No experimento aleatório da escolha de números de 3 dígitos distintos

A análise combinatória envolve cálculos relacionados à contagem, que envolve a análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto de elementos. A análise combinatória é largamente utilizada nos cálculos de probabilidades.

Probabilidade

A Probabilidade é um campo da estatística e matemática que envolve calcular as chances de obter determinado resultado diante de um experimento aleatório. São exemplos um lançamento de dados ou a possibilidade de ganhar na loteria. A probabilidade (\(P\)) é igual à razão entre o número de eventos favoráveis (\(n_f\)) e o número de eventos possíveis (\(n\)): \[ P=\frac{n_f}{n}. \]

Princípio Fundamental da Contagem

Quando um evento é composto por \(2\) etapas sucessivas e independentes, de tal modo que o número de possibilidades na primeira etapa é igual a \(n_1\) e o número de possibilidades na segunda etapa é igual a \(n_2\), então o número total de possibilidades \((n)\) é dado pelo produto \(n_1 \times n_2\): \[ n=n_1 \times n_2. \] Este raciocínio se extende para várias etapas sucessivas independentes: \[ n=n_1 \times n_2 \times \ldots \times n_m. \] Em resumo, no princípio fundamental da contagem, multiplica-se o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.

Exemplo 1: Jeniffer irá participar da promoção de uma loja de roupas que está dando um vale compras no valor de \(1.000,00\) reais. Ganhará o desafio o primeiro participante que conseguir fazer o maior número de combinações com o kit de roupas cedido pela loja. No kit temos: seis camisetas, quatro saias e dois pares de sapatos. De quantas maneiras distintas Jeniffer poderá combinar todo o vestuário do kit de roupas?
Pelo princípio fundamental da contagem, o total de possibilidades é dado pelo produto:

\[\begin{eqnarray*} \text{ n } &=& \text{ Total de camisetas $\times$ Total de saias $\times$ Total de pares de sapatos}\\ &=& n_1 \times n_2 \times n_3 = 6 \times 4 \times 2 = 48. \end{eqnarray*}\]

Permutações

Permutações são agrupamentos ordenados em que o número de elementos do agrupamento (\(n\)) é igual ao número de elementos disponíveis (\(n\)). Além disso, cada elemento do agrupamento aparece somente uma vez. A contagem do número de permutações é dada pela fórmula: \[ \begin{array}{lcl} P_n=n! &&\text{ donde lê-se: "O número de permutações de $n$ elementos é igual a $n!$." } \end{array} \]

Exemplo 2: De quantas modos \(6\) carros podem estacionar em um pátio com \(6\) vagas de garagem?

• Primeiro modo, sem usar fórmula de permutação: O primeiro carro tem \(6\) opções para estacionar, o segundo \(5\), o terceiro \(4\), o quarto \(3\), o quinto \(2\) e o sexto apenas \(1\). Logo o número de possibilidades é \(6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720\).
• Outro modo, com fórmula de permutação: O número de possibilidades é dado por \(P_6=6!=720\).

No software R:

• utiliza-se o comando permutations, com n=6 (carros), r=6 (vagas), e guardando no objeto modos;
• o comando head mostra as 10 primeiras permutações do objeto modos;
• o comando nrow mostra o número de linhas do objeto modos, ou seja, o número total de permutações é igual a 720.

modos=permutations(n=6, r=6) head(modos,10)## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] ## [1,] 1 2 3 4 5 6 ## [2,] 1 2 3 4 6 5 ## [3,] 1 2 3 5 4 6 ## [4,] 1 2 3 5 6 4 ## [5,] 1 2 3 6 4 5 ## [6,] 1 2 3 6 5 4 ## [7,] 1 2 4 3 5 6 ## [8,] 1 2 4 3 6 5 ## [9,] 1 2 4 5 3 6 ## [10,] 1 2 4 5 6 3 nrow(modos)## [1] 720

Arranjo

Arranjos são agrupamentos ordenados em que os elementos são distintos e o número de elementos do agrupamento (\(p\)) é menor ou igual ao número de elementos disponíveis (\(n\)). A contagem do número de arranjos é dada pela fórmula: \[ A_{n,p}=\frac{n!}{(n-p)!} \text{ com $p \leq n$}, \] donde lê-se: “O número de arranjos de \(n\) elementos tomados \(p\) a \(p\) é igual a \(n!\) sobre \((n-p)!\)”

Exemplo 3: Um anagrama é uma combinação qualquer de letras. Quantos anagramas de \(4\) letras distintas podemos formar com um alfabeto de \(23\) letras?

• Primeiro modo: sem usar fórmula de arranjo: Queremos formar anagramas do tipo: ABCD, ou COXU, DCBA entre outras possibilidades. Na primeira posição temos \(23\) opções de letras, na segunda \(22\), na terceira \(21\) e na quarta temos \(20\). Logo o número de possibilidades é \(23.22.21.20=212520\).

• Outro modo:, com fórmula de arranjo: \[ A_{23,4}=\frac{23!}{19!} = 23.22.21.20=212520, \] donde lê-se: “O número de arranjos distintos de \(23\) elementos tomados \(4\) a \(4\) é igual a 212520.”

• Logo o número de anagramas é igual a \(212520\).

No software R:

• O comando LETTERS solta as letras do alfabeto em inglês, com 26 letras;
• realiza-se um filtro para retirar as letras “K”, “Y” e “W”, resultando em 23 letras do nosso alfabeto;
• utiliza-se o comando permutations, com n=23 (total de letras), r=4 (letras no anagrama), e guardando no objeto modos;
• o comando head mostra as 10 primeiras permutações do objeto modos;
• o comando nrow mostra o número de linhas do objeto modos, ou seja, o número total de arranjos é igual a 212520.

LETTERS## [1] "A" "B" "C" "D" "E" "F" "G" "H" "I" "J" "K" "L" "M" "N" "O" "P" "Q" "R" "S" ## [20] "T" "U" "V" "W" "X" "Y" "Z"letras=LETTERS[!(LETTERS %in% c("K","Y","W"))] modos=permutations(n=23, r=4,v=letras) head(modos,10)## [,1] [,2] [,3] [,4] ## [1,] "A" "B" "C" "D" ## [2,] "A" "B" "C" "E" ## [3,] "A" "B" "C" "F" ## [4,] "A" "B" "C" "G" ## [5,] "A" "B" "C" "H" ## [6,] "A" "B" "C" "I" ## [7,] "A" "B" "C" "J" ## [8,] "A" "B" "C" "L" ## [9,] "A" "B" "C" "M" ## [10,] "A" "B" "C" "N"nrow(modos)## [1] 212520

Exemplo 4: Sendo as letras de A a Z sem considerar o K, Y e W, então temos \(23\) letras e os anagramas CALO, OLAC, PIRA, REZA, OLHA, OEMU são alguns dentre as \(212520\) opções disponíveis. Observe que não é sempre que um anagrama é uma palavra do dicionário em português.

Combinação

Combinações são agrupamentos em que a ordem dos elementos não é importante. O número de elementos do agrupamento (\(p\)) é menor ou igual ao número de elementos disponíveis (\(n\)). Além disso, cada elemento do agrupamento aparece somente uma vez. A contagem do número de combinações é dada pela fórmula: \[ C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}, \text{ com $p \leq n$}, \] donde lê-se: “O número de combinações de \(n\) elementos tomados \(p\) a \(p\) é igual a \(n!\) sobre \(p!(n-p)!\)”.

Interpretação:

• Como a ordem dos elementos não é importante, então no denominador nós colocamos \(p!\);
  
• \(p!\) é o número de permutações de \(p\) elementos;
  
• significa que estamos descartando os agrupamentos que só diferem pela ordem dos elementos.

Exemplo 5: Quantos subconjuntos de \(3\) elementos possui o conjunto \(C=\{1,2,3,4,5\}\).

Resp.: Queremos subconjuntos do tipo: \(C_1=\{1,2,3\}\), \(C_2=\{1,2,4\}\), \(C_3=\{1,2,5\}\), entre outras possibilidades. Trata-se de combinação pois a ordem dos elementos não é importante, por exemplo \(\{1,2,3\}=\{1,3,2\}\). \[ C_{5,3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5.4.3!}{3!2!}=\frac{5.4}{2.1}=10 \text{ subconjuntos. } \] Fazendo a listagem dos subconjuntos, temos: \(C_1=\{1,2,3\},C_2=\{1,2,4\},C_3=\{1,2,5\},C_4=\{2,3,4\},C_5=\{2,3,5\},\)
\(C_6=\{2,4,5\},C_7=\{1,3,4\},C_8=\{1,3,5\},C_9=\{1,4,5\},C_{10}=\{3,4,5\}\).

No software R:

• utiliza-se o comando combinations, com n=5 (total de números), r=3 (números no conjunto), e guardando no objeto modos;
• o comando nrow mostra o número de linhas do objeto modos, ou seja, o número total de combinações é igual a 10.

modos=combinations(n=5, r=3) modos## [,1] [,2] [,3] ## [1,] 1 2 3 ## [2,] 1 2 4 ## [3,] 1 2 5 ## [4,] 1 3 4 ## [5,] 1 3 5 ## [6,] 1 4 5 ## [7,] 2 3 4 ## [8,] 2 3 5 ## [9,] 2 4 5 ## [10,] 3 4 5nrow(modos)## [1] 10

Exemplo 6: a) Em uma eleição para representante de turma, \(3\) alunos candidataram-se: Vanessa, Caio e Flávia. Quantos são os possíveis resultados dessa eleição?
Resp.: Trata-se de permutação pois a ordem (1º lugar, 2º lugar e 3º lugar) em que as pessoas aparecem é importante. \[ P_3=3!=6 \text{ resultados diferentes. } \]
b) Quantos números de \(3\) algarismos distintos podemos formar com os dígitos \(7\),\(8\) e \(9\)?
Resp.: Trata-se de permutação pois a ordem em que os números aparecem é importante. \[ P_3=3!=6 \text{ números de algarismos distintos. } \] Fazendo a listagem dos números, temos: \(789, 798, 879, 897, 978, 987\).
c) De quantas maneiras diferentes \(6\) pessoas podem se dispor em uma fila?
Resp.: Trata-se de permutação pois a ordem em que as pessoas aparecem é importante. \[ P_6=6!=720 \text{ maneiras diferentes. } \]
d) Considere a palavra LIVRO - Quantos anagramas são formados com as letras dessa palavra?
Resp.: Trata-se de permutação pois a ordem em que as letras aparecem é importante. \[ P_5=5!=120 \text{ anagramas. } \] Os anagramas LIRVO, IVRLO, VILRO são alguns dentre as \(120\) opções disponíveis.

• Quantos anagramas começam com L e terminam com O?
  Resp.: Queremos anagramas do tipo: LVIRO. Então basta permutar as outras \(3\) letras nos três espaços disponíveis. \[ P_3=3!=6 \text{ anagramas. } \] Fazendo a listagem dos anagramas, temos: LIRVO, LIVRO, LRIVO, LRVIO, LVRIO, LVIRO.

• Quantos anagramas contém as letras RO juntas e nesta ordem?
  Resp.: Queremos anagramas do tipo: VROLI. Então basta considerar RO como sendo uma única letra e permutar \(4\) letras em \(4\) espaços disponíveis. \[ P_4=4!=24 \text{ anagramas. } \] Os anagramas ROILV, IROLV , ILROV e ILVRO são alguns dentre as \(24\) opções disponíveis.
  

1. Considere os algarismos \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) e \(5\). Quantos números pares com algarismos distintos, maiores do que \(100\) e menores do que \(1000\) podemos formar?
   Resp.: Queremos números do tipo: 124, 342, 452, 514. Então podemos dividir o problema em:

• Caso 1: Números de \(3\) algarismos que terminam com \(2\). Trata-se de arranjo pois a ordem dos algarismos é importante e devemos escolher \(2\) algarismos dentre \(4\) opções disponíveis (\(1\), \(3\), \(4\) e \(5\)). \[ A_{4,2}=\frac{4!}{2!} = 4.3 = 12 \text{ números}, \]

• Caso 2: Números de \(3\) algarismos que terminam com \(4\): devemos escolher \(2\) algarismos dentre \(4\) opções disponíveis (\(1\), \(2\), \(3\) e \(5\)). \[ A_{4,2}=\frac{4!}{2!} = 4.3 = 12 \text{ números}. \] Então podemos formar \(24\) números diferentes. Os números \(1342\), \(1352\), \(3142\), \(3152\), \(1324\) e \(3124\) são alguns dentre as \(24\) opções disponíveis.
  

1. A uma reunião compareceram \(10\) pessoas. Todos os presentes cumprimentaram-se com um aperto de mão. Qual foi o número de apertos de mãos?
   Resp. Trata-se de combinação pois a ordem em que as pessoas apertam as mãos (Fulano aperta a mão de Ciclano ou Ciclano aperta a mão de Fulano) não é importante. Assim, devemos formar vários pares de pessoas de um grupo com \(10\) pessoas. \[ C_{10,2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10.9.8!}{8!2!}=\frac{10.9}{2.1}=45 \text{ apertos de mãos. } \]