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não é comutativo, a ordem dos conjuntos é relevante. O primeiro conjunto indicado é o Conjunto de Partida, e o segundo é o Conjunto de Chegada. Importante! Note que, nesse caso, o primeiro elemento do par ordenado será sempre um elemento de A, e o segundo um elemento de B, pois a relação vai de A para B. Os conjuntos A e B podem ser, inclusive, iguais; não há impedimento para que dois conjuntos iguais tenham uma relação. Importante! 10 11 Representações das Relações O Produto Cartesiano pode ser representado por diagramas e também no plano cartesiano. Vejamos o exemplo com o produto A � B = {(1,1) (1,2) (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}. Na Figura 5, vemos, no primeiro diagrama, o conjunto A, que é chamado conjunto de partida. Note que cada um dos elementos de A possui uma flecha que o relaciona com elementos do conjunto B, representando, no segundo diagrama à esquerda, que é chamado conjunto de chegada. 1 2 3 4 1 2 A B Figura 5 – Diagramas da Relação de A em B A mesma relação A x B é agora representada no plano cartesiano, no qual o conjunto de partida é o eixo horizontal (eixo x – das abscissas) e o conjunto de chegada é representado pelo eixo vertical (eixo y – das ordenadas). 0 -1 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 6 x y Figura 6 – Representação no Plano Cartesiano da Relação de A em B Na representação A � B por gráfico, utilizamos o eixo das abscissas (eixo x) para representar os elementos do conjunto de partida e o eixo das ordenadas (eixo y) para representar os elementos do conjunto de chegada. 11 UNIDADE Relações e Funções Exemplo 2 Sejam A = {2;3} e B = {0;1;2} temos que A � B ≠ B � A Ou seja, a relação do produto cartesiano não é comutativa. Podemos verificar facilmente que A � B ≠ B � A A � B = {(2,0); (2,1); (2,2); (3,0); (3,1); (3;2)} B � A = {(0,2); (0,3); (1,2); (1,3); (2,2); (2,3)} Graficamente também notamos essa diferença: 2 3 0 1 2 2 3 0 1 2 A B B A A x B B x A Figura 7 – Relação A x B ≠ B x A Exemplo 3 Faremos, agora, uma nova relação, dados dois novos conjuntos A e B. Seja o conjunto A o conjunto dos números naturais menores que 10 e o conjunto B o conjunto dos números naturais menores ou iguais a 15, temos: A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} A relação R de A em B irá relacionar os elementos de A com os elementos de B, que corresponderem ao dobro do seu valor. O resultado da relação será R = {(1,2) (2,4), (3,6), (4,8), (5,10), (6,12), (7, 14)}. Pergunta para re�exão Todos os elementos de A se relacionaram aos elementos de B ? Veri�camos que não, pois alguns elementos de A (os elementos 8 e 9) não se relacion- aram com qualquer elemento no conjunto B, já que o dobro de 8 e o dobro de 9 não pertencem a B. Ex pl or Veremos mais adiante que o fato de todos os elementos se relacionarem com um único elemento no conjunto de chegada é fundamental para a relação ser uma função. 12 13 Tipos de Relações Classificamos uma relação de acordo com as propriedades e para dizermos que uma relação é de certo tipo, é necessário que a propriedade esteja presente em todos os pares da relação. Relação Re� exiva Uma relação R em A é reflexiva se todos os elementos de A estão relacionados consigo mesmos. Ou seja: (∀x ∈ A) [(x, x) ∈ R]. Exemplo Seja A = {10, 12, 14, 16, 18} A Relação R1 = {(10, 10), (10, 18), (12, 12), (12, 14), (14, 14), (14, 16), (16, 16), (16, 18), (18, 18)} é reflexiva pois cada um dos elementos de A se relacionou consigo mesmo. Notamos a existência dos pares reflexivos destacados em vermelho: R1 = {(10, 10), (10, 18), (12, 12), (12, 14), (14, 14), (14, 16), (16, 16), (16, 18), (18, 18)}. Relação Simétrica Uma relação R em A é simétrica se cada elemento x de A que está relacionado com y também ocorre que y está relacionado com x. Ou seja: (∀x, y ∈ A) [(x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R] Exemplo Seja A = {10, 12, 14, 16, 18} A Relação R2 A � A = {(10, 10), (10, 18), (12, 14), (14, 12), (14, 14), (14, 16), (16, 14), (16, 16), (16, 18), (18, 10), (18, 16), (18, 18)} é simétrica, pois cada um dos elementos de A que se relacionou com B teve também o mesmo elemento de B que se relacionou com A. Citamos aqui a observação de A que se relacionou com B, pois na relação não temos a obrigatoriedade de todos os elementos se relacionarem, mas se um elemento de A se relacionou com B, então, o mesmo B deve se relacionar com A. Por exemplo: se temos o par (12, 14), então deveremos ter o par (14, 12). 13 UNIDADE Relações e Funções A Relação R2 A x A = {(10, 10), (10, 18), (12, 14), (14, 12), (14, 14), (14, 16), (16, 14), (16, 16), (16, 18), (18, 10), (18, 16), (18, 18)} é, portanto, simétrica. Relação Transitiva Uma relação R em A é transitiva se cada elemento x de A que está relacionado com y e y está relacionado com z; então, ocorre que x está relacionado com z. (∀x, y, z ∈�A) [ (x, y) ∈ RÙ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R] Exemplo A relação x < y é transitiva, pois se x < y, então, pela definição de ser menor, existe um número k tal que x + k = y. Analogamente, se y < z, então, existe um número m tal que y + m = z. Para verificar se x < z, basta tomar o número k + m e daí x + (k + m) = z. Logo, x < z. Exemplos Numéricos 5 < 6 pois 5 + 1 = 6 e 6 < 10 pois 6 + 4 = 10, como 5 + (1 + 4) = 10; então, 5 < 10. Relação Antisimétrica (∀x, y ∈ A) [(x, y) ∈ R ^ (y, x) ∈�R → x = y] Alguns exemplos Considere o conjunto A {1,2,3,4,5} A relação R1 dada por x ≤ y na qual temos {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,3), (3,4), (3,5), (4,4), (4,5), (5,5)} É reflexiva: pois todos os elementos de A se relacionam consigo mesmos; Não é simétrica: vemos que em alguns pares, x se relaciona com y, mas y não se relaciona com x; como (1,2) já que não temos o par (2,1) na relação; É transitiva: pois de 1 < 2 e 2 < 3, logo 1 < 3. Novamente considerando o conjunto A {1, 2, 3, 4, 5} A relação R2 dada por x = y, na qual temos {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)} 14 15 É reflexiva, simétrica e transitiva. A relação R3: {(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (5,1), (1,5)} Não é reflexiva e nem transitiva, mas é simétrica. A Relação R4: {(1,2), (2,4), (1,4)} É apenas transitiva. Função Uma função de A em B é uma relação nos mesmos conjuntos, na qual se satisfazem os dois itens: 1. Dom(f) = A 2. Se (x,y) ∈�f e (x,z) ∈ f, então y = z ∀ (x ∈ A) (∃ y ∈�B) [Se (x,y) ∈ f e (x,y’) ∈ f então y = y’ Ou seja: Todos os elementos de A possuem algum valor e para cada elemento do Conjunto de Partida A existe apenas um elemento correspondente no Conjunto de Chegada B. O conjunto de partida A passa a ser chamado de Domínio, e o conjunto de chegada B chamado de Contradomínio de f. A notação de função é: f: A → B x → y = f(x) Lê-se: função de A em B, onde um x leva a uma função de x. Em uma função: • Dom (f) = A (o que não ocorre necessariamente nas relações, já que nas relações nem todos os elementos precisam se relacionar, mas na função sim, cada um dos elementos do Domínio necessariamente deve se relacionar, e apenas com um único elemento no contradomínio); • Os elementos do contradomínio que são resultados da função para algum elemento do Domínio constituem a IMAGEM da função, denotada por Im(f). Im(f) = { f(x)|x ∈ A } Im(f) Í B 15 UNIDADE Relações e Funções Domínio Contra-Domínio Imagem f Figura 8 – Diagramas: domínio, contradomínio e imagem de uma função O termo imagem é usado tanto para o valor da função y para um elemento em x, como para o conjunto de todas as imagens dos elementos de A. Contradomínio é todo o conjunto B, mesmo que um ou outro elemento não se rela- cione; já a imagem é um subconjunto do contradomínio formado pelos elementos que são relacionados com os elementos do domínio. Importante ressaltar, ainda, que todos os elementos do domínio precisam se relacionar com um único elemento do contradomínio. A seguir, alguns exemplos gráficos: É função Figura 9 – Exemplo de Função Nesse exemplo,