Teoria
Os circuitos que vamos encontrar na prática nem sempre são simples, alguns parecem ser bem esquisitos, na verdade, mas tudo o que envolve resistências geralmente são conjuntos de associações de resistores em série e em paralelo.
Então vamos dar uma olhada em cada um desses tipos de associação.
Resistores em Série
Como a gente poderia encontrar a corrente de um circuito onde a associação dos resistores é feita em série? Vamos olhar o circuito abaixo pra entender melhor isso.
Dados:
R 1 = 2 Ω
R 2 = 4 Ω
R 3 = 6 Ω
ε = 24 V
Se aplicarmos a Lei das malhas de Kirchhoff nesse circuito, teremos:
E - i R 1 - i R 2 - i R 3 = 0
Repara que é a mesma corrente que passa por cada resistor, isso rola na associação em série pois a corrente não tem nenhum outro caminho pra percorrer, então se a gente rearrumar vai ficar.
i = E R 1 + R 2 + R 3
O que você precisa saber é o seguinte:
“As resistências associadas em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente R e q percorrida pela mesma corrente i e com a mesma diferença de potencial total que as resistências originais”.
Então, a gente pode reescrever a corrente da seguinte forma
i = E R e q
E substituindo os valores temos:
i = 24 2 + 4 + 6 = 2 A
E agora que a gente já encontrou tudo, se quisesse encontrar a diferença de potencial em cada resistor como faríamos? Só voltar pra configuração inicial:
E usar a lei de Ohm para cada resistor.
V = R i
V 1 = 2 × 2 = 4 V
V 2 = 4 × 2 = 8 V
V 3 = 6 × 2 = 12 V
A lógica é a mesma, independente do número de resistores ligados em série.
Assim, quando n resistores estão em série, a resistência equivalente será dada por:
Resistores em Paralelo
Agora a gente vai analisar um circuito com resistores ligados em paralelo, e o que isso quer dizer? Quer dizer que agora a corrente tem vários caminhos pra percorrer, sendo assim em cada resistor ligado em paralelo tem uma corrente diferente, mas a diferença de potencial para eles é a mesma.
Vamos dar uma olhada nesse circuito e encontrar a corrente total e após isso a corrente em cada resistor, tal como a voltagem.
Dados
R 1 = 3 Ω
R 2 = 6 Ω
R 3 = 9 Ω
ε = 24 V
Quando uma diferença de potencial E é aplicada a resistores associados em paralelo, todas as resistências são submetidas à mesma diferença de potencial E.
Vamos fazer pra cá o processo da resistência equivalente, ou seja vamos fazer aqueles resistores em paralelo virarem isso aqui:
Podemos dizer aqui pela lei dos nós que:
i = i 1 + i 2 + i 3
E como para todos os casos.
i = ε R
Vamos então substituir na equação encontrada a relação de cada resistor incluindo da resistência equivalente.
ε R e q = ε R 1 + ε R 2 + ε R 3
Temos então a equação geral para a resistência equivalente em paralelo.
1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3
Aqui a gente vai ter então, com valores.
1 R e q = 1 3 + 1 6 + 1 9
1 R e q = 11 18
Invertendo:
R e q = 18 11 Ω
Um outro jeito bacana de encontrar a resistência equivalente é ir fazendo o processo de 2 em 2 resistores, daquela formula da resistência equivalente geral a gente pode tirar uma outra que é conhecida como produto sobre soma:
R e q = R 1 × R 2 R 1 + R 2
Aqui teríamos que usá-la duas vezes e não importa muito a ordem, desde que faça com resistores em paralelo. Vamos fazer primeiro pra R 1 e R 2 e criar uma resistência equivalente para eles.
R e q 1 = 3 × 6 3 + 6 = 2 Ω
E agora faremos para R e q 1 e R 3 .
R e q = R e q 1 × R 3 R e q 1 + R 3
R e q = 2 × 9 2 + 9 = 18 11 Ω
Os dois jeitos estão certos e você vai escolher qual é o mais fácil o importante é saber pelo menos um, beleza?
E para achar a corrente:
i = ε R e q
i = 24 × 11 18 = 44 3 A
E aí pra calcularmos a corrente em cada resistor é só fazer:
i = ε R
i 1 = 24 3 = 8 A
i 2 = 24 6 = 4 A
i 3 = 24 9 = 8 3 A
E cara se liga, a gente tá falando de associação em paralelo, ou seja:
ε = V 1 = V 2 = V 3 = 24 V
Então pra resumir a fórmula geral de se encontrar a resistência equivalente:
E para resistência equivalente entre dois resistores:
Bora pros exercícios?
Resistores em Paralelo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 189-9.
Pretende-se obter uma resistência total de 3 Ω ligando uma resistência de valor desconhecido a uma resistência de 12 Ω. Qual deve ser o valor da resistência desconhecida?
Passo 1
Opa! Começando os exercícios desse tipo devemos prestar atenção em algo bem sutil aqui pra resolver essa questão.
Ele fala que R e q = 3 Ω e que R 1 = 12 Ω. A resistência equivalente é menor que uma das resistências. Isso implica dizer que teremos uma ligação em paralelo com um resistor que vou chamar de R 2 , pois se a ligação fosse em série a soma seria maior que 12 Ω.
Passo 2
Para resistências em paralelo, teremos:
1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2
1 3 = 1 12 + 1 R 2
1 R 2 = 3 12 = 1 4
R 2 = 4 Ω
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF- Lista de Exercícios sobre Circuitos Elétricos- Questão n° 9.
Qual é a resistência equivalente do circuito da figura?
Passo 1
Para determinar a resistência equivalente, vamos começar da parte mais “interna” que podemos resolver, nesse caso, as resistências de 30 Ω e 45 Ω que estão em paralelo. Para resistências em paralelo, temos:
1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2
1 R e q = 1 30 + 1 45
R e q = 18 Ω
Agora, temos que essa resistência equivalente está em série com a resistência de 42 Ω , para resistências em série, temos:
R e q = R 1 + R 2
R e q = 18 + 42
R e q = 60 Ω
Agora, temos que essa resistência está em paralelo com a resistência de 40 Ω , teremos então:
1 R e q = 1 R 1 + 1 R 2
1 R e q = 1 60 + 1 40
R e q = 24 Ω
Resposta
Exercício Resolvido #3
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 197-81.
Na figura abaixo R = 10 Ω. Qual é a resistência equivalente entre os pontos A e B?
Passo 1
Temos mais um circuitinho cheio de resistores meio confusos. Mas bora lá!
A primeira coisa que podemos fazer aqui, e que não é difícil de perceber é calcular a resistência equivalente R e q 1 nesses dois resistores abaixo. Como o resistor de 6 R e 3 R estão em paralelo, teremos:
1 R e q 1 = 1 3 R + 1 6 R = 3 6 R
R e q 1 = 2 R
Passo 2
Assim que a gente fez isso, vamos ter o seguinte circuito equivalente.
Entre o terminal A e B, pelo ramo superior vão ficar o resistor de 4 R em série com o de 2 R e no ramo inferior vai ficar 2 R em série com R . Dá pra sacar, né?
Assim, poderemos escrever:
R e q 2 = 4 R + 2 R = 6 R
R e q 3 = 2 R + R = 3 R
Passo 3
E vai sobrar isso aqui, oh!
Dois resistores paralelos entre A e B. Tudo que a gente precisa pra terminar a nossa questão.
1 R e q = 1 6 R + 1 3 R = 3 6 R
R e q = 2 R = 20 Ω
Resposta
- R e q = 20 Ω
Exercício Resolvido #4
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 191-26. Modificada.
A figura abaixo mostra cinco resistores de 5 Ω. Determine a resistência equivalente
a) entre os pontos F e H;
b) entre os pontos F e G.
Passo 1
Vixi! Olhando assim de primeira da até uma dor de cabeça!
Mas calma, acho que tem como desenhar isso de uma forma melhor e as contas vão se simplificar. Se liga aí!
Isso aqui e a figura do enunciado são o mesmo circuito só que um pouco mais linear.
Melhorou né? Agora ficou tranquilo de calcular.
Passo 2
Para resistências em paralelo, teremos:
1 R e q = 1 R + R + 1 R + 1 R + R
De onde vieram esses R + R ? Das resistências em série que estão localizadas na parte superior e inferior dos fios.
Continuando, vai ficar:
1 R e q = 1 2 R + 1 R + 1 2 R = 4 2 R
R e q = R 2 = 5 2 = 2,5 Ω
Passo 3
b)
Aqui fica um tantinho mais complicado. Mas Keelp Calm and Vamos lá!
Primeiro de tudo vamos prestar atenção nesses dois resistores.
É fácil de ver que eles estão em série, né? Logo a R e q 1 ali é igual a R e q 1 = 2 R .
Podemos perceber também que eles estão em paralelo com o resistor que está entre F e H, certo? Por conseguinte isso que sobrar está em série com o resistor que está entre G e H. A resistência equivalente de tuuudo isso estará em paralelo com o resistor entre F e G e daí acabamos a questão.
Passo 4
Ficou confuso? Vamos por partes.
O que a gente já tem é isso aqui:
Calculando ali na esquerda esses resistores em paralelos, teremos:
1 R e q 2 = 1 R + 1 2 R
R e q 2 = 2 3 R
Passo 5
E aí nosso circuito se tornará:
Agora, o resistor da direita com o da esquerda estão em série. Basta soma-los.
R e q 3 = 2 R 3 + R = 5 3 R
Passo 6
É. Daquele monstrão lá agora só sobrou isso aqui.
E circuitos em paralelo assim você já está careca de saber calcular.
1 R e q = 1 R + 3 5 R = 8 5 R
R e q = 5 R 8 = 25 8 = 3,13 Ω
Resposta
- R e q = 2,5 Ω
- R e q = 3,13 Ω
Exercício Resolvido #5
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2006, pp 198-88.
A figura abaixo mostra três resistores de 20 Ω. Determine a resistência equivalente
- entre os pontos A e B;
- entre os pontos A e C;
- entre os pontos B e C;
Passo 1
Essa questão é bem famosinha. Várias faculdades colocam ela em listas de exercícios. A princípio ela se parece esquisita mas jajá você vai ver que ela é simples.
Presta bem atenção!
Perceba que acima do ponto A até chegar no último resistor da direita não nada entre eles. Isso significa que eles são pontos equipotenciais, ou seja, com mesmo potencial.
A mesma coisa podemos dizer para o fio que sai de B e vai pra C. Não tem nada entre eles, então podemos dizer que o potencial de B é igual ao potencial em C.
Passo 2
E mais,como vou mostrar na figura abaixo, a gente vai poder ver que todos os três resistores estão ligados entre A e B.
Saca só!
Passo 3
Podemos redesenhar o nosso circuito de uma forma bem melhor.
Agora ficou fácil,né?
1 R e q = 1 R + 1 R + 1 R = 3 R
R e q = R 3 = 20 3 = 6,67 Ω
Passo 4
b)
Como a gente já viu que o ponto B e o ponto C são os mesmo, a resistência equivalente vai ser igual, logo:
R e q = 6,67 Ω
Passo 5
C)
Se o ponto B e C são os mesmos, significa dizer que não tem nenhuma resistência entre eles, logo:
R e q = 0
Resposta
- R e q = 6,67 Ω
- R e q = 6,67 Ω
- R e q = 0
Exercício Resolvido #6
USP-P2-2012-Questão n°2
Um resistor cilíndrico de comprimento 2 L deveria ter uma seção reta S A ao longo de todo seu comprimento e uma resistência igual a R. Devido a um erro de fabricação, metade do resistor apresenta uma seção reta S B = 4 5 S A , conforme a figura.
a ) Determine a resistência R ' do resistor em termos do valor projetado R.
b ) Aplica-se uma ddp de V volts nas extremidades do resistor. Calcule os módulos dos campos elétricos E A e E B em cada um dos trechos do resistor em termos de V e L.
Passo 1
a ) Determine a resistência R ' do resistor em termos do valor projetado R .
Bom, se esse cara fosse construído da mesma forma que foi planejado, com área transversal S A e comprimento 2 L , a sua resistência R seria dada por:
R = ρ 2 L S A
Beleza! Mas alguém fez merda e o resistor saiu com essa cara...
Vamos pensar o seguinte... se vem uma corrente da esquerda para a direita, ela vai passar primeiro pela parte do resistor com área transversal S A e depois pela parte do resistor com área transversal S B , concorda?
Então seria a mesma coisa dizer que esses dois caras estão em série, conseguiu enxergar isso?
Assim, a resistência R ' será:
R ' = R A + R B
R ' = ρ L S A + ρ L S B = ρ L 1 S A + 1 S B
O problema já nos disse que S B = 4 5 S A . Então voltando ao problema:
R ' = ρ L 1 S A + 1 4 5 S A = ρ L 1 S A + 5 4 S A
R ' = 9 4 ρ L S A
Nós já achamos ali em cima que:
R = ρ 2 L S A
E como temos que comparar R com R ' , vamos tentar dar uma arrumada no R ' pra poder substituir o R :
R ' = 9 4 ρ L S A = 9 8 2 ρ L S A
R ' = 9 8 R
Passo 2
b ) Aplica-se uma ddp de V volts nas extremidades do resistor. Calcule os módulos dos campos elétricos E A e E B em cada um dos trechos do resistor em termos de V e L .
Quando aplicamos a ddp nas extremidades do resistor, V deve ser igual à soma das ddps de cada uma das duas partes do resistor.
V = V A + V B
Além disso, podemos associar a ddp com o campo elétrico através da relação V = E L , logo:
V = E A L + E B L
Agora que já encontramos a relação entre E A , E B e V , precisamos descobrir uma relação entre E A e E B .
Como esses dois caras estão em série, a corrente que passa pelas duas partes deve ser a mesma , assim, através da Lei de Ohm:
E A = ρ J A → E A = ρ I S A
E B = ρ J B → E B = ρ I S B
Novamente vamos usar a relação que o problema nos deu, S B = 4 5 S A :
E A = ρ I S A
E B = ρ I 4 5 S A = ρ 5 I 4 S A = 5 4 ρ I S A
E B = 5 4 E A
Agora ficou fácil! Vamos substituir isso na expressão de V para encontrarmos E A e E B em função de V e L .
Passo 3
V = E A L + E B L
Começando por:
E B = 5 4 E A
Teremos:
V = E A L + 5 4 E A L
V = 9 4 E A L
E A = 4 V 9 L
Beleza! Para encontrar E B temos apenas que fazer a substituição inversa:
E B = 5 4 E A → E A = 4 5 E B
Portanto:
V = E A L + E B L
V = 4 5 E B L + E B L
V = 9 5 E B L
E B = 5 V 9 L
Resposta
a )
R ' = 9 8 R
b )
E A = 4 V 9 L
E B = 5 V 9 L
Exercício Resolvido #7
Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.14, pp. 194.
Considere o circuito indicado na Figura abaixo. A corrente que passa pelo resistor de 6 Ω é igual a 4 A no sentido indicado. Quais são as correntes que passam pelos resistores de 25 Ω e 20 Ω?
Passo 1
Para começar o exercício, dá uma olhada na Figura abaixo, e repara que a gente tem, além da corrente dada no enunciado de 4 A, as correntes I 1 e I 2 . Para começar, as correntes de 4 A e I 1 se somam no ponto b para dar a corrente I 2 , isto é,
I 2 = I 1 + 4 A .
Agora, entre os pontos a e b, temos dois resistores em paralelo. Isso significa, como já vimos na teoria, que esses resistores estão à mesma diferença de potencial V a b . No resistor de 6 Ω, a ddp é de
V a b = R i = 6 × 4 = 24 V .
Portanto, como essa é também a ddp para o resistor de 8 Ω, então
I 1 = 24 8 = 3 A .
Disso, temos que a corrente que passa no resistor de 25 Ω é
I 2 = I 1 + 4 A = 7 A .
Passo 2
Então, para completar nossa solução do exercício, repara lá na Figura que o resistor de 20 Ω está à mesma diferença de potencial V a c que tem os resistores entre os pontos a e c, então:
V R 20 Ω = V a c = R e q I 2
Para a gente saber que ddp é essa, podemos encontrar a resistência equivalente R e q entre os pontos a e c por onde passa a corrente total I 2 = 7 A. Então, os resistores de 6 Ω e 8 Ω estão em paralelo e o resultado disso está em série com o de 25 Ω, concorda?
Bom, colocando isso em contas, temos
R e q = 6 × 8 6 + 8 + 25 ⇒ R e q = 28,4 Ω .
Portanto, a ddp entre as extremidades do resistor de 20 Ω é
V R 20 Ω = R e q I 2 = 28,4 × 7 ≈ 199 Ω .
Então, a corrente que passa pelo resistor de 20 Ω é
I = 199 20 ≈ 9,95 A .
Resposta
No resistor de 25 Ω passa uma corrente de
I 2 = 7 A ,
e no de 20 Ω, uma de
I = 9,95 A .
Exercício Resolvido #8
Sears & Zemansky, Young & Freedman, Física III, Eletromagnetismo, Volume 3, 12˚ ed., São Paulo: Addison Wesley, 2009, Exercício 26.20, pp. 194.
No circuito indicado na Figura abaixo, a taxa de dissipação da energia elétrica de R 1 é igual a 20 W.
- Determine R 1 e R 2 .
- Qual é a fem da bateria?
- Ache a corrente que passa por R 2 e pelo resistor de 10 Ω.
- Calcule o consumo total de energia elétrica em todos os resistores e a energia elétrica fornecida pela bateria. Mostre que seus resultados estão de acordo com a conservação de energia.
Passo 1
a) Então, vamos lá? Bom, para começar, o enunciado dá o valor da potência dissipada no resistor R 1 , que é de 20 W, e conhecemos da Figura o valor da corrente que passa nesse resistor,
P = R 1 I 2 ⇒ R 1 = 20 2 2 = 5 Ω .
Agora que temos o valor dessa resistência, podemos encontrar o valor do potencial V a b entre os pontos a e b, que a mesma ddp entre os resistores R 2 e 10 Ω, ambos em paralelo com R 1 . Portanto
V a b = 5 × 2 = 10 V .
Essa é ddp da resistência equivalente R e q , por onde passa a corrente de 3,5 A mostrada na Figura. Concorda? Checa isso para ver se faz sentido....checou?
A resistência equivalente R e q nesse caso é
1 R e q = 1 10 + 1 R 2 + 1 5 = 5 R 2 + 50 + 10 R 2 50 R 2 = 15 R 2 + 50 50 R 2 .
Simplificando essa expressão, obtemos que
R e q = 10 R 2 3 R 2 + 10 .
Essa resistência está submetida à uma ddp de 10 V, o que dá pra gente que
10 = R e q × 3,5 = 10 R 2 3 R 2 + 10 × 3,5 .
Resolvendo essa equação, temos que R 2 é
R 2 = 20 Ω .
Passo 2
b) A fem ε da bateria é a mesma a que está a resistência equivalente R e q que, por sua vez, é a mesma que está entre os pontos a e b V a b . Então,
ε = V a b = 10 V .
Passo 3
c) Como o resistor R 2 = 20 Ω está a uma ddp de 10 V, então a corrente que passa por esse resistor é
I 2 = 10 20 = 0,5 A .
Pelo resistor de 10 Ω, que também está a uma ddp de 10 V, a corrente é
I 3 = 10 10 = 1 A .
Passo 4
d) A potência total fornecida pela bateria é
P t o t a l = ε I = 10 × 3,5 = 35 W .
A potência dissipada pelo resistor R 1 é de P 1 = 20 W. Já no resistor R 2 = 20 Ω, a potência dissipada é de
P 2 = R 2 I 2 2 = 20 × 0,5 2 = 5 W .
No resistor de 10 Ω, a potência é
P 3 = 10 × 1 2 = 10 W .
Se a gente soma todas as três potências dissipadas em cada resistor, teremos exatamente o valor de 35 W, que é o valor total da potência fornecida pela bateria. Isso mostra que há conservação de energia
Resposta
- R 1 = 5 Ω ; R 2 = 20 Ω ;
- ε = V a b = 10 V ;
- I 2 = 0,5 A ; I 3 = 1 A ;
- P t o t a l = 35 W ; P 1 = 20 W ; P 2 = 5 W ; P 3 = 10 W .
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