Quando as forças têm mesma direção e sentidos opostos ela vale?

Em termos dos vetores unitários, qual é o torque em relação à origem a que está submetida uma partícula localizada nas coordenadas ( 0 ,   - 4,0   m ,   3,0   m) se esse torque se deve (a) a uma força F 1 → de componentes F 1 x = 2,0   N ,   F 1 y = F 1 z = 0 e (b) a uma força F 2 → de componentes F 2 x = 0 ,   F 2 y = 2,0   N ,   F 2 z = 4,0   N?

Na figura abaixo um cilindro com uma massa de 2,0   k g pode girar em torno de seu eixo central, que passa pelo ponto O. As forças mostradas têm os seguintes módulos: F 1 = 6,0   N, F 2 = 4,0   N, F 3 = 2,0   N e F 4 = 5,0   N. As distâncias radiais são r = 5,0   c m e R = 12   c m. Determine (a) o módulo e (b) a orientação da aceleração angular do cilindro. (Durante a rotação, as forças mantêm seus ângulos em relação ao cilindro.)

As cinco forças mostradas na figura, todas de mesmo módulo, agem sobre uma placa quadrada que pode girar em torno do ponto P. Ordene as forças em ordem crescente do módulo do torque que cada uma exerce em relação ao ponto P.

(A) F 5 ,   F 4 ,   F 2 ,   F 1 ,   F 3

(B) F 3 ,   F 2 ,   F 1 ,   F 4 ,   F 5

(C) F 1 ,   F 2 ,   F 4 ,   F 3 ,   F 5

(D) F 3 ,   F 1 ,   F 2 ,   F 4 ,   F 5

(E) F 3 ,   F 4 ,   F 2 ,   F 1 ,   F 5

Num experimento de momento angular mostrado na foto ao lado, um anel é colocado em contato com uma mesa giratória, de tal maneira que o eixo do anel coincida com o eixo de rotação da mesa (colisão angular inelástica). Antes do contato com o anel, a mesa girava com velocidade angular decrescente por causa do atrito com os rolamentos. Durante o experimento, a velocidade angular variou conforme ilustrado no gráfico.

Assuma que:

- o anel possui o mesmo momento de inércia   I que o da mesa giratória em relaçao àquele eixo de rotação,

- a força de atrito entre os rolamentos e a mesa giratória é constante durante todo o movimento.

Expresse todas as suas respostas em função de I  e dos dados do gráfico.

a) Calcule o torque da força de atrito entre os rolamentos e a mesa giratória

b) Calcule a energia cinética total do sistema anel-mesa logo antes da colisão ( t = 1,9   s) e

logo depois que o anel e a mesa começam a girar com mesma velocidade angular ( t = 2,4   s).

c) Calcule a energia dissipada pelo atrito entre a mesa e os rolamentos durante o intervalo

de tempo de 1,9 s a 2,4 s.

d)Calcule a energia dissipada pelo atrito entre a mesa e o anel durante o intervalo de

tempo de 1,9 s a 2,4 s.

O caminhão ilustrado abaixo, está com sua lança esticada L = 10   m desde seu eixo A até a sua ponta C. Sua inclinação é de 37 ° em relação à horizontal. A massa da lança é m L = 400   k g e para simplificar os cálculos considere-a uniformemente distribuída. O caminhão está estacionado, com a lança sustentando uma viga de aço de 5   m  de comprimento e massa m V = 600   k g, que se encontra na posição horizontal. De forma a manter tudo em equilíbrio estático, um braço hidráulico no topo da cabine de controle, inclinado de 67 ° em relação à horizontal, atua com uma força F b = 25.600   N no centro de massa da lança B. Despreze o atrito da lança com o eixo e as masas dos cabos e do gancho.

Utilize: sen ⁡ ( 37 ° ) =   0,60; cos ⁡ 37 ° = 0,80; sen ⁡ 67 ° = 0,92; cos ⁡ 67 ° = 0,39.

a ) Determine o vetor torque τ A →  em relação ao eixo exercido pelo braço hidráulico sobre a lança.

b )  Determine o vetor força F A → que atua sobre a extremidade da lança presa ao eixo

c )Suponha agora que em determinado instante, o braço hidráulico pare de atuar, calcule para este instante o módulo da aceleração angular da lança.

Um disco de raio r = 5,0   c m e massa m = 1,0   k g e um cubo de lado a = 10   c m e mesma massa, estão no topo de um plano com comprimento d = 2,0   m inclinado de θ = 60 ° com a horizontal. Existe atrito entre o plano inclinado e os dois objetos, os coeficientes de atrito cinético e atrito estático são respectivamente μ C = 0,3 e μ E = 0,5. Na base do plano existe um trilho na vertical com o formato de um anel de raio R = 35   c m como ilustra o desenho. A base do plano e o trilho têm superfícies com atrito desprezível. Na saída do trilho, está em repouso um segundo cubo idêntico ao primeiro com seu centro de massa na posição R - a 2 ,   - R + a 2 . Logo após o segundo cubo, a superfície horizontal apresenta um coeficiente de atrito cinético variável e no final desta superfície está uma mola com constante elástica k = 100   N / m. A superfície embaixo da mola tem atrito desprezível. A origem do sistema de coordenadas coincide com o centro do anel. A aceleração da gravidade é g = 10   m / s 2 . Desenvolva as equações na forma literal para somente no final substituir as variáveis pelos valores fornecidos.

c) Calcule o torque τ g → produzido no disco pela força da gravidade em relação ao ponto de contato com o plano inclinado.

Um disco de raio r = 5,0   c m e massa m = 1,0   k g e um cubo de lado a = 10   c m e mesma massa, estão no topo de um plano com comprimento d = 2,0   m inclinado de θ = 60 ° com a horizontal. Existe atrito entre o plano inclinado e os dois objetos, os coeficientes de atrito cinético e atrito estático são respectivamente μ C = 0,3 e μ E = 0,5. Na base do plano existe um trilho na vertical com o formato de um anel de raio R = 35   c m como ilustra o desenho. A base do plano e o trilho têm superfícies com atrito desprezível. Na saída do trilho, está em repouso um segundo cubo idêntico ao primeiro com seu centro de massa na posição R - a 2 ,   - R + a 2 . Logo após o segundo cubo, a superfície horizontal apresenta um coeficiente de atrito cinético variável e no final desta superfície está uma mola com constante elástica k = 100   N / m. A superfície embaixo da mola tem atrito desprezível. A origem do sistema de coordenadas coincide com o centro do anel. A aceleração da gravidade é g = 10   m / s 2 . Desenvolva as equações na forma literal para somente no final substituir as variáveis pelos valores fornecidos.

a) Os dois objetos são liberados a partir do repouso e descem o plano inclinado. O disco desce rolando sem deslizar. Utilize a 2ª Lei de Newton para determinar qual dos dois objetos chega primeiro à base do plano. Para este item um sistema de coordenadas diferente do proposto no desenho pode ser utilizado.

15. Um disco homogêneo de raio R = 10   c m e massa M = 5,0   k g está fixo por um pino a uma parede vertical no plano x y, conforme a figura abaixo. O disco pode girar, sem atrito, ao redor do eixo fixo que é perpendicular ao plano x y, e que passa pelo ponto O distante d   =   R / 2 do centro do disco. O disco não encosta na parede e, portanto, não há atrito com a parede vertical. Inicialmente, o centro de massa está na altura do eixo de rotação e um pequeno pino impede o disco de girar. O módulo do vetor aceleração angular do disco no instante em que o pino é removido, em r a d / s 2 , é:

Q 17 - Uma partícula de massa m 1 = 0,5   k g move-se em um plano horizontal O x y. O vetor posição, que aponta da origem O para a partícula, é dado por r → t = - 2,00 t 2 - t i ^ + 5,00 t 2 j ^ , com unidades no SI. Podemos afirmar que, no instante t = 5,0   s, o módulo do vetor torque em relação a origem O, em N . m, a que a partícula está sujeita é:

Um carretel é composto por um cilindro interno de raio r   =   R / 2 e massa M, enrolado por um fio ideal, com 2 discos idênticos, de massa M e raio R cada um, por fora do cilindro interno, concêntricos a este último (como um iô-iô). Inicialmente o carretel está em repouso em uma superfície horizontal quando o fio enrolado ao cilindro interno começa a ser puxado na direção horizontal, conforme a figura, por uma força de módulo F. Observa-se que o cilindro rola sem

deslizar sobre a superfície horizontal e sabe-se que o momento de inércia de um cilindro de massa m e raio r′ em relação a um eixo que passa por seu eixo desimetria é I C M = m r ' 2 2 .

Indique as respostas em termos de F ,   R   e   M.

(a) Mostre que o momento de inércia do carretel, em relação a seu eixo de simetria, vale

I C M = 9 8 M R 2

(b) Qual a direção e o sentido da força de atrito que atua no carretel?

(c) Determine o módulo e o sentido da aceleração do centro de massa do carretel.

(d) Qual a velocidade angular de rotação do carretel, em torno do eixo de simetria

que passa por seu centro de massa, após ele completar uma volta depois do instante

em que a força começa a atuar?

(e) Determine a energia cinética associada ao carretel no instante em que ele completa

a primeira volta após o início da aplicação da força F.

Uma barra fina rígida, de comprimento L e massa M distribuída de maneira uniforme ao longo de seu comprimento, está sobre uma mesa horizontal sem atrito, e pode girar em torno de uma de suas extremidades, que está fixada à mesa. Em um determinado instante, são aplicadas três forças à barra F 1 ,   F 2   e   F 3 . Conforme mostra a figura abaixo, F 2   e   F 3  são aplicadas no meio da barra, enquanto F 1 é aplicada na extremidade oposta à fixa. As forças F 1   e   F 2 são perpendiculares à barra enquanto F 3 faz um ângulo θ ≠ 90 °, tal que F 3 = F 2 = 2 | F 1 |.

Sobre os módulos dos torques causados por cada uma das forças, em relação ao ponto fixo (O), é válida a relação:

(a) | τ 1 |   =   | τ 2 |   >   | τ 3 |

(b) | τ 3 |   =   | τ 2 |   >   | τ 1 |

(c) | τ 1 |   =   | τ 2 |   =   | τ 3 |

(d) | τ 1 |   >   | τ 2 |   >   | τ 3 |

(e) | τ 1 |   >   | τ 2 |   =   | τ 3 |

Um mergulhador de 82,0   k g está na extremidade direita de uma prancha de massa desprezível de 5,00   m de comprimento. A prancha é sustentada por dois pilares que distam 1,60   m entre si, conforme a figura. Encontre a magnitude e a direção da força exercida pelo pilar A sobre a prancha.

(A) 1,71   k N, vertical para baixo.

(B) 1,71   k N, vertical para cima.

(C) 2,51   k N, vertical para baixo.

(D) 2,51   k N, vertical para cima.

(E) zero.

Uma barra uniforme de comprimento L e de massa desprezível é suspensa horizontalmente por uma dobradiça e uma corda, conforme a figura abaixo. Um bloco de peso 2 F 0 é colocado sobre a barra de forma que a dobradiça fique a uma distância d do seu centro, como mostrado na figura. Se a tensão da corda não pode exceder F 0 2 , quais são o máximo valor de   d e o módulo da força sobre a dobradiça nesta situação?

1. L 4 , 3 F 0 2 ,
2. 3 L 4 , 5 F 0 3 ,
3. L 2 , 3 F 0 2 ,
4. L 2 , F 0 4 ,
5. 3 L 2 , F 0 2 ,
6. L 4 , F 0 2 ,

Uma corda está amarrada à maçaneta de uma porta, vista de cima, que dista 0,72 m do eixo de rotação, conforme figura. No instante mostrado, a força F aplicada possui módulo de 5,0 N. Qual é o torque exercido por esta força sobre a porta?

(A) + 2,1 N m

(B) + 3,0 N m

(C) - 3,0 N m

(D) - 1,5 N m

(E) + 1,5 N m

O objeto ilustrado na figura ao lado pode girar livre em torno do eixo fixo z. Ele é composto 6 por hastes finas. As 2 hastes ao longo dos eixos x e y têm, cada uma, comprimento 2 L e massa M e estão presas pelo seu seu centro de massa ao eixo de rotação. As 4 hastes inclinadas têm, cada uma, a mesma massa M. Em determinado instante ( t = 0 ), a força F A → de módulo F na direção horizontal é aplicada no ponto A  conforme mostra a figura. No mesmo instante, outra força F C → de módulo 2 F e com a inclinação igual a inclinação da haste B C é aplicada no ponto C.

a) Mostre que o momento de inércia do objeto em torno do eixo z é dado por I = 10 M L 2 3 .

b) Escreva os vetores r → e F → necessários para calcular o torque em torno do eixo z provocado pela força aplicada em C, em t = 0. Calcule o produto vetorial e encontre τ C → .

c) Calcule o torque τ A → em torno do eixo z provocado pela força aplicada em A, em t = 0.

d) Calcule a aceleração angular α → do objeto neste instante.

e) Suponha agora que, para impedir o objeto de girar, uma terceira força é aplicada na direção horizontal no ponto B, em t = 0. Determine esta forca F B → .

f) Se ao invés da força aplicada no item anterior, a força em B for F B → = 2 F   î   - 2 F   j ^ . Calcule a força F e i x o → que o eixo faz no objeto para que este fique em equilíbrio estático.

Calcule o torque resultante sobre um cilindro sob ação das forças de módulo F 1 = 8,6 N, F 2 = 12,8 N e F 3 = 16,5 N em torno do centro, se a = 5,8 c m ,   b = 16,4 c m e α = 30 °. Considere como positivo um vetor apontando para dentro da página e note que a força de módulo F 3 é tangente à circunferência interna no ponto em que a mesma intercepta a linha tracejada.

Escolha uma:

1. 5,11 N m
2. - 2,68 N m
3. 2,55 N m
4. - 4,47 N m
5. - 1,46 N m
6. 3,03 N m
7. 0,28 N m
8. Nenhuma das alternativas

Sobre o disco de raio b, situado no plano x y, são aplicadas as forças como mostra a figura. As forças de 9,00   N e 10,0   N tangenciam o disco, a força de 8,00   N é normal do disco e a força de 20,0   N tangencia o círculo de raio a. Qual o torque resultante sobre o disco, em relação ao eixo z que passa por O e perpendicular ao disco. Considere a = 10,0   c m e b = 25,0   c m.

a ) - 0,500   k ^   ( N m )

b )   5,00   k ^   ( N m )

c )   2,75   k ^   ( N m )

d ) - 2,75   k ^   ( N m )

e ) - 0,750   k ^   ( N m )