Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares, que são apresentados a seguir:
Poliedro Planificação Elementos Tetraedro 4 faces triangulares 4 vértices 6 arestas Hexaedro 6 faces quadrangulares 8 vértices 12 arestas Octaedro 8 faces triangulares 6 vértices 12 arestas Dodecaedro 12 faces pentagonais 20 vértices 30 arestas Icosaedro 20 faces triangulares 12 vértices 30 arestas
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos:
V=8 A=12 F=6 8 - 12 + 6 = 2 | V = 12 A = 18 F = 8 12 - 18 + 8 = 2 |
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.
Como referenciar: "Geometria espacial" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em 29/10/2022 às 10:45. Disponível na Internet em //www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial8.php
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Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada. Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva
Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura.
Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro.
Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?
(FAAP-SP)
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces.
(PUC-MG)
Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares.
(UF-AM)
O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro?
respostas
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2
F + 20 = 50 + 2
F = 52 – 20
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces.
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V: vértice
A: arestas
F: faces
F = V – 3
F = 10 – 3
F = 7
O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
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O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um.
Faces: 6
Vértices: 8
Arestas: 12
Voltar a questão
* F + V = A + 2
* A = V + 6
F + V = V + 6 + 2
F + V – V = 8
F = 8
O poliedro possui 8 faces.
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P: pentagonais (5 arestas)
T: triangulares (3
arestas)
F = 3*P + x*T
A = 4*x
Número de arestas:
A = (3*5 + x*3)/2
4x = (15 + 3x) / 2
4x * 2 = 15 + 3x
8x – 3x = 15
5x = 15
x = 15/5
x = 3
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
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Arestas (A) = 22
Faces (F) =
Vértices (V)
Pela relação de Euler, temos:
F + V = A + 2
No problema sugerido temos que F = V, portanto:
V + V = 22 + 2
2V = 24
V = 24/2
V = 12
Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
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