Temos que a reta passa pelo ponto A(5 , 7), portanto, nesse ponto a igualdade da equação é verificada. Sendo assim, devemos achar o valor de n ou coeficiente linear com esse dados. Portanto a equação de reta é y = 2x – 3.
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Qual e a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A?
A reta possui duas possibilidades de equação, a equação geral da reta e a equação reduzida da reta. A equação reduzida da reta é y = mx + n, em que x e y são, respectivamente, a variável independente e a variável dependente; m é o coeficiente angular, e n é o coeficiente linear. Por conseguinte, qual e a equação reduzida da reta que? A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante.
Por conseguinte, qual a equação reduzida da reta que passa pelos pontos a 5-2?
3) Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(5, -2) e B(4, 2). Portanto, a equação reduzida da reta é y = – 4x + 18. Por conseguinte, como encontrar a equação da reta que passa pelos pontos? Conhecendo as coordenadas dos pontos A e B, basta igualar o seu determinante a 0 para encontrar a equação geral da reta. Exemplo: Encontre a equação geral da reta r que passa pelos pontos A(2,1) e B(4,5). Então, a equação geral será r: – 4x + 2y – 6 = 0.
Como determinar a equação de uma reta?
equação geral da retaretaequação geral da reta
Exemplos:
- 2x+3y –10=0.
- −x+y+4=0.
- 2x+3y=0.
Por conseguinte, como encontrar a equação reduzida da circunferência? Equação reduzida da circunferência
Então: (x - xc)2 + (y – yc)2 = R2 → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.
Também, como escrever uma equação de segundo grau na forma reduzida?
Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Correspondentemente, qual a equação que representa a reta que passa pelos pontos 4 5 2 e 2 9 2 )? Qual a equação que representa a reta que passa pelos pontos (4, 5/2) e (2, 9/2)? 2 x – 2 y – 13 = 0.
Como descobrir a equação da reta com 2 pontos?
Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas: Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos. 1º passo: encontrar o coeficiente angular m. 2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto na equação, igualando-a a zero.
A equação geral da reta é uma maneira algébrica de se estudar o comportamento de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, estudamos a fundo objetos da geometria plana representados no plano cartesiano. Um desses objetos é a reta, que pode ter seu comportamento descrito pela equação ax + by + c = 0, os coeficientes a, b e c são todos números reais, em que a e b são diferentes de zero.
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- Passo a passo para encontrar a equação geral da reta
- Equação reduzida da reta
- Equação segmentária da reta
- Exercícios resolvidos
- Qual é a equação reduzida da reta?
- Coeficiente angular
- Coeficiente linear
- Como calcular a equação reduzida da reta
- Exercícios resolvidos
Para encontrar a equação geral da reta, é necessário conhecer pelo menos dois pontos pertencentes a essa reta. Conhecendo os dois pontos da reta, existem dois métodos distintos para se encontrar a equação geral da reta. Além da equação geral da reta, existem outras que podem descrever esse comportamento, sendo elas a equação reduzida da reta e a equação segmentária da reta.
Leia também: O que é um par ordenado?
Passo a passo para encontrar a equação geral da reta
Representação da reta no plano cartesiano.Para encontrarmos a equação geral da reta, existem dois métodos, um deles utiliza a equação reduzida da reta para chegar-se à equação geral, já o outro é o cálculo do determinante de ordem 3, em ambos os métodos, é necessário conhecer, pelo menos, dois pontos da reta.
Antes de compreender como encontrar a equação da reta geral, veja alguns exemplos.
Exemplo de equação geral da reta:
a) – 3x + 4y + 7 = 0
b) x + y – 3 = 0
c) 2x – 5y = 0
Então, para encontrar a equação geral de uma reta, é necessário conhecer dois pontos dessa reta. Seja A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos pertencentes à reta cujos valores das coordenadas são conhecidos, para encontrar a equação geral da reta, podemos seguir alguns passos ao definirmos o método que será utilizado.
Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas:
Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos.
Exemplo:
A(2,1) e B(5,7)
1º passo: encontrar o coeficiente angular m.
2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto na equação, igualando-a a zero.
y – yp = m (x – xp)
Sabendo que m = 2, e escolhendo o ponto A(2,1), temos que:
y – 1 = 2 (x – 2)
y – 1 = 2x – 4
y – 2x – 1 + 4 = 0
– 2x + y + 3 = 0 → equação geral da reta r.
Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?
Vamos construir a matriz com os dois pontos que conhecemos: os valores A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto arbitrário, e C (x,y).
1º passo: montar a matriz.
2º passo: resolver a equação det(M) = 0.
Para que os pontos estejam alinhados, o valor do determinante da matriz tem que ser igual a zero, por isso, igualamos o determinante da matriz M a zero.
Exemplo:
Utilizando os pontos do exemplo anterior, encontraremos a equação geral da reta.
A(2,1), B(5,7) e C(x,y)
Primeiro vamos montar a matriz:
Agora calcularemos o seu determinante:
det(M) = 14 + x + 5y – 7x – 5 – 2y = 0
det(M) = 3y – 5x + 9 = 0
Note que essa é a equação de uma reta, sendo assim, a equação geral da reta que passa pelos pontos A, B e C é – 5x + 3y + 9 = 0.
Equação reduzida da reta
Outra forma de representar a equação da reta é a equação reduzida. A diferença da equação geral para a equação reduzida é que, na equação geral, o segundo membro é sempre igual a zero, agora, na equação reduzida, vamos sempre isolar o y no primeiro membro. A equação reduzida da reta é sempre descrita por y = mx + n, em que m e n são números reais, com m diferente de zero.
Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a reduzida apenas isolando o y.
Exemplo:
– 5x + 3y + 9 = 0
Vamos isolar o y no primeiro membro:
Toda reta pode ser representada por uma equação geral e por uma equação reduzida. Muitas vezes a equação reduzida é mais interessante. Já que o m é conhecido como coeficiente angular, com base nele é possível obter-se informações importantes da reta, pois seu valor traz informações sobre a inclinação dela. Já o n é o coeficiente linear, que é o ponto no plano cartesiano em que a reta corta o eixo y.
Equação segmentária da reta
Assim como a equação geral e a equação reduzida da reta, a equação segmentária é uma maneira de representar a equação da reta. A equação segmentária tem esse nome porque ela nos informa os pontos em que a reta intercepta os eixos x e y. A equação segmentária da reta é descrita por:
Exemplo:
Encontre a equação segmentária da reta -5x + 3y – 9 = 0.
Vamos isolar o termo independente 9 no segundo membro:
-5x + 3y = 9
Agora vamos dividir toda a equação por 9:
Agora vamos reescrever cada um dos termos colocando c/a e c/b.
Acesse também: Qual é a equação geral da circunferência?
Exercícios resolvidos
Questão 1 – A representação da equação 4x – 2y – 6 = 0, em sua forma reduzida, é:
A) y = 2x – 3 B) y = -2x + 3 C) y = 2x + 3 D) y = -2x – 3
E) 2y = 4x – 6
Resolução
Alternativa A
Primeiro vamos isolar o y:
-2y = -4x + 6, como o coeficiente de y é negativo, multiplicaremos a equação por -1.
2y = 4x – 6, dividindo todos os termos por 2, encontraremos a equação reduzida.
y = 2x – 3
Questão 2 – A equação geral da reta representada no plano cartesiano é:
A) 2x + 2y – 6 = 0 B) x + y – 9 = 0 C) 2x – y + 3 = 0 D) -2x + y + 3 = 0
E) x + 2y – 3 = 0
Resolução
Alternativa D
Primeiro vamos identificar os dois pontos, são eles A(2,1) e B(3,3). Seja P(x,y) um ponto qualquer da reta, devemos calcular o determinante da matriz M e igualar a zero, colocando em cada linha o valor de x, y e 1.
det(M) = 6 + x + 3y – 3x – 3 – 2y = 0
det(M) = -2x + y + 3 = 0
A equação reduzida da reta facilita a representação de uma reta no plano cartesiano. Na geometria analítica, é possível realizar essa representação e descrever a reta a partir da equação y = mx + n, em que m é o coeficiente angular e n é o coeficiente linear. Para encontrar essa equação, é necessário conhecer dois pontos da reta, ou um ponto e o ângulo formado entre a reta e o eixo x no sentido anti-horário.
Leia também: O que é reta?
Qual é a equação reduzida da reta?
Na geometria analítica, buscamos uma lei de formação para descrever figuras planas, como a circunferência, uma parábola, a própria reta, entre outras. A reta possui duas possibilidades de equação, a equação geral da reta e a equação reduzida da reta.
A equação reduzida da reta é y = mx + n, em que x e y são, respectivamente, a variável independente e a variável dependente; m é o coeficiente angular, e n é o coeficiente linear. Além disso, m e n são números reais. Com a equação reduzida da reta, é possível calcular quais são os pontos que pertencem a essa reta e quais não pertencem.
O comportamento da reta pode ser descrito pela equação reduzida y = mx + n.Coeficiente angular
O coeficiente angular nos diz muito sobre o comportamento da reta, pois, a partir dele, é possível analisar a inclinação da reta e identificar se ela é crescente, decrescente ou constante. Além disso, quanto maior o valor do coeficiente angular, maior será o ângulo entre a reta e o eixo x, no sentido anti-horário.
Para calcular o coeficiente angular da reta, existem duas possibilidades. A primeira é saber que ele é igual à tangente do ângulo α:
Sendo α o ângulo entre a reta e o eixo x, conforme a imagem.
Nesse caso, basta conhecermos o valor do ângulo e calcular a tangente dele para encontrar o coeficiente angular.
Exemplo:
Qual é o valor do coeficiente angular da reta a seguir?
Resolução:
O segundo método para calcular o coeficiente angular é conhecendo dois pontos pertencentes à reta. Seja A(x1,y1) e B (x2,y2), então o coeficiente angular pode ser calculado por:
Exemplo:
Encontre o valor do coeficiente angular da reta representada no plano cartesiano a seguir. Considere A(-1, 2) e B (2,3).
Resolução:
Como conhecemos dois pontos, temos que:
Para tomar a decisão sobre qual método utilizar para calcular o coeficiente angular da reta, primeiro é necessário analisar quais são as informações que temos. Se o valor do ângulo α for conhecido, basta calcular a tangente desse ângulo; agora, se conhecemos somente o valor de dois pontos, nesse caso é necessário calcular por meio do segundo método.
O coeficiente angular nos possibilita analisar se a reta é crescente, decrescente ou constante. Assim,
m > 0, a reta será crescente;
m = 0 a reta será constante;
m < 0 a reta será decrescente.
Leia também: Distância entre dois pontos
Coeficiente linear
O coeficiente linear n é o valor da ordenada quando x = 0. Isso significa que n é o valor de y para o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Graficamente, para encontrar o valor de n, basta encontrar o valor de y no ponto (0,n).
Como calcular a equação reduzida da reta
Para encontrarmos a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor de m e de n. Encontrando o valor do coeficiente angular e conhecendo um de seus pontos, é possível encontrar o coeficiente linear com facilidade.
Exemplo:
- Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,2) e B (3,4).
→ 1º passo: encontrar o coeficiente angular m.
→ 2º passo: encontrar o valor de n.
Para encontrar o valor de n, precisamos de um ponto (podemos escolher entre o ponto A e B) e do valor do coeficiente angular.
Sabemos que a equação reduzida é y = mx + n. Calculamos m = 2 e, utilizando o ponto B(3,4), vamos substituir o valor de x,y e m.
y = mx + n
4 = 2·3 + n
4 = 6 + n
4 – 6 = n
n = – 2
→ 3º passo: escrever a equação substituindo o valor de n e m, que agora são conhecidos.
y = 2x – 2
Essa será a equação reduzida da nossa reta.
Leia também: Ponto de interseção entre duas retas
Exercícios resolvidos
Questão 1 - (Enem 2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30.
A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é:
a) L(t) = 20t + 3 000
b) L(t) = 20t + 4 000
c) L(t) = 200t
d) L(t) = 200t – 1 000
e) L(t) = 200t + 3 000
Resolução:
Analisando o gráfico, é possível perceber que já temos o coeficiente linear n, pois ele é o ponto em que a reta toca o eixo y. Nesse caso, n = - 1 000.
Agora analisando os pontos A (0, -1000) e B (20, 3 000), calcularemos o valor de m.
Logo, L(t) = 200t – 1000.
Letra D
Questão 2 - A diferença entre o valor do coeficiente linear e o coeficiente angular da reta crescente que passa pelo ponto (2,2) e faz um ângulo de 45º com o eixo x é de:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
Resolução:
→ 1º passo: calcular o coeficiente angular.
Como conhecemos o ângulo, sabemos que:
m = tgα
m = tg45º
m = 1
→ 2º passo: encontrar o valor do coeficiente linear.
Seja m = 1 e A (2,2), realizando a substituição na equação reduzida, temos que:
y = mx + n
2 = 2 ·1 + n
2= 2 + n
2 – 2 = n
n = 0
→ 3º passo: calcular a diferença na ordem que foi pedida, ou seja, n – m.
0 – 1 = –1
Letra D
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática