Sim, é verdade. E a afirmação do título não contém qualquer ironia.
Todo mundo aprende na escola que a menor distância entre dois pontos é uma reta. Mas pouca gente se recorda – e alguns professores se esquecem de avisar – que isso é válido apenas em um espaço plano. Em um espaço tridimensional, a coisa muda de figura.
Imaginemos, por exemplo, um triângulo equilátero, aquele em que todos os lados são iguais e todos os ângulos internos somam 180 graus.
Marcando dois pontos dentro do triângulo, a menor distância entre eles sempre será uma reta. Além disso, não importa o tamanho dos lados: sempre, em qualquer circunstância, a soma dos ângulos internos do triângulo será 180 graus.
Pois bem. Vamos mudar, agora, o paradigma. Imaginemos um espaço tridimensional, tipo aquele em que nós vivemos todos os dias. Além das duas dimensões existentes no plano bidimensional (altura e comprimento), há uma outra: a profundidade.
Nesse tipo de plano, a menor distância entre dois pontos é uma curva, mais especificamente um arco de círculo máximo. E – o que parece mais bizarro – a soma dos ângulos internos de um triângulo não é 180, mas 270 graus.
Duvida? Veja a figura:
Repare que o triângulo formado entre os pontos A-B-C possui três ângulos retos (90 graus). Portanto, 270 graus.
Ainda tá duvidando?
Vamos trocar a imagem da esfera por algo mais familiar: a Terra.
Note que, nesse exemplo, a base é formada pela linha do Equador. Com qualquer meridiano, o ângulo formado com o Equador será de 90 graus. Seguindo-se um meridiano qualquer até o pólo norte e, de lá, seguindo-se outro meridiano até o Equador, teremos mais dois ângulos retos.
“Ok. Mas qual é a importância prática disso?”
Seguinte: quando você voa num avião, por exemplo, a trajetória que ele fará para ir de um destino a outro não seguirá uma “linha reta”, como muita gente imagina. Ele seguirá a “curva” da Terra, fazendo pequenos ajustes no sentido da viagem de modo a percorrer o menor trecho possível. Se ele fosse simplesmente “reto”, acabaria por percorrer uma trajetória maior do que a se seguisse a curvatura terrena.
Uma imagem pode, por exemplo, demonstrar como uma viagem entre Nova Iorque e Lisboa é feita, seguindo-se a menor distância entre dois pontos em um espaço tridimensional.
Além do exemplo do avião, essa demonstração serve para você refletir. Questionar certezas e mudar paradigmas é o primeiro passo para descobrir todo um novo universo. Basta ter curiosidade e disposição para isso.
A distância entre dois pontos é a medida do segmento de reta que os une.
Podemos fazer o cálculo dessa medida usando a Geometria Analítica.
Distância entre dois pontos no plano
No plano, um ponto fica totalmente determinado conhecendo um par ordenado (x, y) associado a ele.
Para conhecer a distância entre dois pontos, iremos inicialmente representá-los no plano cartesiano, para então calcular essa distância.
Exemplos:
1) Qual a distância entre o ponto A (1,1) e o ponto B (3,1)?
d(A,B) = 3 - 1 = 2
2) Qual a distância entre o ponto A (4,1) e o ponto B (1,3)?
Note que a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 2 e 3.
Assim, usaremos o teorema de Pitágoras para calcular a distância entre os pontos dados.
[d(A,B)]2 = 32 + 22 = √13
Fórmula da distância entre dois pontos no plano
Para encontra a fórmula da distância, podemos generalizar o cálculo feito no exemplo 2.
Para dois pontos quaisquer, tais como A (x1,y1) e B (x2, y2), temos:
Para saber mais, leia também:
- Geometria Plana
- Plano Cartesiano
- Retas
Distância entre dois pontos no espaço
Usamos um sistema de coordenadas tridimensional para representar pontos no espaço.
Um ponto fica totalmente determinado no espaço quando existe uma tripla ordenada (x,y,z) associado a ele.
Para encontrar a distância entre dois pontos no espaço, inicialmente podemos representá-los no sistema de coordenadas e a partir daí, efetuar os cálculos.
Exemplo:
Qual a distância entre o ponto A (3,1,0) e o ponto B (1,2,0)?
Nesse exemplo, observamos que o ponto A e B pertencem ao plano xy.
A distância será dada por:
[d(A,B)]2 = 12 + 22 = √5
Fórmula da distância entre dois pontos no espaço
Para saber mais, leia também:
- Geometria analítica
- Geometria Espacial
- Equação da Reta
- Fórmulas de Matemática
Exercícios Resolvidos
1) Um ponto A pertence ao eixo das abscissas (eixo x) e é equidistante dos pontos B (3,2) e C (-3,4). Quais são as coordenadas do ponto A?
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Como o ponto A pertence ao eixo das abscissas então sua coordenada é (a,0). Assim temos que encontrar o valor de a.
(0 - 3)2 + (a - 2)2 = (0 + 3)2 + (a -4)2
9 + a2 - 4a +4 = 9 + a2 - 8a + 16
4a = 12
a = 3
(3,0) são as coordenadas do ponto A.
2) A distância do ponto A (3,a) ao ponto B (0,2) é igual a 3. Calcule o valor da ordenada a.
Ver Resposta
32 = (0 - 3)2 + (2 - a)2
9 = 9 + 4 - 4a +a2
a2 - 4a +4 = 0
a = 2
3) ENEM - 2013
Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas
a) (65 ; 35)
b) (53 ; 30)
c) (45 ; 35)
d) (50 ; 20)
e) (50 ; 30)
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Alternativa correta e: (50;30)
Veja também: exercícios sobre distância entre dois pontos
4) ENEM - 2011
Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse
bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos
eixos são dadas em quilômetros.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões
da cidade.
No ponto P = (-5,5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto
a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2,6)
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Alternativa correta b: (-3,1).
Veja também: exercícios sobre Geometria Analítica
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.