído e 527 incluído. Solução : 527 – 243 = 284 01) De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes como unidade e 10 vezes como centena. 02) De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes como unidade e 100 vezes como dezena e 100 vezes como centena. 03) De 1 a 10n qualquer algarismo aparece ; 10 n -1 como unidade, 10 n-1 com dezena e 10 n-1 como centena. 04) Quantidade de algarismos: Q(x) = n(x + 1) - 10n – 10 9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Quantos algarismos são necessários para se escrever os números ímpares de 5 até 175. Solução: O sucessor de 175 é 176. Q(x) = 3x – 108 (0-1-2-3-4-5 seis números que serão retirados) Q(x) = 3 x 176 – 108 → Q(x) = 528 – 108 → Q (x) = 420 420 – 6 = 207 algarismos Resposta .: 207 algarismos 02) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive. Solução: O sucessor de 934 é 935 de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = + 180 189 algarismos 935 – 100 = 835 → 835 x 3 = 2505 → 2505 + 189 = 2694 algarismos Resposta.: 2694 algarismos 2) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 7 a 32.427, inclusive. Solução: O sucessor de 32.427 é 32.428. de 7 a 10 = 1 x 3 = 3 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 de 100 a 1000 = 3 x 900 = 2700 de 1000 a 10.000 = 4 x 9.000 = + 36.000 38.883 32.428 – 10.000 = 22.428 → 22.428 x 5 = 112.140 → 112.428 + 38.883 = 151.023 Resposta.: 151.023 algarismos 03) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 5 algarismos. Solução: Na = n x 9 x 10 n-1 Na = 5 x 9 x 10 5-1 = 5 x 9 x 10 4 = 5 x 9 x 10000 = 450.000 algarismos 04) Calcular o número algarismos necessários para se escrever todos os números de sete algarismos. Solução: Na = 7 x 9 x 10 7-1 = 63 x 10 6 = 63 x 1000000 = 63.000.000 algarismos 05) Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algarismos foram necessários. Solução. O sucessor de 126 é 127 páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 127 – 100 = 27 → 27 x 3 = 81 algarismos → 81 + 189 = 270 algarismos Resposta.: 270 algarismos 06) Em um teatro há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão necessários Para enumerá-las. Solução. O sucessor de 150 é 151 poltronas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 151 – 100 = 51 → 51 x 3 = 153 → 153 + 189 = 342 algarismos Resposta.; 342 algarismos 08) Em um cinema há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão necessários Para enumerá-las. Solução. O sucessor de 130 é 131 cadeiras algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 131 – 100 = 31 → 31 x 3 = 93 algarismos → 93 + 189 = 282 algarismos Resposta .: 282 algarismos 09) Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enu- merá-las? Solução. O sucessor de 2.593 é 2.594. páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 de 100 a 1000 = 3 x 900 = 2700 999 2889 2.594 – 1000 = 1.594→ 1.594 x 4 = 6.376 algarismos → 6.376 + 2.889 = 9.265 Resposta .: 9.265 algarismos 10) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algarismos. Calcular quantas páginas tem esse livro. Solução. Para o número de páginas Não precisamos do sucessivo. Páginas De 1 a 10 = 1 x 9 = 9 De 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 270 – 189 = 81 → 81 ÷ 3 = 27 páginas → 27 + 99 = 126 páginas Resposta .: 126 paginas. 11) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algarismos. Calcule quantas páginas tem esse livro. Solução páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 99 189 570 – 189 = 381 algarismos → 381 ÷ 3 = 127 páginas → 127 + 99 = 226 páginas Resposta.: 226 páginas 12) Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 3.421 algarismos. Calcule quantas páginas tem esse livro. Solução páginas algarismos de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 de 100 a 1000 = 3 x 900 = 2700 999 2889 3.421 – 2889 = 532 algarismos → 532 ÷ 3 = 133 páginas → 133 + 999 = 1.132 Resposta.: 1.132 páginas 13) Calcular o número necessário de algarismos para se escrever todos os números naturais de 1 a 88. Solução O sucessor de 88 é 89 de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 89 –10 = 79 → 79 x 2 = 158 algarismos → 158 + 9 = 167 algarismos Resposta.: 167 algarismos 14) Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números naturais de 30 a 176. Solução. O sucessor de 176 é 177 100 – 30 = 70 → 70 x 2 = 140 algarismos 176 – 100 = 76 → 76 x 3 = + 228 algarismos 368 algarismos Resposta .: 368 algarismos 15) Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os números de 30 a 91. Solução . O sucessor de 91 é 92 92 – 30 = 62 → 62 x 2 = 124 algarismos Resposta.; 124 algarismos 16) Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os números de 1 a 934, inclusive. Solução. O Sucessor de 934 é 935 de 1 a 10 = 1 x 9 = 9 de 10 a 100 = 2 x 90 = 180 189 935 – 100 = 835 algarismos → 835 x 3 = 2.505 algarismos → 2.505 + 189 = 2.694 Resposta.: 2.694 algarismos 17)Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive. Solução O Sucessor de 175 é 176. de 5 a 10 = 5, 7 e 9 → 3 ÷ 3 = 1 176 – 100 = 76 → 76 ÷ 2 = 38 números ímpares 100 – 10 = 90 → 90 ÷ 2 = 45 números ímpares 3 x 1 = 3 45 x 2 = 90 38 x 3 = 114 207 Resposta .: 207 algarismos 18) Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários para enumerá-las. Solução.
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